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2019-2020年高中數學2.3變量間的相關關系教案新人教版必修3 本節(jié)教學設計主要是使用TI92圖形計算器，對普通高中課程標準實驗教科書數學③第二章《統(tǒng)計》中的“兩個變量的線性相關”進行有益的教與學探究。學生通過對 TI圖形計算器的操作，具體形象地利用散點圖等直觀圖形認識變量之間的相關關系，同時，經歷描述兩個變量的相關關系的過程。學生親自體驗了發(fā)現數學、領悟數學的全過程。與此同時，教師在落實新課程標準的相關理念上作了一些有益的探討。 教學設計與實踐： [教學目標]： 1、 明確事物間的相互聯(lián)系。認識現實生活中變量間除了存在確定的關系外，仍存在大量的非確定性的相關關系，并利用散點圖直觀體會這種相關關系。 2、 通過TI技術探究用不同的估算方法描述兩個變量的線性相關關系的過程，學會用數學的有關變量來描述現實關系。 3、知道最小二乘法思想，了解其公式的推導。會用TI圖形計算器來求回歸方程，相關系數。 [教學用具]： 學生每人一臺TI圖形計算器、多媒體展示臺、幻燈 [教學實踐情況]： 一、 問題引出：請同學們如實填寫下表（在空格中打“√” ） 好 中 差 你的數學成績 你的物理成績 然后回答如下問題：①“你的數學成績對你的物理成績有無影響？”②“ 如果你的數學成績好，那么你的物理成績也不會太差，如果你的數學成績差，那么你的物理成績也不會太好?！睂δ銇碚f，是這樣嗎？同意這種說法的同學請舉手。 根據同學們回答的結果，讓學生討論：我們可以發(fā)現自己的數學成績和物理成績存在某種關系。（似乎就是數學好的，物理也好；數學差的，物理也差，但又不全對。）教師總結如下： 物理成績和數學成績是兩個變量，從經驗看，由于物理學習要用到比較多的數學知識和數學方法。數學成績的高低對物理成績的高低是有一定影響的。但決非唯一因素，還有其它因素，如圖所示（幻燈片給出）： （影響你的物理成績的關系圖） 因此，不能通過一個人的數學成績是多少就準確地斷定他的物理成績能達到多少。但這兩個變量是有一定關系的，它們之間是一種不確定性的關系。如何通過數學成績的結果對物理成績進行合理估計有非常重要的現實意義。 二、 引出相關關系的概念 教師提問：“像剛才這種情況在現實生活中是否還有？” 學生甲：糧食產量與施肥用量的關系； 學生乙：人的體重與食肉數量的關系。 …… 從而得出：兩個變量之間的關系可能是確定的關系（如：函數關系），或非確定性關系。當自變量取值一定時，因變量也確定，則為確定關系；當自變量取值一定時，因變量帶有隨機性，這種變量之間的關系稱為相關關系。相關關系是一種非確定性關系。 三、探究線性相關關系和其他相關關系 問題：在一次對人體脂肪和年齡關系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數據： 人體的脂肪百分比和年齡 年齡 23 27 39 41 45 49 50 脂肪 9．5 17．8 21．2 25．9 27．5 26．3 28．2 年齡 53 54 56 57 58 60 61 脂肪 29．6 30．2 31．4 30．8 33．5 35．2 34．6 針對于上述數據所提供的信息，你認為人體的脂肪含量與年齡之間有怎樣的關系？教師特別向學生強調在研究兩個變量之間是否存在某種關系時，必須從散點圖入手（向學生介紹什么是散點圖）。并且引導學生從散點圖上可以得出如下規(guī)律：（幻燈片給出） 1、如果所有的樣本點都落在某一函數曲線上，那么變量之間具有函數關系（確定性關系）； 2、如果所有的樣本點都落在某一函數曲線的附近，那么變量之間具有相關關系（不確定性關系）； 3、如果所有的樣本點都落在某一直線附近，那么變量之間具有線性相關關系（不確定性關系）。 