2019-2020年高中數(shù)學(xué)《任意角的三角函數(shù)》教學(xué)設(shè)計(jì)新人教A版必修4.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《任意角的三角函數(shù)》教學(xué)設(shè)計(jì)新人教A版必修4 一、內(nèi)容與內(nèi)容解析 三角函數(shù)是函數(shù)的一個(gè)特例,是函數(shù)概念的下位概念,與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)具有相同的地位,但是在具體的定義方式上又有所不同,應(yīng)該按照概念的體系將之納入到原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中,揭示彼此之間的關(guān)系,認(rèn)識新概念的本質(zhì)屬性。 因此本課時(shí)的教學(xué)重點(diǎn)是: 通過概念的同化與精致過程,幫助學(xué)生理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義,并在這個(gè)過程中突出單位圓的作用。 二、目標(biāo)和目標(biāo)解析 1.借助單位圓理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義。(能根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義求出具體的角的各三角函數(shù)值,能根據(jù)定義探究出三角函數(shù)值在各個(gè)象限的符號。) 2.在定義的學(xué)習(xí)過程中滲透數(shù)形結(jié)合的思想。(根據(jù)角的終邊與單位圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)寫出角的各三角函數(shù)值,及各三角函數(shù)的定義域,利用單位圓的幾何特征寫出正弦、余弦的值域。) 3.在概念同化和精致的過程中發(fā)展學(xué)生研究問題的能力。(知道概念所在的體系,知道任意角的三角函數(shù)與銳角三角函數(shù)、函數(shù)、指、對數(shù)函數(shù)等之間的關(guān)系,利用單位圓的幾何特征研究三角函數(shù)的方法。) 三、教學(xué)問題診斷分析 在概念教學(xué)過程中要注意學(xué)生已有知識經(jīng)驗(yàn)的作用,發(fā)揮其正遷移,防止其負(fù)遷移。本課時(shí)研究的是任意角的三角函數(shù),學(xué)生在初中階段曾經(jīng)研究過銳角三角函數(shù),其研究范圍是銳角;其研究方法是幾何的,沒有坐標(biāo)系的參與;其研究目的是為解直角三角形服務(wù)。以上三點(diǎn)都是與本課時(shí)不同的,因此在教學(xué)過程中要發(fā)展學(xué)生的已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn),發(fā)揮其正遷移。具體而言要做到:明確研究范圍的變化,開闊學(xué)生的視野,并揭示由此帶來的新問題,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣;借助單位圓在坐標(biāo)系中進(jìn)行研究,要先將銳角的三角函數(shù)問題置于坐標(biāo)系中,幫助學(xué)生利用坐標(biāo)系借助單位圓重新認(rèn)識銳角三角函數(shù),這樣做激活了學(xué)生的已有知識經(jīng)驗(yàn),并且用新的視角認(rèn)識已有知識經(jīng)驗(yàn),復(fù)習(xí)了舊知識,同時(shí)為新的研究內(nèi)容做好鋪墊;第三,由于研究范圍的改變,更加突出了任意角的三角函數(shù)是為研究客觀世界中大量存在的周期性現(xiàn)象服務(wù)的。這些都是在本課時(shí)的學(xué)習(xí)之后應(yīng)該取得的認(rèn)知方面的進(jìn)步。 認(rèn)識一個(gè)函數(shù),關(guān)鍵是認(rèn)識函數(shù)的三要素。在學(xué)生學(xué)習(xí)過的函數(shù)中,一次、二次、反比例或者用圖、表表示的對應(yīng)法則的函數(shù),其三要素是比較容易找到的,指、對函數(shù)的學(xué)習(xí)就需要一定的基礎(chǔ),同樣在任意角的三角函數(shù)學(xué)習(xí)過程中也可能在自變量和對應(yīng)法則上出現(xiàn)問題,應(yīng)該注意明確任意角的三角函數(shù)的三要素,比如正弦函數(shù)y=sinα中自變量是角α,并且α∈R,對應(yīng)法則是一個(gè)角與其正弦值對應(yīng),至于這個(gè)值怎么計(jì)算,在此處是規(guī)定為角α終邊與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo),通過例2可以看出,也可以利用比值定義。