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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第九課時(shí) 誘導(dǎo)公式教案（1） 蘇教版必修4 教學(xué)目標(biāo)： 理解誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)方法，掌握誘導(dǎo)公式并運(yùn)用之進(jìn)行三角函數(shù)式的求值、化簡(jiǎn)以及簡(jiǎn)單三角恒等式的證明，培養(yǎng)學(xué)生化歸、轉(zhuǎn)化的能力；通過誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到轉(zhuǎn)化“矛盾”是解決問題的一條行之有效的途徑. 教學(xué)重點(diǎn)： 理解并掌握誘導(dǎo)公式. 教學(xué)難點(diǎn)： 誘導(dǎo)公式的應(yīng)用——求三角函數(shù)值，化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，證明簡(jiǎn)單的三角恒等式. 教學(xué)過程： 學(xué)習(xí)三角函數(shù)定義時(shí)，我們強(qiáng)調(diào)P是任意角α終邊上非頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，至于α是多大的角，多小的角并不知道，那么由三角函數(shù)的定義可知：終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等，由此得到公式一： sin（k360＋α）＝sinα cos（k360＋α）＝cosα tan（k360＋α）＝tanα，(k∈Z） 公式的作用：把求任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求0到360角的三角函數(shù)值.下面我們來看幾個(gè)例子. ［例1］求下列三角函數(shù)的值. (1)sin148010′ （2）cos （3）tan（－） 解：(1）sin148010′＝sin（4010′＋4360）＝sin4010′＝0．6451 (2)cos＝cos（＋2π）＝cos＝ (3)tan（－）＝tan（－2π）＝tan＝. ［例2］化簡(jiǎn) 利用同角三角函數(shù)關(guān)系公式脫掉根號(hào)是解決此題的關(guān)鍵，即 原式＝ ＝＝＝cos80 利用這組公式可以將求任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求0到360角的三角函數(shù)值. 初中我們學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)，任意一個(gè)銳角的三角函數(shù)值我們都能求得，但90到3600角的三角函數(shù)值，我們還是不會(huì)求，要想求出其值，我們還得繼續(xù)去尋求辦法：看能不能把它轉(zhuǎn)化成銳角三角函數(shù)，我們來研究這個(gè)問題. 下面我們?cè)賮硌芯咳我饨铅僚c－α的三角函數(shù)之間的關(guān)系，任意角α的終邊與單位圓相交于點(diǎn)P(x，y），角－α的終邊與單位圓相交于點(diǎn)P′，因?yàn)檫@兩個(gè)角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，所以點(diǎn)P′的坐標(biāo)是（x，－y），由正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義可得. sinα＝y(tǒng) cosα＝x sin（－α）＝－y cos（－α）＝x 所以sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα 則tan（－α）＝＝－tanα 于是得到一組公式(公式二)： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα 下面由學(xué)生推導(dǎo)公式三： sin（180－α）＝sinα cos（180－α）＝－cosα tan（180－α）＝－tanα 已知任意角α的終邊與單位圓相交于點(diǎn)P(x，y），由于角180＋α的終邊就是角α的反向延長(zhǎng)線，所以角180＋α的終邊與單位圓的交點(diǎn)P′與點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，由此可知，點(diǎn)P′的坐標(biāo)是（－x，－y)，由正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義可得： sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，sin（180＋α）＝－y，cos（180＋α）＝－x ∴sin（180＋α）＝－sinα cos（180＋α）＝－cosα tan（180＋α）＝tanα 于是我們得到一組公式(公式四)： sin（180＋α）＝－sinα cos（180＋α）＝－cosα tan（180＋α）＝tanα 分析這幾組公式，它有如下的特點(diǎn)： 1.