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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 古典概型 1教案 北師大版必修3 課題 古典概型 項目 內(nèi) 容 理論依據(jù)或意圖 教 材 分 析 教材地位及作用 本節(jié)課是高中數(shù)學(xué)3（必修）第三章概率的第二節(jié)古典概型的第一課時，是在隨機(jī)事件的概率之后，幾何概型之前，尚未學(xué)習(xí)排列組合的情況下教學(xué)的。古典概型是一種特殊的數(shù)學(xué)模型，也是一種最基本的概率模型，在概率論中占有相當(dāng)重要的地位。學(xué)好古典概型可以為其它概率的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，同時有利于理解概率的概念，有利于計算一些事件的概率，有利于解釋生活中的一些問題。 教學(xué)重點(diǎn) 理解古典概型的概念及利用古典概型求解隨機(jī)事件的概率。 根據(jù)本節(jié)課的地位和作用以及新課程標(biāo)準(zhǔn)的具體要求，制訂教學(xué)重點(diǎn)。 教學(xué)難點(diǎn) 如何判斷一個試驗是否是古典概型，分清在一個古典概型中某隨機(jī)事件包含的基本事件的個數(shù)和試驗中基本事件的總數(shù)。 根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容，即尚未學(xué)習(xí)排列組合，以及學(xué)生的心理特點(diǎn)和認(rèn)知水平，制定了教學(xué)難點(diǎn)。 教 學(xué) 目 標(biāo) 1．知識與技能 (1)理解古典概型及其概率計算公式， (2)會用列舉法計算一些隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率。 2．過程與方法 根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容和學(xué)生的實際水平，通過模擬試驗讓學(xué)生理解古典概型的特征：試驗結(jié)果的有限性和每一個試驗結(jié)果出現(xiàn)的等可能性，觀察類比各個試驗，歸納總結(jié)出古典概型的概率計算公式，體現(xiàn)了化歸的重要思想，掌握列舉法，學(xué)會運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想解決概率的計算問題。 3．情感態(tài)度與價值觀 概率教學(xué)的核心問題是讓學(xué)生了解隨機(jī)現(xiàn)象與概率的意義，加強(qiáng)與實際生活的聯(lián)系，以科學(xué)的態(tài)度評價身邊的一些隨機(jī)現(xiàn)象。適當(dāng)?shù)卦黾訉W(xué)生合作學(xué)習(xí)交流的機(jī)會，盡量地讓學(xué)生自己舉出生活和學(xué)習(xí)中與古典概型有關(guān)的實例。使得學(xué)生在體會概率意義的同時，感受與他人合作的重要性以及初步形成實事求是地科學(xué)態(tài)度和鍥而不舍的求學(xué)精神。 根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)，并結(jié)合學(xué)生心理發(fā)展的需求，以及人格、情感、價值觀的具體要求制訂而成。這對激發(fā)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)概念，養(yǎng)成數(shù)學(xué)習(xí)慣，感受數(shù)學(xué)思想，提高數(shù)學(xué)能力起到了積極的作用。 項 目 內(nèi) 容 師生活動 理論依據(jù)或意圖 教 學(xué) 過 程 分 析 一 提出問題引入新課 在課前，教師布置任務(wù)，以數(shù)學(xué)小組為單位，完成下面兩個模擬試驗： 試驗一：拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，分別記錄“正面朝上”和“反面朝上”的次數(shù)，要求每個數(shù)學(xué)小組至少完成20次（最好是整十?dāng)?shù)），最后由科代表匯總； 試驗二：拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，分別記錄“1點(diǎn)”、“2點(diǎn)”、“3點(diǎn)”、“4點(diǎn)”、“5點(diǎn)”和“6點(diǎn)”的次數(shù)，要求每個數(shù)學(xué)小組至少完成60次（最好是整十?dāng)?shù)），最后由科代表匯總。 