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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《向量的應(yīng)用》教案3 蘇教版必修4 一、教材分析 向量概念是由物理學(xué)和工程技術(shù)抽象出來的，反向量的理論和方法，又成為解決物理學(xué)和工程技術(shù)的重要工具，向量之所以有用，關(guān)鍵是它具有一套良好的運(yùn)算性質(zhì)，通過向量可把空間圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算，這樣通過向量就能較容易地研究空間的直線和平面的各種有關(guān)問題教學(xué)中要展現(xiàn)并讓學(xué)生經(jīng)歷這個(gè)抽象的過程。 向量在數(shù)學(xué)知識(shí)中的應(yīng)用 ，注意突出向量的工具性，向量在物理中的應(yīng)用 ，是培養(yǎng)學(xué)生用向量知識(shí)解決有關(guān)物理問題的能力，向量在物理中的應(yīng)用既是一個(gè)物理問題又是一個(gè)數(shù)學(xué)問題，所以在教學(xué)中，首先要把它轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，即用數(shù)學(xué)知識(shí)建立物理量之間的關(guān)系，也就是抽象成數(shù)學(xué)模型，然后再用建立起的數(shù)學(xué)模型解釋相關(guān)物理現(xiàn)象 由于向量具有兩個(gè)明顯特點(diǎn)——“形”的特點(diǎn)和“數(shù)”的特點(diǎn)，這就使得向量成了數(shù)形結(jié)合的橋梁，向量的坐標(biāo)實(shí)際是把點(diǎn)與數(shù)聯(lián)系了起來，進(jìn)而可把曲線與方程聯(lián)系起來，這樣就可用代數(shù)方程研究幾何問題，同時(shí)也可以用幾何的觀點(diǎn)處理某些代數(shù)問題，因此這部分知識(shí)還滲透了數(shù)形結(jié)合的解析幾何思想 一方面是如何把物理問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，也就是將物理中量之間的關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)模型，另一方面是如何利用建立起來的數(shù)學(xué)模型解釋和回答相關(guān)的物理現(xiàn)象。 本節(jié)課是蘇教版必修4第2章平面向量中第5節(jié)向量的應(yīng)用，通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生將進(jìn)一步深化用向量的語言和方法表述和解決數(shù)學(xué)和物理中的一些問題。 二、學(xué)情分析 本節(jié)課的授課對(duì)象為單招預(yù)科班學(xué)生，對(duì)于職高學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)及學(xué)習(xí)特點(diǎn)，為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣并考慮學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)針對(duì)單招預(yù)科班學(xué)生創(chuàng)設(shè)拔河比賽等問題情景。 學(xué)生已學(xué)習(xí)平面向量的相關(guān)內(nèi)容,初步建立了向量的數(shù)學(xué)模型和物理模型。教學(xué)中盡可能提供學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐的機(jī)會(huì),利用信息技術(shù)工具,讓學(xué)生從親身體驗(yàn)中掌握知識(shí)與方法；應(yīng)創(chuàng)設(shè)情境,提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,發(fā)揮主觀能動(dòng)性。 此外,學(xué)生總結(jié)歸納的能力還不夠, 需要教師適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)和幫助。 三、教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)與技能：1. 學(xué)會(huì)如何把生活中的問題提煉出數(shù)學(xué)信息，并加工成數(shù)學(xué)語言，并用向量知識(shí)解決物理問題，.體會(huì)向量是一種數(shù)學(xué)工具 2. 掌握用向量知識(shí)解決代數(shù)問題與幾何問題的互相轉(zhuǎn)換和強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法． 3.