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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.3.1 變量間的相關(guān)關(guān)系教案 新人教B版必修3 教學(xué)分析　　　　　 教材通過收集實際問題中兩個有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)作出散點圖，并利用散點圖直觀地認(rèn)識變量間的相關(guān)關(guān)系． 值得注意的是：散點圖直觀地描述了兩個變量之間有沒有相關(guān)關(guān)系，教學(xué)中指導(dǎo)學(xué)生作出散點圖，并利用散點圖直觀認(rèn)識兩變量的相關(guān)關(guān)系． 三維目標(biāo)　　　　　 1．通過收集現(xiàn)實問題中兩個有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)認(rèn)識變量間的相關(guān)關(guān)系． 2．明確事物間的相互聯(lián)系．認(rèn)識現(xiàn)實生活中變量間除了存在確定的關(guān)系外，仍存在大量的非確定性的相關(guān)關(guān)系，并利用散點圖直觀體會這種相關(guān)關(guān)系． 3．通過討論相關(guān)關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生普遍聯(lián)系的思想． 重點難點　　　　　 教學(xué)重點：通過收集現(xiàn)實問題中兩個有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)直觀認(rèn)識變量間的相關(guān)關(guān)系；利用散點圖直觀認(rèn)識兩個變量之間的線性關(guān)系． 教學(xué)難點：變量之間相關(guān)關(guān)系的理解． 課時安排　　　　　 1課時 導(dǎo)入新課　　　　　 思路1.在學(xué)校里，老師經(jīng)常這樣對學(xué)生說：“如果你的數(shù)學(xué)成績好，那么你的物理學(xué)習(xí)就不會有什么大問題．”按照這種說法，似乎學(xué)生的物理成績與數(shù)學(xué)成績之間存在著一種相關(guān)關(guān)系．這種說法有沒有根據(jù)呢？教師點出課題． 思路2.某地區(qū)的環(huán)境條件適合天鵝棲息繁衍，有人經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)了一個有趣的現(xiàn)象，如果村莊附近棲息的天鵝多，那么這個村莊的嬰兒出生率也高，天鵝少的地方嬰兒的出生率也低，于是，他就得出一個結(jié)論：天鵝能夠帶來孩子．你認(rèn)為這樣得到的結(jié)論可靠嗎？如何證明這個結(jié)論的可靠性？教師點出課題． 推進(jìn)新課　　　　　 1．糧食產(chǎn)量與施肥量有關(guān)系嗎？“名師出高徒”可以解釋為教師的水平越高，學(xué)生的水平也越高．教師的水平與學(xué)生的水平有什么關(guān)系？你能舉出更多的描述生活中兩個變量的相關(guān)關(guān)系的例子嗎？ 2．兩個變量間的關(guān)系有幾種？什么是相關(guān)關(guān)系？ 3．怎樣判斷兩個變量間的相關(guān)關(guān)系？ 4．什么是正相關(guān)、負(fù)相關(guān)？ 討論結(jié)果： 1．糧食產(chǎn)量與施肥量有關(guān)系，一般是在標(biāo)準(zhǔn)范圍內(nèi)，施肥越多，糧食產(chǎn)量越高；教師的水平與學(xué)生的水平有關(guān)系，通常是教師的水平越高，學(xué)生的水平往往也越高．像這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系． 我們還可以舉出現(xiàn)實生活中存在的許多相關(guān)關(guān)系的例子．例如： 商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費(fèi)之間的關(guān)系．商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費(fèi)有著密切的聯(lián)系，但商品銷售收入不僅與廣告支出多少有關(guān)，還與商品質(zhì)量、居民收入等因素有關(guān)． 糧食產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系是：在一定范圍內(nèi)，施肥量越大，糧食產(chǎn)量就越高．但是，施肥量并不是決定糧食產(chǎn)量的唯一因素．因為糧食產(chǎn)量還要受到土壤質(zhì)量、降雨量、田間管理水平等因素的影響． 2．變量與變量之間的關(guān)系常見的有兩類：一類是確定性的函數(shù)關(guān)系，像正方形的邊長a和面積S的關(guān)系．