對于一次函數(shù)、二次函數(shù)也需要將自變量的值進(jìn)行計(jì)算得到函數(shù)值,這一點(diǎn)本質(zhì)上是統(tǒng)一的,要引導(dǎo)學(xué)生類比理解。 此外,由于學(xué)生對角度制的應(yīng)用已經(jīng)很熟練,而對弧度制的應(yīng)用比較陌生,所以在理解函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集時(shí)可能會出現(xiàn)問題,這需要教師的引導(dǎo),同時(shí)也需要時(shí)間適應(yīng)。 綜合上述分析,本課時(shí)的教學(xué)難點(diǎn)是: 引導(dǎo)學(xué)生將任意角的三角函數(shù)的定義同化,幫助學(xué)生真正理解定義。 四、教學(xué)支持條件分析 利用幾何畫板改變角的位置,認(rèn)識角的終邊位于不同象限時(shí)如何定義角的三角函數(shù)值,充實(shí)學(xué)生的直觀感知材料,幫助學(xué)生形成比較全面的認(rèn)知。 五、教學(xué)過程設(shè)計(jì) 問題1本章研究的問題是三角函數(shù),函數(shù)的研究離不開平面直角坐標(biāo)系,這在第一節(jié)中已經(jīng)有所感受。現(xiàn)在請你回憶初中學(xué)過的銳角三角函數(shù)的定義,并思考一個(gè)問題:如果將銳角置于平面直角坐標(biāo)系中,如何用直角坐標(biāo)系中角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)呢? (設(shè)計(jì)意圖:將已有知識坐標(biāo)化,分化難點(diǎn)。用新的觀點(diǎn)再認(rèn)識學(xué)生的已有知識經(jīng)驗(yàn),發(fā)揮其正遷移作用,同時(shí)使本課時(shí)的學(xué)習(xí)與學(xué)生的已有知識經(jīng)驗(yàn)緊密聯(lián)系,使知識有一個(gè)熟悉的起點(diǎn),扎實(shí)的固著點(diǎn)。) 預(yù)計(jì)的回答:學(xué)生可以回憶出初中學(xué)過的銳角三角函數(shù)的定義,但是在用坐標(biāo)語言表述時(shí)可能會出現(xiàn)困難——即使將角置于坐標(biāo)系中但是仍然習(xí)慣用三角形邊的比值表示銳角三角函數(shù),需要教師引導(dǎo)學(xué)生將之轉(zhuǎn)換為用終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)。 解答過程: (1)再現(xiàn)銳角三角函數(shù)的定義:如圖1,在直角△POM中,∠M是直角,那么。 (2)坐標(biāo)化:如圖2,建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),那么,于是。 問題2回憶弧度制中1弧度角的幾何解釋,它是借助于單位圓給出的,能否從中得到啟示將上述定義的形式化簡,化簡的依據(jù)是什么?寫出最簡單的形式。 (設(shè)計(jì)意圖:引入單位圓。深化對單位圓作用的認(rèn)識,用數(shù)學(xué)的簡潔美引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行研究,為定義的拓展奠定基礎(chǔ)。該問題與問題1結(jié)合,分步推進(jìn),降低難度,基本尊重教材的處理方式。) 預(yù)計(jì)的困難:由于學(xué)生只接觸過一次單位圓,對它所能起的作用只有一般的了解,所以需要教師的引導(dǎo)。也可以引導(dǎo)學(xué)生從形式上對上述定義化簡,使得分母為1,之后通過分母的幾何意義將之與單位圓結(jié)合起來。 解答過程: 單位圓中定義銳角三角函數(shù):如圖3,線段OP=1,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),那么銳角α的三角函數(shù)可以用坐標(biāo)表示為: 。 (說明:單位圓的定義建議在弧度制一節(jié)中給出。) 依據(jù):三角形相似,比值與具體的點(diǎn)的位置沒有關(guān)系。 問題3:上述定義是借助于單位圓,利用角的終邊與單位圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)給出的,它可以推廣到任意角的三角函數(shù),請你寫出任意角的三角函數(shù)的定義。分小組分別寫出角α的終邊位于第二、三、四象限和x軸、y軸上時(shí)的三角函數(shù)。 (設(shè)計(jì)意圖:具體認(rèn)識任意角的三角函數(shù),突現(xiàn)本課時(shí)的研究重點(diǎn)。