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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 用二分法求方程的近似解教案 新人教版必修1 教學(xué)目標(biāo)： 知識與技能 通過具體實(shí)例理解二分法的概念及其適用條件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，從中體會函數(shù)與方程之間的聯(lián)系及其在實(shí)際問題中的應(yīng)用． 過程與方法 能借助計(jì)算器用二分法求方程的近似解，并了解這一數(shù)學(xué)思想，為學(xué)習(xí)算法做準(zhǔn)備． 情感、態(tài)度、價(jià)值觀 體會數(shù)學(xué)逼近過程，感受精確與近似的相對統(tǒng)一． 教學(xué)重點(diǎn)： 重點(diǎn) 通過用二分法求方程的近似解，體會函數(shù)的零點(diǎn)與方程根之間的聯(lián)系，初步形成用函數(shù)觀點(diǎn)處理問題的意識． 難點(diǎn) 恰當(dāng)?shù)厥褂眯畔⒓夹g(shù)工具，利用二分法求給定精確度的方程的近似解． 教學(xué)程序與環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)： 創(chuàng)設(shè)情境 組織探究 探索發(fā)現(xiàn) 嘗試練習(xí) 作業(yè)回饋 課外活動 由二分查找及高次多項(xiàng)式方程的求問題引入． 二分法的意義、算法思想及方法步驟． 體會函數(shù)零點(diǎn)的意義，明確二分法的適用范圍． 二分法的算法思想及方法步驟，初步應(yīng)用二分法解決簡單問題． 二分法應(yīng)用于實(shí)際． 1． 二分法為什么可以逼近零點(diǎn)的再分析； 2． 追尋阿貝爾和伽羅瓦． 教學(xué)過程與操作設(shè)計(jì)： 環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì) 師生雙邊互動 創(chuàng) 設(shè) 情 境 材料一：二分查找(binary-search) （第六屆全國青少年信息學(xué)（計(jì)算機(jī)）奧林匹克分區(qū)聯(lián)賽提高組初賽試題第15題）某數(shù)列有1000個(gè)各不相同的單元，由低至高按序排列；現(xiàn)要對該數(shù)列進(jìn)行二分法檢索(binary-search)，在最壞的情況下，需檢索（ ）個(gè)單元。 Ａ．1000 Ｂ．10 Ｃ．100 Ｄ．500 二分法檢索（二分查找或折半查找）演示． 材料二：高次多項(xiàng)式方程公式解的探索史料 由于實(shí)際問題的需要，我們經(jīng)常需要尋求函數(shù)的零點(diǎn)（即的根），對于為一次或二次函數(shù)，我們有熟知的公式解法（二次時(shí)，稱為求根公式）． 在十六世紀(jì)，已找到了三次和四次函數(shù)的求根公式，但對于高于4次的函數(shù)，類似的努力卻一直沒有成功，到了十九世紀(jì)，根據(jù)阿貝爾（Abel）和伽羅瓦（Galois）的研究，人們認(rèn)識到高于4次的代數(shù)方程不存在求根公式，亦即，不存在用四則運(yùn)算及根號表示的一般的公式解．同時(shí)，即使對于3次和4次的代數(shù)方程，其公式解的表示也相當(dāng)復(fù)雜，一般來講并不適宜作具體計(jì)算．因此對于高次多項(xiàng)式函數(shù)及其它的一些函數(shù)，有必要尋求其零點(diǎn)的近似解的方法，這是一個(gè)在計(jì)算數(shù)學(xué)中十分重要的課題． 師：從學(xué)生感興趣的計(jì)算機(jī)編程問題，引導(dǎo)學(xué)生分析二分法的算法思想與方法，引入課題． 生：體會二分查找的思想與方法． 師：從高次代數(shù)方程的解的探索歷程，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識引入二分法的意義． 組 織 探 究 二分法及步驟： 對于在區(qū)間，上連續(xù)不斷，且滿足的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法． 給定精度，用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值的步驟如下： 1．確定區(qū)間，，驗(yàn)證，給定精度； 2．求區(qū)間，的中點(diǎn)； 3．計(jì)算： 師：闡述二分法的逼近原理，引導(dǎo)學(xué)生理解二分法的算法思想，明確二分法求函數(shù)近似零點(diǎn)的具體步驟． 分析條件 “”、“精度”、“區(qū)間中點(diǎn)”及“”的意義． 環(huán)節(jié) 呈現(xiàn)教學(xué)材料 師生互動設(shè)計(jì) 組 織 探 究 若=，則就是函數(shù)的零點(diǎn)； 若<，則令=（此時(shí)零點(diǎn)）； 若<，則令=（此時(shí)零點(diǎn)）； 4．判斷是否達(dá)到精度； 即若，則得到零點(diǎn)零點(diǎn)值（或）；否則重復(fù)步驟2~4． 生：結(jié)合引例“二分查找”理解二分法的算法思想與計(jì)算原理． 師：引導(dǎo)學(xué)生分析理解求區(qū)間，的中點(diǎn)的方法． 例題解析： 例1．