下面我們用TI圖形計算器作出這兩個變量的散點圖。 學生實驗：先把數據中成對出現的兩個數分別作為橫坐標、縱坐標，把數據輸入到表格當中（第一列橫坐標、第二列縱坐標）得到圖1；然后，用TI圖形計算器作散點圖得圖2： （圖1） （圖2） 引導學生觀察作出的散點圖，體會現實生活中兩個變量之間的關系存在著不確定性。散點圖中的散點并不在一條直線上，只是分布在一條直線的周圍，即為線性相關關系。 給出三組數據（表1-3），請學生作出散點圖，并觀察每組數據的特點。 表1： -5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54 表2 ： -12 -9 -5 -4 -3 -1 0 2 4 6 9 13 120 100 20 12 6 2 0 3.5 23 27 70 150 表3： -9 -7 -5 -4 -2 -1 0 1 3 5 7 9 1/560 1/100 1/30 1/18 1/5 9/10 10/11 3 9 28 100 550 表4： -13 -11 -9 -7 -5 -3 -2 -1 0 1 3 4 5 92 55 31 15 6 5 9 12 19 30 50 70 88 根據表1-4，學生作出如下散點圖，（圖3、圖4、圖5、圖6）： 　　　　　　　 （圖3）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （圖4） 　　　　　　　　 （圖5）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （圖6） 通過學生討論、交流、用TI圖形計算器展示、對比自己作出的散點圖，我們引出線性相關關系，正負相關關系的概念。 四、引出回歸直線的概念，探索求回歸直線方程的方法 再看圖2，你能說說人在62、63、64歲時的脂肪含量大約是多少嗎？ 通過用TI圖形計算器圖象，猜想：所有的點都大致分布在一條直線的附近，只要求出這條直線的方程，那么就可以知道人在62、63、64歲時的脂肪含量。如圖7，從整體上看，散點圖中的點分布大致在一條直線附近，我們把這條直線叫做“回歸直線”。 （圖7） 注：“回歸”這個詞是有英國著名的統(tǒng)計學家 Francils Galton 提出來的。1889年，他在研究祖先與后代身高之間的關系時發(fā)現，身材較高的父母，他們的孩子也較高，但這些孩子的平均身高并沒有他們的父母平均身高高；身材較矮的父母，他們的孩子也較矮，但這些孩子的平均身高卻比他們的父母平均身高高。Galton 把這種后代的身高向中間值靠近的趨勢稱為“回歸現象”。后來，人們把由一個變量的變化去推測另一個變量的變化的方法稱為“回歸方法”。 那么如何求回歸直線方程呢？人們在思考這個問題的時候，常用以下3種方法： 1、采用測量的方法，先畫一條直線，測量出各點到它的距離，然后移動直線，到達一個使距離之和最小的位置，測量出此時直線的斜率和截距，就得到回歸方程。 2、在圖中選取兩點畫直線，使得直線兩側的點的個數基本相同。 3、在散點圖中多取幾個點，確定幾條直線的方程，分別求出各條直線的斜率和截距的平均數，將這兩個平均數作為回歸方程的斜率和截距。 上面的這些方法雖然有一定的道理，但總讓人感覺到可靠性不強。統(tǒng)計學中，科學家們經過研究后于是得出了如下方法：求回歸方程的關鍵是如何用數學的方法來刻畫“從整體上看各點與此直線的距離和最小”?，F在，我們來看一下數學家解決這個問題的思維過程吧。 設已經得到具有線性相關關系的一組數據：，所要求的回歸直線方程為：，其中，是待定的系數。當變量取時，可以得到。求的最小值，其步驟為： 最后，指導學生直接利用TI圖形計算器，計算人的脂肪含量與年齡這一問題。得到圖8： （圖8） 五、相關系數及其含義 從圖象和回歸方程可知：人的脂肪含量與人的年齡是正相關關系，那么人的年齡多大程度上決定人體的脂肪含量？