如果問題太一般化,如設(shè)計(jì)為:上述定義可以推廣到任意角的三角函數(shù),請寫出任意角的三角函數(shù)的定義。那么學(xué)生不知道“上述定義”是指哪個(gè),而且不明白任意角該如何取。所以在問題設(shè)計(jì)中再次強(qiáng)調(diào)要借助于單位圓,利用坐標(biāo),限定學(xué)生的思維,以免太發(fā)散。再者在一般要求“寫出任意角的三角函數(shù)”之后,又提出具體的活動(dòng)方式:分小組針對不同位置的角分別寫出其三角函數(shù)。這樣將問題具體化,學(xué)生容易著手解決。寫出定義的過程也是鞏固推廣的過程,而且這樣做盡可能避免出現(xiàn)學(xué)生用計(jì)算器算cosπ的現(xiàn)象。) 活動(dòng)形式:由學(xué)生分組獨(dú)立完成之后再展示交流,形成具體而全面的認(rèn)識。學(xué)生可能會在寫出任意角的三角函數(shù)的定義時(shí)出現(xiàn)困難,教師的幫助不要具體,而是在思維上引導(dǎo)——用坐標(biāo)表示,并引導(dǎo)學(xué)生正確認(rèn)識三角函數(shù)的定義域。 預(yù)計(jì)的答案:如圖4,針對其中的圖(1)(2)(3)學(xué)生寫出,針對其中的圖(4)學(xué)生寫出,針對其中的圖(5)學(xué)生寫出,tanα無意義。 結(jié)論:給出三角函數(shù)的定義:(略)。 問題4:根據(jù)上述過程,你能寫出三角函數(shù)的定義域嗎?你能用函數(shù)的定義對三角函數(shù)進(jìn)行分析嗎? (設(shè)計(jì)意圖:順勢而為形成定義,并將三角函數(shù)的定義進(jìn)行同化,通過這樣的活動(dòng)強(qiáng)化學(xué)生對任意角三角函數(shù)定義的理解,達(dá)到對概念的初步精致。) 預(yù)計(jì)的困難:學(xué)生對三角函數(shù)的自變量認(rèn)識可能會存在問題。 教師的引導(dǎo):引導(dǎo)學(xué)生利用單位圓的幾何意義解釋正弦、余弦的值域。 預(yù)計(jì)的答案:設(shè)α是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y)。 例1 求的正弦、余弦和正切值。 (設(shè)計(jì)意圖:鞏固對定義的理解。) 分析:根據(jù)定義求解,先利用銳角三角函數(shù)知識求出點(diǎn)P的坐標(biāo),再根據(jù)定義求解。 解:如圖5,可知在RTΔOPC中,∠OPC=30o,所以O(shè)C=,CP=,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是。 根據(jù)定義可得: 練習(xí)1 (P15練習(xí)3)完成下列表格中的前兩列: 例2已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(-3,-4),求角α的正弦、余弦和正切值。 (設(shè)計(jì)意圖:通過問題的轉(zhuǎn)化,進(jìn)一步加深對定義的理解。) 分析:通過相似求出角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo),之后再根據(jù)定義求解。 解:如圖6,由已知可得: |OP0|=。 設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),分別過點(diǎn)P和P0作x軸的垂線MP,M 0P0,則 又|OP|=1, 根據(jù)∽Δ,可得,即, 所以,。 所以。 (說明:上述書寫過程基本與例1統(tǒng)一,這樣可以將該題目的求解思路同化,降低學(xué)習(xí)難度。) 問題5 通過本課時(shí)的學(xué)習(xí)你有哪些收獲,請從知識、思想方法經(jīng)驗(yàn)等方面進(jìn)行小結(jié)。此外你還有哪些需要質(zhì)疑之處。 (設(shè)計(jì)意圖:引導(dǎo)學(xué)生小結(jié),并進(jìn)一步思考。通過質(zhì)疑引導(dǎo)學(xué)生全面認(rèn)識三角函數(shù),雖然在課堂上不研究其他3個(gè)三角函數(shù),但是可以讓學(xué)生有一個(gè)全面的認(rèn)識,培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。通過三角函數(shù)定義的一般化,引導(dǎo)學(xué)生用辯證的觀點(diǎn)認(rèn)識事物,理解三角函數(shù)。) 小結(jié):知識:(略); 思想方法:(略); 經(jīng)驗(yàn):用函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識三角函數(shù),用單位圓的幾何特征研究三角函數(shù)。 