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2019-2020年高中數學 第三章《基本不等式》教案2 新人教A版必修5 授課類型：新授課 【教學目標】 1．知識與技能：進一步掌握基本不等式；會應用此不等式求某些函數的最值；能夠解決一些簡單的實際問題 2．過程與方法：通過兩個例題的研究，進一步掌握基本不等式，并會用此定理求某些函數的最大、最小值。 3．情態(tài)與價值：引發(fā)學生學習和使用數學知識的興趣，發(fā)展創(chuàng)新精神，培養(yǎng)實事求是、理論與實際相結合的科學態(tài)度和科學道德。 【教學重點】 基本不等式的應用 【教學難點】 利用基本不等式求最大值、最小值。 【教學過程】 1.課題導入 1．重要不等式： 如果 2．基本不等式：如果a,b是正數，那么 3.我們稱的算術平均數，稱的幾何平均數. 成立的條件是不同的：前者只要求a,b都是實數，而后者要求a,b都是正數。 2.講授新課 例1（1）用籬笆圍成一個面積為100m的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短。最短的籬笆是多少？ （2）段長為36 m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少? 解：（1）設矩形菜園的長為x m，寬為y m，則xy=100，籬笆的長為2（x+y） m。由， 可得 ， 。等號當且僅當x=y時成立，此時x=y=10. 因此，這個矩形的長、寬都為10m時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是40m. （2）解法一：設矩形菜園的寬為x　m，則長為（36－2x）m，其中0＜x＜，其面積S＝x（36－2x）＝2x（36－2x）≤ 當且僅當2x＝36－2x，即x＝9時菜園面積最大，即菜園長9m，寬為9 m時菜園面積最大為81 m2 解法二：設矩形菜園的長為x m.,寬為y m ,則2(x+y)=36, x+y=18,矩形菜園的面積為xy m。由 ，可得 當且僅當x=y,即x=y=9時，等號成立。 因此，這個矩形的長、寬都為9m時，菜園的面積最大，最大面積是81m 歸納：1.兩個正數的和為定值時，它們的積有最大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M為定值，則ab≤，等號當且僅當a＝b時成立. 2.兩個正數的積為定值時，它們的和有最小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P為定值，則a＋b≥2，等號當且僅當a＝b時成立. 例2 某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為4800m3,深為3m，如果池底每1m2的造價為150元，池壁每1m2的造價為120元，問怎樣設計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？ 分析：此題首先需要由實際問題向數學問題轉化，即建立函數關系式，然后求函數的最值，其中用到了均值不等式定理。 解：設水池底面一邊的長度為xm，水池的總造價為l元，根據題意，得 當 因此，當水池的底面是邊長為40m的正方形時，水池的總造價最低，最低總造價是297600元 評述：此題既是不等式性質在實際中的應用，應注意數學語言的應用即函數解析式的建立，又是不等式性質在求最值中的應用，應注意不等式性質的適用條件。 歸納：用均值不等式解決此類問題時，應按如下步驟進行： (1)先理解題意，設變量，設變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數； (2)建立相應的函數關系式，把實際問題抽象為函數的最大值或最小值問題； (3)在定義域內，求出函數的最大值或最小值； (4)正確寫出答案. 3.隨堂練習 1.已知x≠0，當x取什么值時，x2＋的值最小?最小值是多少? 2．課本第113頁的練習1、2、3、4 4.課時小結 本節(jié)課我們用兩個正數的算術平均數與幾何平均數的關系順利解決了函數的一些最值問題。在用均值不等式求函數的最值，是值得重視的一種方法，但在具體求解時，應注意考查下列三個條件：(1)函數的解析式中，各項均為正數；(2)函數的解析式中，含變數的各項的和或積必須有一個為定值；(3)函數的解析式中，含變數的各項均相等，取得最值即用均值不等式求某些函數的最值時，應具備三個條件：一正二定三取等。 5.評價設計 課本第113頁習題[A]組的第2、4題 【板書設計】