揭示知識(shí)背景，強(qiáng)化學(xué)生的參與意識(shí)；加強(qiáng)數(shù)學(xué)結(jié)合能力，發(fā)展運(yùn)算能力和解決實(shí)際問題的能力. 4.初步會(huì)用多媒體技術(shù)——幾何畫板作圖工具處理數(shù)學(xué)問題。 過程與方法：1.通過學(xué)生自主探究畫物體受力分析轉(zhuǎn)化到向量的幾何特征的過程滲透數(shù)學(xué)結(jié)合思想和化規(guī)及轉(zhuǎn)化思想。 2.利用幾何畫板,更體現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想。 3．通過引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、綜合、抽象、概括，引導(dǎo)學(xué)生利用實(shí)現(xiàn)代數(shù)問題與幾何問題的轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力． 情感、態(tài)度與價(jià)值觀：體驗(yàn)探究的樂趣,認(rèn)識(shí)到萬物的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化,學(xué)會(huì)用辨證與聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題。培養(yǎng)分析、解決和應(yīng)用問題的能力。 情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過問題情景和例題的探究了解數(shù)學(xué)在實(shí)際中的應(yīng)用，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，開闊數(shù)學(xué)視野，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值。 四、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 重點(diǎn)：利用向量解決某些簡單的幾何問題,力學(xué)問題；滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想 難點(diǎn)：向量法在實(shí)際問題中的應(yīng)用 五、教學(xué)方法 本節(jié)課采用“啟發(fā)式、探究式教學(xué)”。把問題作為出發(fā)點(diǎn)，指導(dǎo)學(xué)生“畫、看、說、用”。較好地探求.經(jīng)歷用向量法解決某些簡單的幾何問題,力學(xué)問題的過程. 六、教學(xué)準(zhǔn)備 帶學(xué)生進(jìn)機(jī)房，打開幾何畫板作圖工具界面。 七、整體設(shè)計(jì)意圖 本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)充分體現(xiàn)以學(xué)生發(fā)展為本，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、概括和探究能力，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，體現(xiàn)理論聯(lián)系實(shí)際、循序漸進(jìn)和因材施教的教學(xué)原則，借助多媒體網(wǎng)絡(luò)技術(shù)，發(fā)揮學(xué)生的動(dòng)手能力，通過問題情境的創(chuàng)設(shè)，激發(fā)興趣，在觀察中發(fā)現(xiàn)，在總結(jié)中應(yīng)用，體會(huì)收獲的喜悅，使學(xué)生在問題解決的探索過程中，由學(xué)會(huì)走向會(huì)學(xué)，由被動(dòng)答題走向主動(dòng)探究，從而提高課堂效率，提高學(xué)生探究應(yīng)用意識(shí)。 八、教學(xué)過程設(shè)計(jì) （一） 問題情景，提出課題 向量是既有大小又有方向的量,它既有代數(shù)特征,又有幾何特征;通過向量可以實(shí)現(xiàn)代數(shù)問題與幾何問題的相互轉(zhuǎn)化,所以向量是數(shù)型結(jié)合的橋梁;向量也是解決許多物理問題的有力工具. 【設(shè)計(jì)意圖】引入教學(xué)主題，展示教學(xué)目標(biāo)． 問題1、你能寫出向量有關(guān)運(yùn)算（加、減、數(shù)乘、數(shù)量積等）的幾何意義或物理原型嗎？ ［設(shè)計(jì)意圖］溫故知新，提煉先前教學(xué)中向量作為工具的方法、技能問題情境 情景１、　兩人拔河比力量，如示意圖： 甲 乙 圖1 ２、 三人比賽，如示意圖： 甲 乙 丙 提問并口答：圖1中誰的力氣大？如勢(shì)均力敵則你能得到怎樣的數(shù)學(xué)等式？ 圖2中三人處于靜止?fàn)顟B(tài)請(qǐng)寫出受力分析等式及對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)等式？