另一類是變量間確實存在關(guān)系，但又不具備函數(shù)關(guān)系所要求的確定性，它們的關(guān)系是帶有隨機(jī)性的，即相關(guān)關(guān)系． 3．我們先看下面的例子： 在一次對人體脂肪含量和年齡關(guān)系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)： 年齡 23 27 38 41 45 49 50 脂肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 年齡 53 54 56 57 58 60 61 脂肪 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 分析數(shù)據(jù)：大體上來看，隨著年齡的增加，人體中脂肪的百分比也在增加． 以年齡x的取值作橫坐標(biāo)，把相應(yīng)的脂肪含量y的值作縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中描點(xi，yi)(i＝1,2,3，…，14)，如下圖所示．這樣的圖形叫做散點圖． 從散點圖我們可以看出，年齡越大，體內(nèi)脂肪含量越高．圖中點的趨勢表明兩個變量之間存在相關(guān)關(guān)系，這個圖支持了我們從數(shù)據(jù)表中得出的結(jié)論． 如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線上，就用該函數(shù)來描述變量之間的關(guān)系，即變量之間具有函數(shù)關(guān)系．如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系．如果所有的樣本點都落在某一直線附近，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系． 4．具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量x與y，如果x的值由小變大時，y的值也在由小變大，這種相關(guān)稱為正相關(guān)．反之，如果一個變量的值由小變大時另一個變量的值由大變小，這種相關(guān)稱為負(fù)相關(guān)． 如果散點圖中的點散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，稱為正相關(guān)．如果散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，稱為負(fù)相關(guān)．(注：散點圖的點如果幾乎沒有什么規(guī)則，則這兩個變量之間不具有相關(guān)關(guān)系) 思路1 例 設(shè)某地10戶家庭的年收入和年飲食支出的統(tǒng)計資料如下表： 年收入x/萬元 2 4 4 6 6 6 7 7 8 10 年飲食支出y/萬元 0.9 1.4 1.6 2.0 2.1 1.9 1.8 2.1 2.2 2.3 (1)畫出散點圖； (2)根據(jù)散點圖判斷x與y之間是否具有相關(guān)關(guān)系． 分析：根據(jù)散點圖中各點的分布情況判斷x與y之間是否具有相關(guān)關(guān)系． 解：(1)散點圖，如下圖所示． (2)觀察散點圖知，各點在一次函數(shù)圖象(直線)的附近，所以x與y之間具有相關(guān)關(guān)系，并且是正相關(guān)． 點評：畫散點圖時應(yīng)注意合理選擇單位長度，避免圖形過大或偏小，或者是點的坐標(biāo)在坐標(biāo)系中畫不準(zhǔn)，使圖形失真，導(dǎo)致得出錯誤結(jié)論. 變式訓(xùn)練 5名學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績?nèi)缦卤恚? 畫出散點圖，并判斷它們是否有相關(guān)關(guān)系． 解：以x軸表示數(shù)學(xué)成績，y軸表示物理成績，可得相應(yīng)的散點圖． 觀察散點圖知，數(shù)學(xué)成績與物理成績具有相關(guān)關(guān)系，并且是正相關(guān). 思路2 例 有關(guān)法律規(guī)定，香煙盒上必須印上“吸煙有害健康”的警示語．吸煙是否一定會引起健康問題？你認(rèn)為“健康問題不一定是由吸煙引起的，所以可以吸煙”的說法對嗎？ 解：從已經(jīng)掌握的知識來看，吸煙會損害身體的健康，但是除了吸煙之外，還有許多其他的隨機(jī)因素影響身體健康，人體健康是很多因素共同作用的結(jié)果．我們可以找到長壽的吸煙者，也更容易發(fā)現(xiàn)由于吸煙而引發(fā)的患病者，所以吸煙不一定引起健康問題．但吸煙引起健康問題的可能性大．因此“健康問題不一定是由吸煙引起的，所以可以吸煙”的說法是不對的． 點評：在探究研究的過程中，如果能夠從兩個變量的觀察數(shù)據(jù)之間發(fā)現(xiàn)相關(guān)關(guān)系是極為有意義的，由此可以進(jìn)一步研究二者之間是否蘊(yùn)涵因果關(guān)系，從而發(fā)現(xiàn)引起這種相關(guān)關(guān)系的本質(zhì)原因是什么．