在課上，學(xué)生展示模擬試驗的操作方法和試驗結(jié)果，并與同學(xué)交流活動感受。 教師最后匯總方法、結(jié)果和感受，并提出問題？ 1．用模擬試驗的方法來求某一隨機(jī)事件的概率好不好？為什么？ 不好，要求出某一隨機(jī)事件的概率，需要進(jìn)行大量的試驗，并且求出來的結(jié)果是頻率，而不是概率。 2．根據(jù)以前的學(xué)習(xí)，上述兩個模擬試驗的每個結(jié)果之間都有什么特點(diǎn)？ 學(xué)生展示模擬試驗的操作方法和試驗結(jié)果，并與同學(xué)交流活動感受，教師最后匯總方法、結(jié)果和感受，并提出問題。 通過課前的模擬實驗的展示，讓學(xué)生感受與他人合作的重要性，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語言的能力。隨著新問題的提出，激發(fā)了學(xué)生的求知欲望，通過觀察對比，培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力。 二 思 考 交 流 形 成 概 念 在試驗一中隨機(jī)事件只有兩個，即“正面朝上”和“反面朝上”，并且他們都是互斥的，由于硬幣質(zhì)地是均勻的，因此出現(xiàn)兩種隨機(jī)事件的可能性相等，即它們的概率都是； 在試驗二中隨機(jī)事件有六個，即“1點(diǎn)”、“2點(diǎn)”、“3點(diǎn)”、“4點(diǎn)”、“5點(diǎn)”和“6點(diǎn)”，并且他們都是互斥的，由于骰子質(zhì)地是均勻的，因此出現(xiàn)六種隨機(jī)事件的可能性相等，即它們的概率都是。 我們把上述試驗中的隨機(jī)事件稱為基本事件，它是試驗的每一個可能結(jié)果。 基本事件有如下的兩個特點(diǎn)： （1）任何兩個基本事件是互斥的； （2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。 特點(diǎn)（2）的理解：在試驗一中，必然事件由基本事件“正面朝上”和“反面朝上”組成；在試驗二中，隨機(jī)事件“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”可以由基本事件“2點(diǎn)”、“4點(diǎn)”和“6點(diǎn)”共同組成。 學(xué)生觀察對比得出兩個模擬試驗的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，教師給出基本事件的概念，并對相關(guān)特點(diǎn)加以說明，加深新概念的理解。 讓學(xué)生從問題的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)中找出研究對象的對立統(tǒng)一面，這能培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力，同時也教會學(xué)生運(yùn) 用對立統(tǒng)一的辯證唯物主義觀點(diǎn)來分析問題的一種方法。 教師的注解可以使學(xué)生更好的把握問題的關(guān)鍵。 項 目 內(nèi) 容 師生活動 理論依據(jù)或意圖 教 學(xué) 過 程 分 析 二 思 考 交 流 形 成 概 念 例1 從字母中任意取出兩個不同字母的試驗中，有哪些基本事件？ 分析：為了解基本事件，我們可以按照字典排序的順序，把所有可能的結(jié)果都列出來。利用樹狀圖可以將它們之間的關(guān)系列出來。 我們一般用列舉法列出所有基本事件的結(jié)果，畫樹狀圖是列舉法的基本方法，一般分布完成的結(jié)果(兩步以上)可以用樹狀圖進(jìn)行列舉。 （樹狀圖） 解：所求的基本事件共有6個： ，，， ，， 觀察對比，發(fā)現(xiàn)兩個模擬試驗和例1的共同特點(diǎn)： 試驗一中所有可能出現(xiàn)的基本事件有“正面朝上”和“反面朝上”2個，并且每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等，都是； 試驗二中所有可能出現(xiàn)的基本事件有“1點(diǎn)”、“2點(diǎn)”、“3點(diǎn)”、“4點(diǎn)”、“5點(diǎn)”和“6點(diǎn)”6個，并且每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等，都是1/6； 例1中所有可能出現(xiàn)的基本事件有“A”、“B”、“C”、“D”、“E”和“F”6個，并且每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等，都是1/6； 經(jīng)概括總結(jié)后得到： （1）試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；（有限性） （2）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等。