誰的力氣最大？你們有什么方法來解決這個(gè)問題？ (電腦投影問題情景) ［設(shè)計(jì)意圖］通過創(chuàng)設(shè)問題情景，了解向量是既有大小又有方向的量,它既有代數(shù)特征,又有幾何特征;通過向量可以實(shí)現(xiàn)代數(shù)問題與幾何問題的相互轉(zhuǎn)化,所以向量是數(shù)型結(jié)合的橋梁;向量也是解決許多物理問題的有力工具.．實(shí)際問題既能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)用向量來解決問題，又體現(xiàn)數(shù)學(xué)來源于生活、為生活服務(wù)這一指導(dǎo)思想． 由此可見，向量在現(xiàn)實(shí)生活中都有著廣泛的應(yīng)用。 （板書課題） （二）學(xué)生活動(dòng)，合作討論 問題2：證明：同一平面內(nèi)，互成120?? 的三個(gè)大小相等的共點(diǎn)力的合力為零。 考慮到學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平的不同，可能有少部分學(xué)生在解決問題時(shí)不知所措．對(duì)此，教師要有充分的準(zhǔn)備，使教學(xué)情景的設(shè)計(jì)建立在學(xué)生可能遇到的困難之上，以此引導(dǎo)學(xué)生按照這些步驟去解決問題，從而進(jìn)一步地提高對(duì)問題解決的認(rèn)識(shí)，而不應(yīng)該事先告訴學(xué)生將要做什么，甚至教他怎么去做． 嘗試回答下列問題 問題１：你認(rèn)為題目要解決的問題是什么？ 問題2：怎樣解決你的問題？教師可以讓學(xué)生嘗試回答自己解決的問題方案，當(dāng)學(xué)生陷入困境時(shí)，讓他們進(jìn)行討論，在交流中將學(xué)習(xí)引向作受力分析圖的思考上． ［設(shè)計(jì)意圖］為例1向量在物理學(xué)中的應(yīng)用作鋪墊，起到承上啟下的作用，當(dāng)把物理學(xué)問題抽象為向量的問題后，就可以脫離物理學(xué)模型，而只要利用數(shù)學(xué)方法來解決問題了。問題是為了得到物理中的合力為0即可得到數(shù)學(xué)中向量a+b+c=0。對(duì)于問題我更關(guān)注其解決的過程，從師生共同解決問題的過程中使學(xué)生掌握使用向量解決問題的方法，體會(huì)到向量作為工具的作用。 （三）數(shù)學(xué)應(yīng)用 例1.如圖所示,無彈性的細(xì)繩的一端分別固定在處,同質(zhì)量的細(xì)繩下端系著一個(gè)稱盤,且使得試分析三根繩子受力的大小,判斷哪根繩子受力最大.(物理學(xué)中的應(yīng)用) （合作探究，學(xué)生板演、學(xué)生點(diǎn)評(píng)師生補(bǔ)充并投影其他學(xué)生解題過程） 【設(shè)計(jì)意圖】與問題2聯(lián)系起來,結(jié)合分析物體的受力情況（這實(shí)際上是物理學(xué)的分析），把它看成是求向量和的問題（這樣就抽象為數(shù)學(xué)問題了），得出結(jié)論后，再在物理問題中加以驗(yàn)證． （1）為了能用數(shù)學(xué)描述這個(gè)問題，我們要先把這一物理問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題．如上題目，只考慮繩子和物體的受力平衡，畫出相關(guān)圖形！ （2）由物理中的矢量問題化成數(shù)學(xué)中的向量問題，用向量的有關(guān)法則解決問題！ （3）用數(shù)學(xué)的結(jié)果解決物理問題，回答相關(guān)的物理現(xiàn)象． 【探究】由學(xué)生自主完成物理學(xué)的受力分析，并得出結(jié)論，再由師生共同分析，“當(dāng)從物理（力學(xué)）問題抽象為數(shù)學(xué)問題后，問題解決的方法是否能有突破” 探究結(jié)論：當(dāng)數(shù)學(xué)上表示出首尾依次相連可能構(gòu)成三角形后，可以構(gòu)造三角形來解決此問題． ［設(shè)計(jì)意圖］：通過學(xué)生自主探究畫物體受力分析轉(zhuǎn)化到向量的幾何特征的過程滲透數(shù)學(xué)結(jié)合思想和化規(guī)及轉(zhuǎn)化思想；學(xué)會(huì)如何把生活中的問題提煉出數(shù)學(xué)信息，并加工成數(shù)學(xué)語言，并用向量知識(shí)解決物理問題，.體會(huì)向量是一種數(shù)學(xué)工具；符合“數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)從學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)”和“關(guān)注概念的實(shí)際背景”這一新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求。