求函數(shù)的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)（精確到）． 分析：首先利用函數(shù)性質(zhì)或借助計(jì)算機(jī)、計(jì)算器畫出函數(shù)圖象，確定函數(shù)零點(diǎn)大致所在的區(qū)間，然后利用二分法逐步計(jì)算解答． 解：（略）． 注意： 第一步確定零點(diǎn)所在的大致區(qū)間，，可利用函數(shù)性質(zhì)，也可借助計(jì)算機(jī)或計(jì)算器，但盡量取端點(diǎn)為整數(shù)的區(qū)間，盡量縮短區(qū)間長度，通?？纱_定一個(gè)長度為1的區(qū)間； 建議列表樣式如下： 零點(diǎn)所在區(qū)間 中點(diǎn)函數(shù)值 區(qū)間長度 [1，2] >0 1 [1，1.5] <0 0.5 [1.25，1.5] <0 0.25 如此列表的優(yōu)勢：計(jì)算步數(shù)明確，區(qū)間長度小于精度時(shí)，即為計(jì)算的最后一步． 例2．借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)用二分法求方程 的近似解（精確到）． 解：（略）． 思考：本例除借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)確定方程解所在的大致區(qū)間和解的個(gè)數(shù)外，你是否還可以想到有什么方法確定方程的根的個(gè)數(shù)？ 結(jié)論：圖象在閉區(qū)間，上連續(xù)的單調(diào)函數(shù)，在，上至多有一個(gè)零點(diǎn)． 師：引導(dǎo)學(xué)生利用二分法逐步尋求函數(shù)零點(diǎn)的近似值，注意規(guī)范方法、步驟與書寫格式． 生：根據(jù)二分法的思想與步驟獨(dú)立完成解答，并進(jìn)行交流、討論、評析． 師：引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性確定方程解的個(gè)數(shù)． 生：認(rèn)真思考，運(yùn)用所學(xué)知識尋求確定方程解的個(gè)數(shù)的方法，并進(jìn)行、討論、交流、歸納、概括、評析形成結(jié)論． 環(huán)節(jié) 呈現(xiàn)教學(xué)材料 師生互動設(shè)計(jì) 探 究 與 發(fā) 現(xiàn) 1） 函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì) 從“數(shù)”的角度看：即是使的實(shí)數(shù)； 從“形”的角度看：即是函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)； 若函數(shù)的圖象在處與軸相切，則零點(diǎn)通常稱為不變號零點(diǎn)； 若函數(shù)的圖象在處與軸相交，則零點(diǎn)通常稱為變號零點(diǎn)． 2） 用二分法求函數(shù)的變號零點(diǎn) 二分法的條件表明用二分法求函數(shù)的近似零點(diǎn)都是指變號零點(diǎn)． 師：引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)”和“形”兩個(gè)角度去體會函數(shù)零點(diǎn)的意義，掌握常見函數(shù)零點(diǎn)的求法，明確二分法的適用范圍． 嘗 試 練 習(xí) 1） 教材P106練習(xí)1、2題； 2） 教材P108習(xí)題3．1（A組）第1、2題； 3） 求方程的解的個(gè)數(shù)及其大致所在區(qū)間； 4） 求方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)； 5） 探究函數(shù)與函數(shù)的圖象有無交點(diǎn)，如有交點(diǎn)，求出交點(diǎn)，或給出一個(gè)與交點(diǎn)距離不超過的點(diǎn)． 作 業(yè) 回 饋 1） 教材P108習(xí)題3．1（A組）第3~6題、（B組）第4題； 2） 提高作業(yè)： 已知函數(shù) ． （1）為何值時(shí)，函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)？ （2）如果函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在原點(diǎn)，求的值． 借助于計(jì)算機(jī)或計(jì)算器，用二分法求函數(shù) 的零點(diǎn)（精確到）； 用二分法求的近似值（精確到）． 環(huán)節(jié) 呈現(xiàn)教學(xué)材料 師生互動設(shè)計(jì) 課 外 活 動 查找有關(guān)系資料或利用internet查找有關(guān)高次代數(shù)方程的解的研究史料，追尋阿貝爾（Abel）和伽羅瓦（Galois），增強(qiáng)探索精神，培養(yǎng)創(chuàng)新意識． 收 獲 與 體 會 說說方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系，并給出判定方程在某個(gè)區(qū)間存在根的基本步驟，及方程根的個(gè)數(shù)的判定方法； 談?wù)勍ㄟ^學(xué)習(xí)求函數(shù)的零點(diǎn)和求方程的近似解，對數(shù)學(xué)有了哪些新的認(rèn)識？