本題的意義在于引導(dǎo)學(xué)生重視對統(tǒng)計結(jié)果的解釋，從中發(fā)現(xiàn)進(jìn)一步研究的問題. 變式訓(xùn)練 　下列關(guān)系中，帶有相關(guān)關(guān)系的是________． ①正方形的邊長與面積之間的關(guān)系 ②水稻產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系 ③人的身高與年齡之間的關(guān)系 ④降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關(guān)系 分析：兩變量之間的關(guān)系有兩種：函數(shù)關(guān)系與帶有隨機(jī)性的相關(guān)關(guān)系．①正方形的邊長與面積之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系．②水稻產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系不是嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系，但是具有相關(guān)性，因而是相關(guān)關(guān)系．③人的身高與年齡之間的關(guān)系既不是函數(shù)關(guān)系，也不是相關(guān)關(guān)系，因為人的年齡達(dá)到一定時期身高就不發(fā)生明顯變化了，因而它們不具備相關(guān)關(guān)系．④降雪量與交通事故的發(fā)生率之間具有相關(guān)關(guān)系，因此填②④. 答案：②④ 1．一個車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時間，為此進(jìn)行了10次試驗，收集數(shù)據(jù)如下： 零件數(shù)x/個 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工時間y/min 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 (1)畫出散點圖； (2)關(guān)于加工零件的個數(shù)與加工時間，你能得出什么結(jié)論？ 解：(1)散點圖如下圖： (2)加工零件的個數(shù)與所花費(fèi)的時間具有相關(guān)關(guān)系，并且是正相關(guān)． 2．有時候，一些東西吃起來口味越好，對我們的身體越有害．下表給出了不同類型的某種食品的數(shù)據(jù)．第二列表示此種食品所含熱量的百分比，第三列數(shù)據(jù)表示由一些美食家以百分制給出的對此種食品口味的評價： 品牌 所含熱量的百分比 口味記錄 A B C D E F G H I J 25 34 20 19 26 20 19 24 19 13 89 89 80 78 75 71 65 62 60 52 (1)作出這些數(shù)據(jù)的散點圖． (2)關(guān)于兩個變量之間的關(guān)系，你能得出什么結(jié)論？ 解：(1)散點圖如圖： (2)基本呈正相關(guān)關(guān)系，即食品所含熱量越高，口味越好． 以下是某地搜集到的新房屋的銷售價格y和房屋的面積x的數(shù)據(jù)： 房屋面積/m2 115 110 80 135 105 銷售價格/萬元 24.8 21.6 18.4 29.2 22 (1)畫出數(shù)據(jù)對應(yīng)的散點圖； (2)指出是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)； (3)關(guān)于銷售價格y和房屋的面積x，你能得出什么結(jié)論？ 解：(1)數(shù)據(jù)對應(yīng)的散點圖如圖所示： (2)散點圖中的點分布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，所以是正相關(guān)． (3)關(guān)于銷售價格y和房屋的面積x，房屋的面積越大，價格越高，它們具有相關(guān)的關(guān)系，并且是正相關(guān)． 通過收集現(xiàn)實問題中兩個有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)作出散點圖，并利用散點圖直觀認(rèn)識變量間的相關(guān)關(guān)系． 本節(jié)練習(xí)B. 本節(jié)課學(xué)習(xí)了變量之間的相關(guān)關(guān)系和兩個變量的線性相關(guān)的部分內(nèi)容，通過身邊的具體實例說明了兩個變量的相關(guān)關(guān)系，并學(xué)會了利用散點圖及其分布來說明兩個變量的相關(guān)關(guān)系的種類，為下一節(jié)課作了鋪墊，另外，本節(jié)課通過選取一些學(xué)生特別關(guān)心的身邊事例，對學(xué)生進(jìn)行思想情操教育、意志教育來增強(qiáng)其自信心，使學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)態(tài)度和學(xué)習(xí)方法，樹立科學(xué)的時間觀，培養(yǎng)其勤奮、吃苦耐勞的精神． 