這就是相關強弱的問題。如何解決這一問題，統(tǒng)計學家們引進相關系數這一概念，用相關系數來衡量兩個變量之間的線性關系的強弱。若相應于變量的取值，變量的觀測值為， 則兩個變量的相關系數的計算公式為： 相關關系的強弱給出具體的判斷標準：首先的符號決定正、負相關關系；當時，相關關系很強；當時，相關關系一般；此外，相關關系很弱或者幾乎不能用線性相關來描述。TI圖形計算器結果中出現的就是相關系數，就是。 通過計算，我們得到探究問題中的（如圖8所示），所以我們說人的脂肪含量與人的年齡正相關關系很強。 最后，我們得到問題的主要結論： 1、 人體的脂肪與年齡之間是線性相關關系，而且正相關關系很強（ ）。 2、這種相關關系可以用回歸方程：來刻畫。 3、人在62、63、64歲時，人體的脂肪含量百分比大約為：35.26、35.84、36.42。 [效果與回收]： 一、課外實踐：（用TI圖形計算器等工具完成下列問題） 1、一個車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進行了10次試驗，收集數據如下： 零件(個數) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工時間（min） 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 (1)、畫出散點圖； (2)、求回歸方程； (3)、關于加工零件的個數與加工時間，你能得出什么結論？ 2、某機構曾研究對翻車魚的影響。在一定溫度下，經單位時間，翻車魚的存活的比例為，數據如下： (0.10,1.00), (0.15,0.95), (0.20,0.95), (0.25,0.90), (0.30,0.85), (0.35,0.70), (0.40,0.65), (0.45,0.60), (0.50,0.55), (0.55,0.40). (1)、請作出這些數據的散點圖； (2)、關于這兩個變量的關系，你能得出什么結論？ 3、經過抽樣，我校的部分學生的第二次段考語文和數學成績如下： 語文 56 60 66 70 93 102 112 115 119 120 122 126 數學 99 55 49 124 138 100 86 91 70 110 99 82 (1)、請作出這些數據的散點圖； (2)、關于學生的數學成績與語文成績之間的關系，你能得出什么結論？ 二、學生完成情況綜述 （1）、正確的作圖與結論： ①第1題解答： （圖9） （圖10） 結論： 1、散點圖如上圖9所示（已經添加了回歸直線）。 2、回歸方程：。 3、通過觀察圖9可知：加工零件的個數與加工時間之間是線性相關關系。因為，相關系數是：，所以，正相關關系很強。 ②第2題解答： （圖11） （圖12） 結論： 1、散點圖如上圖11所示（已經添加了回歸直線）。 2、回歸方程：。 3、通過觀察圖11可知：翻車魚的存活的比例與單位時間之間是線性相關關系。因為，相關系數是：，所以，負相關關系很強。 ③第3題解答： （圖13） （圖14） 結論： 1、散點圖如上圖13所示。 2、通過觀察圖13可知：學生的數學成績與語文成績之間的關系是不確定關系。因為，相關系數是：，所以，相關關系很弱，幾乎沒有線性相關關系。 （2）、作圖中存在的錯誤與不足： （圖15） （圖16） （圖17）（圖18） 以上的兩個圖形的錯誤或不足之處分別在于： ①出現圖15 的現象，是因為圖象顯示的窗口沒有調整到最合適窗口。 ②出現圖16的現象，是因為在求回歸直線方程過程中，按錯了鍵，以致求出的是中位數回歸方程。 ③出現圖17、18的現象，是因為在求回歸直線方程過程中，把數組中的的順序顛倒了。雖然圖17與圖9很相近，但是，實質上是錯誤的作圖，這一點可以從求出的回歸方程（圖18）：與正確的方程：相比較得到證實。