－α、180－α、180＋α的三角函數(shù)都化成了α的同名三角函數(shù). 2.前面的“＋”“－”號(hào)是把看作銳角時(shí)原函數(shù)的符號(hào).即把α看作銳角時(shí)，180＋α是第三象限角，第三象限角的正弦是負(fù)值，等號(hào)右邊放“－”號(hào)，第三象限角的余弦是負(fù)值，等號(hào)右邊放“－”號(hào)；把α看作銳角時(shí)，－α是第四象限角，第四象限角的正弦是負(fù)值，等號(hào)右邊放“－”號(hào)，第四象限角的余弦是正值，等號(hào)右邊放“＋”號(hào). 這也就是說，－α、180－α、180＋α的三角函數(shù)都等于α的同名三角函數(shù)且前面放上把α看作銳角時(shí)原函數(shù)的符號(hào)，可以簡(jiǎn)記為： 函數(shù)名不變，正負(fù)看象限 下面我們來看幾個(gè)例子. ［例3］求下列三角函數(shù)值 (1)cos225 （2）sinπ 解：(1)cos225＝cos（180＋45）＝－cos45＝－； (2)sinπ＝sin（π＋）＝－sin＝－sin18＝－0．3090.(sin18的值系查表所得) ［例4］求下列三角函數(shù)值 (1)sin（－） （2）cos（－24012′） 解：(1)sin（－）＝－sin＝－； (2)cos（－24012′）＝cos24012′＝cos（180＋6012′） ＝－cos6012′＝－0．4970 ［例5］化簡(jiǎn) 解：原式＝＝＝1 課堂練習(xí)： 課本P21練習(xí)1、2、3. 課時(shí)小結(jié)： 本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了公式一～四，這幾組公式在求三角函數(shù)值、化簡(jiǎn)三角函數(shù)式及證明三角恒等式時(shí)是經(jīng)常用到的，為了記牢公式，我們總結(jié)出了“函數(shù)名不變，正負(fù)看象限”的簡(jiǎn)便記法，同學(xué)們要正確理解這句話的含義，不過更重要的還是應(yīng)用，我們要多練習(xí)，以便掌握得更好，運(yùn)用得更自如. 課后作業(yè)： 課本P24練習(xí)13、16、17. 誘導(dǎo)公式（一） 1．sin(－π)的值等于 （ ） A. B.－ C. D.－ 2．若cos165＝a，則tan195等于 （ ） A. － B. － C. D. 3．已知cos(π＋θ)＝－，則tan(θ－9π)的值 （ ） A. B. C. D.－ 4．已知sin（π－α）＝log8，且α∈(－，0)，則tanα的值是 （ ） A. B.－ C. D. － 5．下列不等式中，不成立的是 （ ） A.sin130＞sin140 B.cos130＞cos140 C.tan130＞tan140 D.cot130＞cot140 6．求：的值. 7．求下列各三角函數(shù)值. （1）sin（－π） （2）sin（－1200） （3）tan(－π) (4)tan(－855) （5）cosπ (6)cos(－945) 8．已知π＜θ＜2π，cos(θ－9π)＝－，求tan(10π－θ)的值. 誘導(dǎo)公式（一）答案 1．C 2．D 3．C 4．B 5．C 6．－ 7．求下列各三角函數(shù)值. （1）sin（－π） （2）sin（－1200） （3）tan(－π) (4)tan(－855) （5）cosπ (6)cos(－945) 分析：求三角函數(shù)值的步驟為：①利用誘導(dǎo)公式三將負(fù)角的三角函數(shù)變?yōu)檎堑娜呛瘮?shù).②利用誘導(dǎo)公式一化為0到360間的角的三角函數(shù). ③進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成銳角三角函數(shù). 解:（1）sin（－π）＝－sinπ ＝－sin(4π＋π)＝－sinπ＝－sin（π＋）＝sin＝ (2)sin(－1200)＝－sin1200 ＝－sin(3360＋120)＝－sin120＝－sin(180－60)＝－sin60＝－ (3)tan(－π)＝－tanπ ＝－tan(22π＋π－)＝－tan(π－)＝tan＝ (4)tan(－855)＝－tan855 ＝－tan(2360＋135)＝－tan135＝－tan(180－45)＝tan45＝1 (5)cosπ＝cos(4π＋) ＝cos＝cos(π－)＝－. (6)cos(－945)＝cos945＝cos(2360+225) ＝cos225＝cos(180＋45)＝－cos45＝－. 8．已知π＜θ＜2π，cos(θ－9π)＝－，求tan(10π－θ)的值. 分析：依據(jù)已知條件求出cosθ，進(jìn)而求得tan(10π－θ)的值. 解：由已知條件得 cos(θ－π)＝－，cos(π－θ)＝－， ∴cosθ＝ ∵π＜θ＜2π， ∴＜θ＜2π ∴ tanθ＝－ ∴tan(10π－θ)＝tan(－θ)＝－tanθ＝