同時(shí)也可以讓學(xué)生感受解決問題的成功感，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。 舉一反三：練習(xí)P83練習(xí)——1 （投影學(xué)生解題過程學(xué)生點(diǎn)評(píng)） ［設(shè)計(jì)意圖］：從練習(xí)中鞏固例1向量在物理中的應(yīng)用，并得到學(xué)生的及時(shí)反饋情況 例2.已知:, 求證: ［設(shè)計(jì)意圖］：證明的關(guān)鍵是向量之間的轉(zhuǎn)化。即應(yīng)用平面向量基本定理，將兩對(duì)向量的垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化到第三對(duì)向量的垂直關(guān)系。例2是證明兩向量垂直．這是＂向量的內(nèi)積＂的性質(zhì)運(yùn)用．同時(shí)，通過例1的教學(xué)，學(xué)生已經(jīng)了解了用圖形來解決問題的方法，教師就應(yīng)當(dāng)按照這條主線來設(shè)計(jì)教學(xué)任務(wù)．但考慮到學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平的不同，可能會(huì)有部分學(xué)生想到用向量的內(nèi)積來證明，也有一部分學(xué)生想到結(jié)合圖形來解決問題．對(duì)此，教師要有充分的準(zhǔn)備，使教學(xué)情景的設(shè)計(jì)建立在學(xué)生可能遇到的困難之上，以此引導(dǎo)學(xué)生向量在教學(xué)中的作用：代數(shù)問題和幾何問題的轉(zhuǎn)換．為例3作準(zhǔn)備。 思考:你能否畫一個(gè)幾何圖形來解釋例2 ？ 畫一個(gè)三角形△ABC，BC和AC邊上的高交于點(diǎn)O，此時(shí)O是△ABC的重心，所以O(shè)C垂直AB一定成立 例3.已知直線經(jīng)過點(diǎn)和,用向量方法求的方程. ［設(shè)計(jì)意圖］：通過向量實(shí)現(xiàn)代數(shù)問題與幾何問題的互相轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)向量是數(shù)形結(jié)合的橋梁。展示數(shù)學(xué)的魅力，并養(yǎng)成完整、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維習(xí)慣 思考:把改為,我們?nèi)鐖D可以得到證明三點(diǎn)共線的一種方法. （四）回顧反思，強(qiáng)化本質(zhì) 先引導(dǎo)學(xué)生歸納知識(shí)，且對(duì)知識(shí)稍加說明． 1、用向量法解決某些簡單的幾何問題,力學(xué)問題 2、向量是一種數(shù)學(xué)工具 （五）課外作業(yè)，提升應(yīng)用 作業(yè):課本習(xí)題:2.5 1,2,3,4 （六）教學(xué)媒體運(yùn)用分析 利用多媒體輔助教學(xué)，尤其是采用人機(jī)對(duì)話，檢測(cè)學(xué)生完成目標(biāo)情況，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)上的主動(dòng)性，激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲，而且培養(yǎng)了學(xué)生創(chuàng)造性。 （七） 課堂教學(xué)板書（略） 九、拓展資源 向量方法綜述 研究幾何可以采取不同的方法，以前常用的是“綜合方法”，它是歐氏幾何所采用的研究方法，是最早用來研究幾何的方法。它不使用其他工具，只依據(jù)基本的邏輯原理，從公理（基本事實(shí)）出發(fā)，通過演繹推理建立起幾何體系。綜合法所給出的幾何論證嚴(yán)謹(jǐn)而優(yōu)雅，但沒有一般的規(guī)律可循，存在較大的思考難度，往往對(duì)人的智力形成極大的挑戰(zhàn)。 “向量方法”是把點(diǎn)、線、面等幾何要素直接歸結(jié)為向量，對(duì)這些向量借助于它們之間的運(yùn)算進(jìn)行討論，然后把這些計(jì)算結(jié)果翻譯成關(guān)于點(diǎn)、線、面的相應(yīng)結(jié)果，向量的方法可簡單地表述為 向量到數(shù)和形 向量的運(yùn)算 形到向量 這就是教材中給出的“向量方法”的“三步曲”： （1） 建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題。 （2） 通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、角度等問題。 （3） 把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系。 另外，向量作為溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的橋梁，在解決幾何問題中的工具作用更顯突出。