（等可能性） 我們將具有這兩個特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率概型，簡稱古典概型。 思考交流： （1）向一個圓面內(nèi)隨機(jī)地投射一個點(diǎn)，如果該點(diǎn)落在圓內(nèi)任意一點(diǎn)都是等可能的，你認(rèn)為這是古典概型嗎?為什么？ 先讓學(xué)生嘗試著列出所有的基本事件，教師再講解用樹狀圖列舉問題的優(yōu)點(diǎn)。 讓學(xué)生先觀察對比，找出兩個模擬試驗和例1的共同特點(diǎn)，再概括總結(jié)得到的結(jié)論，教師最后補(bǔ)充說明。 學(xué)生互相交流，回答補(bǔ)充，教師歸納。 將數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想滲透到具體問題中來。由于沒有學(xué)習(xí)排列組合，因此用列舉法列舉基本事件的個數(shù)，不僅能讓學(xué)生直觀的感受到對象的總數(shù)，而且還能使學(xué)生在列舉的時候作到不重不漏。解決了求古典概型中基本事件總數(shù)這一難點(diǎn)。 培養(yǎng)運(yùn)用從具體到抽象、從特殊到一般的分析問題的能力，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的化歸思想。啟發(fā)誘導(dǎo)的同時，訓(xùn)練了學(xué)生觀察和概括歸納的能力。從而突出了古典概型這一重點(diǎn)。 兩個問題的設(shè)計是為了讓學(xué)生更加準(zhǔn)確的把握古典概型的兩個特點(diǎn)。突破了如何判斷一個試驗是否是古典概型這一教學(xué)難點(diǎn)。 項 目 內(nèi) 容 師生活動 理論依據(jù)或意圖 教 學(xué) 過 程 分 析 思考交流形成概念 答：不是古典概型，因為試驗的所有可能結(jié)果是圓面內(nèi)所有的點(diǎn)，試驗的所有可能結(jié)果數(shù)是無限的，雖然每一個試驗結(jié)果出現(xiàn)的“可能性相同”，但這個試驗不滿足古典概型的第一個條件。 （2）如圖，某同學(xué)隨機(jī)地向一靶心進(jìn)行射擊，這一試驗的結(jié)果只有有限個：命中10環(huán)、命中9環(huán)……命中5環(huán)和不中環(huán)。你認(rèn)為這是古典概型嗎？為什么？ 答：不是古典概型，因為試驗的所有可能結(jié)果只有7個，而命中10環(huán)、命中9環(huán)……命中5環(huán)和不中環(huán)的出現(xiàn)不是等可能的，即不滿足古典概型的第二個條件。 三 觀 察 分 析 推 導(dǎo) 方 程 問題思考：在古典概型下，基本事件出現(xiàn)的概率是多少？隨機(jī)事件出現(xiàn)的概率如何計算？ 分析：實驗一中，出現(xiàn)正面朝上的概率與反面朝上的概率相等，即 P（“正面朝上”）＝P’（“反面朝上”） 由概率的加法公式，得 P（“正面朝上”）＋P（“反面朝上”）＝P（必然事件）＝1 因此 P（“正面朝上”）＝P（“反面朝上”）＝ 即 試驗二中，出現(xiàn)各個點(diǎn)的概率相等，即 P（“1點(diǎn)”）＝P（“2點(diǎn)”）＝P（“3點(diǎn)”） ＝P（“4點(diǎn)”）＝P（“5點(diǎn)”）＝P（“6點(diǎn)”） 反復(fù)利用概率的加法公式，我們有 P（“1點(diǎn)”）＋P（“2點(diǎn)”）＋P（“3點(diǎn)”）＋P（“4點(diǎn)”）＋P（“5點(diǎn)”）＋P（“6點(diǎn)”）＝P（必然事件）＝1 所以P（“1點(diǎn)”）＝P（“2點(diǎn)”）＝P（“3點(diǎn)”） ＝P（“4點(diǎn)”）＝P（“5點(diǎn)”）＝P（“6點(diǎn)”）＝1/6 進(jìn)一步地，利用加法公式還可以計算這個試驗中任何一個事件的概率，例如， P（“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”）＝P（“2點(diǎn)”）＋P（“4點(diǎn)”）＋P（“6點(diǎn)”）＝＋＋＝＝ 即根據(jù)上述兩則模擬試驗，可以概括總結(jié)出，古典概型計算任何事件的概率計算公式為： 教師提出問題，引導(dǎo)學(xué)生類比分析兩個模擬試驗和例1的概率，先通過用概率加法公式求出隨機(jī)事件的概率，再對比概率結(jié)果，發(fā)現(xiàn)其中的聯(lián)系。 