數(shù)學(xué)家關(guān)肇直 關(guān)肇直(1919.2.13～1982.11.12)，中國科學(xué)院院士，是中國數(shù)學(xué)家，生于北京，原籍廣東省南?？h．父親關(guān)葆麟早年留學(xué)德國，回國后任鐵道工程師多年，于1932年故世；母親陸紹馨，是北平女子師范大學(xué)的畢業(yè)生，曾從教于北京師范大學(xué)．關(guān)葆麟去世后，母親以微薄的收入艱難地?fù)嵊P(guān)肇直及其弟妹多人．新中國成立后，關(guān)肇直盡心親侍慈母，直至其母1967年去世．關(guān)肇直于1959年1月與劉翠娥結(jié)婚，他們有兩個女兒．劉翠娥系中國科學(xué)院工程物理研究所研究人員． 關(guān)肇直于1927年進(jìn)入北京培華中學(xué)附屬小學(xué)學(xué)習(xí).1931年入英國人辦的崇德中學(xué)學(xué)習(xí)．學(xué)校對英文要求十分嚴(yán)格，加上關(guān)肇直自小就由父母習(xí)以英文、德文，為日后掌握英文、德文、法文、西班牙文和俄文奠定了良好基礎(chǔ).1936年高中畢業(yè)后考入清華大學(xué)土木工程系，后于1938年轉(zhuǎn)入燕京大學(xué)數(shù)學(xué)系學(xué)習(xí)．畢業(yè)后在燕京大學(xué)(后遷成都)任教．參加成都教授聯(lián)誼會，擔(dān)任學(xué)生進(jìn)步組織的導(dǎo)師，積極支持抗日救國學(xué)生運(yùn)動.1946年春從成都返回北平(北京)，不久從燕京大學(xué)轉(zhuǎn)到北京大學(xué)數(shù)學(xué)系任教.1947年通過考試成為國民政府派遣的中法交換生赴法國留學(xué)．名義上去瑞士學(xué)哲學(xué)，實際上去了巴黎大學(xué)龐加萊研究所研究數(shù)學(xué)，導(dǎo)師是著名數(shù)學(xué)家、 一般拓樸與泛函分析的創(chuàng)始人弗雷歇(M.R.Frechetl)，1948年參加革命團(tuán)體“中國科學(xué)工作者協(xié)會”，是該會旅法分會的創(chuàng)辦人之一.1949年10月，新中國誕生，他毅然決定放棄獲得博士學(xué)位的機(jī)會．關(guān)肇直于12月回到祖國，滿腔熱情地參加了新中國的建設(shè)，并立即參加了組建中國科學(xué)院的工作．他和其他同志一起，協(xié)助郭沫若院長籌劃建院事宜，確定科學(xué)院的方向、任務(wù)、體制等，組建科學(xué)院圖書館，擔(dān)任圖書管理處處長，編譯局處長.1952年參加籌建中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所的工作，并在數(shù)學(xué)研究所從事數(shù)學(xué)研究，歷任副研究員、研究員、研究室主任、副所長、學(xué)術(shù)委員會副主任．他還是中國科學(xué)院聲學(xué)研究所學(xué)術(shù)委員會委員及原子能研究所學(xué)術(shù)委員會委員．從1952年起，兼任北京師范大學(xué)、北京大學(xué)、中國人民大學(xué)和中國科技大學(xué)等校教授以及華南工學(xué)院名譽(yù)教授；并兼任過中國科學(xué)院成都分院學(xué)術(shù)顧問、該院數(shù)理科學(xué)研究室主任、中國科學(xué)院武漢數(shù)學(xué)物理研究所顧問、研究員．他還是國家科委數(shù)學(xué)學(xué)科組副組長、自動化學(xué)科組成員；曾擔(dān)任北京數(shù)學(xué)會理事長，中國數(shù)學(xué)會秘書長，國際自動控制聯(lián)合會理論委員會成員及《中國科學(xué)》《科學(xué)通報》《數(shù)學(xué)學(xué)報》和《系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)》等雜志的編委或主編等職.1980年，他與其他科學(xué)家一起創(chuàng)建中國科學(xué)院系統(tǒng)科學(xué)研究所，擔(dān)任研究所所長．他還擔(dān)任中國自動化學(xué)會副理事長、中國系統(tǒng)工程學(xué)會理事長.1980年當(dāng)選為中國科學(xué)院數(shù)理學(xué)部委員．關(guān)肇直長期從事泛函分析、數(shù)學(xué)物理、現(xiàn)代控制理論等領(lǐng)域的研究，成績卓著，為我國的社會主義現(xiàn)代化建設(shè)作出了重大貢獻(xiàn)，1978年獲全國科學(xué)大會獎，1980年獲國防科委、國工辦科研獎十幾項，1982年獲國家自然科學(xué)二等獎；關(guān)肇直參與主持的項目《尖兵一號返回型衛(wèi)星和東方紅一號》獲1985年國家科技進(jìn)步特等獎，他本人獲“科技進(jìn)步”獎?wù)拢?