拓展1:3個(gè)數(shù)可以形成6個(gè)比值,為什么只對其中的三個(gè)比值進(jìn)行定義和研究,其他3個(gè)比值又能對應(yīng)什么函數(shù)呢?有興趣的同學(xué)可以自己查閱資料進(jìn)行研究。 拓展2:通過求解例2,你能發(fā)現(xiàn)還可以怎么定義任意角的三角函數(shù)呢?請閱讀教材的旁白。這是三角函數(shù)定義的等價(jià)定義。 六、目標(biāo)檢測設(shè)計(jì) 1.P15練習(xí)1,2,3; (設(shè)計(jì)意圖:初步應(yīng)用定義和等價(jià)定義。) 2.習(xí)題1.2A組2。 (設(shè)計(jì)意圖:培養(yǎng)學(xué)生類比、對比解決問題能力。) 3.完成教材P13的探究,之后完成P15練習(xí)4,6,把結(jié)果填在書上。 (設(shè)計(jì)意圖:將作業(yè)作為課堂教學(xué)的延伸,培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力和習(xí)慣。) 七.設(shè)計(jì)思路 1.突出單位圓的作用。具體表現(xiàn)在三個(gè)方面:第一是將銳角三角函數(shù)坐標(biāo)化,引入單位圓;第二是利用單位圓寫出任意角的三角函數(shù);第三是利用單位圓寫出定義域及正弦、余弦的值域;第四是在例2的解決過程中建立單位圓與一般定義的關(guān)系。 2.用函數(shù)同化三角函數(shù)。給出任意角的三角函數(shù)的定義之后,用函數(shù)的定義對三角函數(shù)進(jìn)行分析,將之納入到已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中,并使得原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生順應(yīng)變化。 3.力求在數(shù)學(xué)的自然、必要和學(xué)生的認(rèn)知之間尋找平衡點(diǎn)。 根據(jù)聽課時(shí)出現(xiàn)的問題,在本教學(xué)設(shè)計(jì)中采取了下列處理方式。 (1)先坐標(biāo)化再引入單位圓,降低認(rèn)知臺階。 從銳角三角函數(shù)到任意角三角函數(shù)這一段的處理基本尊重教材,這是因?yàn)樵诼犝n過程中發(fā)現(xiàn)如果將“坐標(biāo)化”與“單位圓”兩個(gè)問題同時(shí)拋給學(xué)生,雖然能體現(xiàn)出做這兩個(gè)工作的必要性,但是跨度較大,學(xué)生感到困難,解決問題的過程費(fèi)時(shí)費(fèi)力,不但不能使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)的必要性,反而制約了學(xué)生的思維。 (2)將問題分解、具體化,通過具體認(rèn)識一般。 在形成任意角的三角函數(shù)的定義時(shí)將問題解剖,并采取分組合作的組織方式,旨在將抽象的問題具體化,降低難度。讓學(xué)生根據(jù)角的不同位置寫出定義,特別是對于象限角也進(jìn)行了相同的處理辦法,這是因?yàn)閷W(xué)生的思維從具體問題開始,而且要形成“初始效應(yīng)”,在新概念學(xué)習(xí)伊始就使得它植根于學(xué)生的已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中,并形成強(qiáng)烈的意識——用新定義解決問題,而不再用計(jì)算器或其他辦法。 (3)解題思路求同,強(qiáng)化定義的作用。 例1、例2兩個(gè)題目的解決思路都是相同的:先求出角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo),之后再根據(jù)定義求解。差別在于求角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)的具體方法不同,這些求法都是學(xué)生已經(jīng)具備的技能。據(jù)此建議教材中將例2的解題過程修改,將利用相似求線段長的計(jì)算前置,分步完成即降低了難度,又統(tǒng)一了思路,突出了定義的作用。 (4)將作業(yè)作為課堂教學(xué)的有效延伸,給學(xué)生思考的空間。 作業(yè)中的第3項(xiàng)的設(shè)計(jì),其意是使得學(xué)生的作業(yè)不但有模仿的,更有需要獨(dú)立思考的,培養(yǎng)學(xué)生的能力- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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