鼓勵學(xué)生運(yùn)用觀察類比和從具體到抽象、從特殊到一般的辯證唯物主義方法來分析問題，同時讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)化歸思想的優(yōu)越性和這一做法的合理性，突出了古典概型的概率計算公式這一重點(diǎn)。 項 目 內(nèi) 容 師生活動 理論依據(jù)或意圖 教 學(xué) 過 程 分 析 三 觀 察 分 析 推 導(dǎo) 方 程 提問： （1）在例1的實驗中，出現(xiàn)字母“d”的概率是多少？ 出現(xiàn)字母“d”的概率為： 提問： （2）在使用古典概型的概率公式時，應(yīng)該注意什么? 歸納： 在使用古典概型的概率公式時，應(yīng)該注意： （1）要判斷該概率模型是不是古典概型； （2）要找出隨機(jī)事件A包含的基本事件的個數(shù)和試驗中基本事件的總數(shù)。 除了畫樹狀圖，還有什么方法求基本事件的個數(shù)呢？ 教師提問，學(xué)生回答，加深對古典概型的概率計算公式的理解。 深化對古典概型的概率計算公式的理解，也抓住了解決古典概型的概率計算的關(guān)鍵。 四 例 題 分 析 推 廣 應(yīng) 用 例2 單選題是標(biāo)準(zhǔn)化考試中常用的題型，一般是從A，B，C，D四個選項中選擇一個正確答案。如果考生掌握了考差的內(nèi)容，他可以選擇唯一正確的答案。假設(shè)考生不會做，他隨機(jī)的選擇一個答案，問他答對的概率是多少？ 分析： 解決這個問題的關(guān)鍵，即討論這個問題什么情況下可以看成古典概型。如果考生掌握或者掌握了部分考察內(nèi)容，這都不滿足古典概型的第2個條件——等可能性，因此，只有在假定考生不會做，隨機(jī)地選擇了一個答案的情況下，才可以化為古典概型。 解： 這是一個古典概型，因為試驗的可能結(jié)果只有4個：選擇A、選擇B、選擇C、選擇D，即基本事件共有4個，考生隨機(jī)地選擇一個答案是選擇A，B，C，D的可能性是相等的。從而由古典概型的概率計算公式得： 課后思考： (1)在標(biāo)準(zhǔn)化考試中既有單選題又有多選題，多選題是從A，B，C，D四個選項中選出所有正確的答案，同學(xué)們可能有一種感覺，如果不知道正確答案，多選題更難猜對，這是為什么？ (2)假設(shè)有20道單選題，如果有一個考生答對了17道題，他是隨機(jī)選擇的可能性大，還是他掌握了一定知識的可能性大？ 學(xué)生先思考再回答，教師對學(xué)生沒有注意到的關(guān)鍵點(diǎn)加以說明。 讓學(xué)生明確決概率的計算問題的關(guān)鍵是：先要判斷該概率模型是不是古典概型，再要找出隨機(jī)事件A包含的基本事件的個數(shù)和試驗中基本事件的總數(shù)。 鞏固學(xué)生對已學(xué)知識的掌握。 項 目 內(nèi) 容 師生活動 理論依據(jù)或意圖 教 學(xué) 過 程 分 析 四 例 題 分 析 推 廣 應(yīng) 用 例3 同時擲兩個骰子，計算： （1）一共有多少種不同的結(jié)果？ （2）其中向上的點(diǎn)數(shù)之和是5的結(jié)果有多少種？ （3）向上的點(diǎn)數(shù)之和是5的概率是多少？ 解：（1）擲一個骰子的結(jié)果有6種，我們把兩個骰子標(biāo)上記號1，2以便區(qū)分，由于1號骰子的結(jié)果都可以與2號骰子的任意一個結(jié)果配對，我們用一個“有序?qū)崝?shù)對”來表示組成同時擲兩個骰子的一個結(jié)果（如表），其中第一個數(shù)表示1號骰子的結(jié)果，第二個數(shù)表示2號骰子的結(jié)果。（可由列表法得到） 由表中可知同時擲兩個骰子的結(jié)果共有36種。 （2）在上面的結(jié)果中，向上的點(diǎn)數(shù)之和為5的結(jié)果有4種，分別為： （1，4），（2，3），（3，2），（4，1） （3）由于所有36種結(jié)果是等可能的，其中向上點(diǎn)數(shù)之和為5的結(jié)果（記為事件A）有4種，因此，由古典概型的概率計算公式可得 先給出問題，再讓學(xué)生完成，然后引導(dǎo)學(xué)生分析問題，發(fā)現(xiàn)解答中存在的問題。 引導(dǎo)學(xué)生用列表來列舉試驗中的基本事件的總數(shù)。 利用列表數(shù)形結(jié)合和分類討論，既能形象直觀地列出基本事件的總數(shù)，又能做到列舉的不重不漏。