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2019-2020年高中數(shù)學 第一章《分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理》教案3 新人教A版選修2-3 3 綜合應用 例1. 書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放2本不同的體育書. ①從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？ ②從書架的第1、2、3層各取1本書，有多少種不同的取法？ ③從書架上任取兩本不同學科的書，有多少種不同的取法？ 【分析】 ①要完成的事是“取一本書”，由于不論取書架的哪一層的書都可以完成了這件事，因此是分類問題，應用分類計數(shù)原理. ②要完成的事是“從書架的第1、2、3層中各取一本書”，由于取一層中的一本書都只完成了這件事的一部分，只有第1、2、3層都取后，才能完成這件事，因此是分步問題，應用分步計數(shù)原理. ③要完成的事是“取2本不同學科的書”，先要考慮的是取哪兩個學科的書，如取計算機和文藝書各1本，再要考慮取1本計算機書或取1本文藝書都只完成了這 件事的一部分，應用分步計數(shù)原理，上述每一種選法都完成后，這件事才能完成，因此這些選法的種數(shù)之間還應運用分類計數(shù)原理. 解： (1) 從書架上任取1本書，有3類方法：第1類方法是從第1層取1本計算機書，有4 種方法；第2 類方法是從第2 層取1本文藝書，有3 種方法；第3類方法是從第 3 層取 1 本體育書，有 2 種方法．根據(jù)分類加法計數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是 =4+3+2=9; ( 2 ）從書架的第 1 , 2 , 3 層各取 1 本書，可以分成3個步驟完成：第 1 步從第 1 層取 1 本計算機書，有 4 種方法；第 2 步從第 2 層取1本文藝書，有 3 種方法；第 3 步從第3層取1 本體育書，有 2 種方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是 =432=24 . （3）。 例2. 要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，問共有多少種不同的掛法？ 解：從 3 幅畫中選出 2 幅分別掛在左、右兩邊墻上，可以分兩個步驟完成：第 1 步，從 3 幅畫中選 1 幅掛在左邊墻上，有 3 種選法；第 2 步，從剩下的 2 幅畫中選 1 幅掛在右邊墻上，有 2 種選法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同掛法的種數(shù)是 N=32=6 . 6 種掛法可以表示如下： 分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理，回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法的種數(shù)問題．區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理針對的是“分類”問題，其中各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以做完這件事，分步乘法計數(shù)原理針對的是“分步”問題，各個步驟中的方法互相依存，只有各個步驟都完成才算做完這件事． 例3.隨著人們生活水平的提高，某城市家庭汽車擁有量迅速增長，汽車牌照號碼需交通管理部門出臺了一種汽車牌照組成辦法，每一個汽車牌照都必須有3個不重復的英文字母和 3 個不重復的阿拉伯數(shù)字，并且 3 個字母必須合成一組出現(xiàn)，3個數(shù)字也必須合成一組出現(xiàn)．那么這種辦法共能給多少輛汽車上牌照？ 分析：按照新規(guī)定，牌照可以分為 2類，即字母組合在左和字母組合在右．確定一個牌照的字母和數(shù)字可以分6個步驟． 解：將汽車牌照分為 2 類，一類的字母組合在左，另一類的字母組合在右．字母組合在左時，分6個步驟確定一個牌照的字母和數(shù)字： 第1步，從26個字母中選1個，放在首位，有26種選法； 第2步，從剩下的25個字母中選 1個，放在第2位，有25種選法； 第3步，從剩下的24個字母中選 1個，放在第3位，有24種選法； 第4步，從10個數(shù)字中選1個，放在第 4 位，有10種選法； 第5步，從剩下的 9個數(shù)字中選1個，放在第5位，有9種選法； 第6步，從剩下的 8個字母中選1個，放在第6位，有8種選法． 根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，字母組合在左的牌照共有26 25241098=11 232 000（個） . 同理，字母組合在右的牌照也有11232 000 個．所以，共能給 11232 000 + 11232 000 = 22464 000（個） .輛汽車上牌照． 用兩個計數(shù)原理解決計數(shù)問題時，最重要的是在開始計算之前要進行仔細分析 ― 需要分類還是需要分步．分類要做到“不重不漏”．分類后再分別對每一類進行計數(shù)，最后用分類加法計數(shù)原理求和，得到總數(shù)．分步要做到“步驟完整” ― 完成了所有步驟，恰好完成任務，當然步與步之間要相互獨立．分步后再計算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)． 練習 1．乘積展開后共有多少項？ 2．某電話局管轄范圍內(nèi)的電話號碼由八位數(shù)字組成，其中前四位的數(shù)字是不變的，后四位數(shù)字都是。到 9 之間的一個數(shù)字，那么這個電話局不同的電話號碼最多有多少個？ 3．從 5 名同學中選出正、副組長各 1 名，有多少種不同的選法？ 4．某商場有 6 個門，如果某人從其中的任意一個門進人商場，并且要求從其他的門出去，共有多少種不同的進出商場的方式？