深化鞏固對古典概型及其概率計算公式的理解，和用列舉法來計算一些隨機(jī)事件所含基本事件的個數(shù)及事件發(fā)生的概率。 培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，提高發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維情趣，形成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的積極態(tài)度。 五 探 究 思 考 鞏 固 深 化 問題思考：為什么要把兩個骰子標(biāo)上記號？如果不標(biāo)記號會出現(xiàn)什么情況？你能解釋其中的原因嗎？ 如果不標(biāo)上記號，類似于（1，2）和（2，1）的結(jié)果將沒有區(qū)別。這時，所有可能的結(jié)果將是： （1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）（4，4）（4，5）（4，6）（5，5）（5，6）（6，6）共有21種，和是5的結(jié)果有2個，它們是（1，4）（2，3），所求的概率為 這就需要我們考察兩種解法是否滿足古典概型的要求了。 可以通過展示兩個不同的骰子所拋擲出來的點(diǎn)，感受第二種方法構(gòu)造的基本事件不是等可能事件，另外還可以利用Excel展示第二種方法中構(gòu)造的21個基本事件不是等可能事件。從而加深印象，鞏固知識。 要求學(xué)生觀察對比兩種結(jié)果，找出問題產(chǎn)生的原因。 通過觀察對比，發(fā)現(xiàn)兩種結(jié)果不同的根本原因是——研究的問題是否滿足古典概型，從而再次突出了古典概型這一教學(xué)重點(diǎn)，體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位，逐漸養(yǎng)成自主探究能力。 項 目 內(nèi) 容 師生活動 理論依據(jù)或意圖 教 學(xué) 過 程 分 析 六 總 結(jié) 概 括 加 深 理解 1．我們將具有 （1）試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；（有限性） （2）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等。（等可能性） 這樣兩個特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率概型，簡稱古典概型。 2．古典概型計算任何事件的概率計算公式 3．求某個隨機(jī)事件A包含的基本事件的個數(shù)和實驗中基本事件的總數(shù)的常用方法是列舉法（畫樹狀圖和列表），應(yīng)做到不重不漏。 學(xué)生小結(jié)歸納，不足的地方老師補(bǔ)充說明。 使學(xué)生對本節(jié)課的知識有一個系統(tǒng)全面的認(rèn)識，并把學(xué)過的相關(guān)知識有機(jī)地串聯(lián)起來，便于記憶和應(yīng)用，也進(jìn)一步升華了這節(jié)課所要表達(dá)的本質(zhì)思想，讓學(xué)生的認(rèn)知更上一層。 七 布 置 作 業(yè) P123 練習(xí)1、2 題 學(xué)生課后自主完成。 進(jìn)一步讓學(xué)生掌握古典概型及其概率公式，并能夠?qū)W以致用，加深對本節(jié)課的理解。 八 板 書 設(shè) 計 教 法 與 學(xué) 法 分 析 教 法 分 析 根據(jù)本節(jié)課的特點(diǎn)，采用引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)和歸納概括相結(jié)合的教學(xué)方法，通過提出問題、思考問題、解決問題等教學(xué)過程，觀察對比、概括歸納古典概型的概念及其概率公式，再通過具體問題的提出和解決，來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動學(xué)生的主體能動性，讓每一個學(xué)生充分地參與到學(xué)習(xí)活動中來。 學(xué) 法 分 析 學(xué)生在教師創(chuàng)設(shè)的問題情景中，通過觀察、類比、思考、探究、概括、歸納和動手嘗試相結(jié)合，體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位，培養(yǎng)了學(xué)生由具體到抽象，由特殊到一般的數(shù)學(xué)思維能力，形成了實事求是的科學(xué)態(tài)度，增強(qiáng)了鍥而不舍的求學(xué)精神。