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x y 65 43 21 -1-2 -3-4 -6 -4 -2 2 4 6 8 2019-2020 年高中數學知識精要 9.函數教案 新人教 A 版 1.映射: AB 的概念.在理解映射概念時要注意：⑴A 中元素必須都有象且唯一；⑵B 中元 素不一定都有原象(B 中元素可以無原象) ，但原象不一定唯一（A 中不同元素在 B 中可以有 相同的象）. 如①設是集合到的映射，下列說法正確的是 A、中每一個元素在中必有象 B、中每一個元素在中必有原象 C、中每一個元素在中的原象是唯一的 D、是中所在元素的象的集合（答：A） ； ②點在映射的作用下的象是，則在作用下點的原象為點________（答：（2，－1） ） ； ③若， ， ，則到的映射有 個，到的映射有 個，到的函數有 個（答：81,64,81） ； 更一般地：若 A 中含有 m 個元素 B 中含有 n 個元素，從 A 到 B 能建立多少個映射？（） ④設集合 ，映射滿足條件“對任意的，是奇數” ，這樣的映射{,0}1,2345}MN?? 有____個（答：12） ； ⑤設是集合 A 到集合 B 的映射，若 B={1,2}，則一定是_____（答：或{1}）. 2.函數: AB 是特殊的映射.特殊在定義域 A 和值域 B 都是非空數集！據此可知函數圖像 與軸的垂線至多有一個公共點，但與軸垂線的公共點可能沒有，也可能有任意個. 如①已知函數， ，那么集合 中所含元素的個數有 {(,)|(),}{(,)|1}xyfxFxy???? 個（答：0 或 1） ； ②若函數的定義域、值域都是閉區(qū)間，則＝ （答：2） 3. 同一函數的概念.構成函數的三要素是定義域，值域和對應法則.而值域可由定義域 和對應法則唯一確定，因此當兩個函數的定義域和對應法則相同時，它們一定為同一函數. 如若一系列函數的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數為“天一函 數” ，那么解析式為，值域為{4，1}的“天一函數”共有______個（答：9） 4.分段函數的概念.分段函數是在其定義域的不同子集上，分別用幾個不同的式子來表 示對應關系的函數，它是一類較特殊的函數.注意分段函數是一個函數，而不是幾個函數.在 求分段函數的值時，一定首先要判斷屬于定義域的哪個子集，然后再代相應的關系式；求分 段函數的定義域,先選定所有分段的區(qū)間,然后取這些區(qū)間的并集所得到的集合就是分段函數 的定義域,分段函數的值域應是其定義域內不同子集上各關系式的取值范圍的并集. 如①設函數 ， 2(1).)4()xf????????? 則使得的自變量的取值范圍是__________（答：） ； ②已知，則不等式的解集是________（答：） ③作出分段函數的圖像 解：根據“零點分段法”去掉絕對值符號，即： = ??? ???123)(x12????x 作出圖像如圖. ④作出函數的函數圖像 解： ????????03)(232xxy 步驟：（1）作出函數 y=?2x?3 的圖象 （2）將上述 圖象 x 軸下方部分以 x 軸為對稱軸向上翻折 （上方部分不 變） ，即得 y=|?2x?3| 的圖象 ⑤作函數 y=|x-2|(x＋1)的圖像 8 6 4 2 -2 -4 -6 -10 -5 5 10 分析 顯然直接用已知函數的解析式列表描點有些困難，除去對其函數性質分析外， 我們還應想到對已知解析式進行等價變形． 解：(1)當 x≥2 時，即 x-2≥0 時， 當 x＜249)1(2)1(22?????xxxy 時，即 x-2＜0 時， 49)1(22???xy ∴ ??? ??????????92142xy??x 這是分段函數， 每段函數圖象可根據二次函數圖象作出 5.求函數解析 式的常用方法： （1）待定系 數法――已知所求函數的類型（二次函數的表 達形式有三種： 一般式：； 頂點式：； 零點式：，要 會根據已知條件的特點，靈活地選用二次函數 的表達形式）. 如已知為二次函數，且 ，且 f(0)=1,圖象在 x 軸上截得的線段長為 2,求的解析式 .（答：） （2）代換（配湊）法――已知形如的表達式，求的表達式. 如①已知求的解析式（答： ） ；242(),[,2]fx????? ②若，則函數=_____（答：） ； ③若函數是定義在 R 上的奇函數，且當時， ，那么當時，=________（答：）. 這里需值得注意的是所求解析式的定義域的等價性，即的定義域應是的值域. （3）方程的思想――已知條件是含有及另外一個函數的等式，可抓住等式的特征對等 式的進行賦值，從而得到關于及另外一個函數的方程組. 如①已知，求的解析式（答：） ； ②已知是奇函數，是偶函數，且+= ,則= __（答：）. (4)分段函數解析式分段求解. 如函數在閉區(qū)間上的圖象如右圖所示，則求此函數的解析式. 解： ． 1(0)()2xf????????? (5)實際應用問 題 把長為的鐵絲 折成矩形，設矩形的一邊長為，面積 為，求矩形面 積與一邊長的函數關系式. 解：設矩形一邊長 為，則另一邊長為， ∴（） ． 說明：在解決實際問題時，求出函數解析式后，一定要寫出定義域. 6. 求函數定義域的常用方法（在研究函數問題時要樹立定義域優(yōu)先的原則）： （1）約定：如果不單獨指出函數的定義域是什么集合，那么函數的定義域就是能使這 個式子有意義的所有實數 x 的集合. 有這個約定，我們在用解析式給出函數的對應法則的同 時也就給定了定義域，而求函數的定義域就是在這個意義之下寫出使式子有意義的所有實數 組成的集合. 根據解析式要求如偶次根式的被開方大于零，分母不能為零，對數中且，三角形中, 最 大角，最小角等. 如①函數的定義域是____(答：)； ②若函數的定義域為 R，則_______(答：)； ③函數的定義域是， ，則函數的定義域是_ (答：)； （4）設函數，①若的定義域是 R，求實數的取值范圍；②若的值域是 R，求實數的取值 范圍（答：①；②） （2）根據實際問題的要求確定自變量的范圍. （3）復合函數的定義域：若已知的定義域為,其復合函數的定義域由不等式解出即可； 若已知的定義域為,求的定義域，相當于當時，求的值域（即的定義域）. 如①若函數的定義域為，則的定義域為________. （答：） ； ②若函數的定義域為，則函數的定義域為________（答：[1,5]） ． (4) 求一個函數的解析式或一個函數的反函數時，注明函數的定義域了嗎？ ??如 ： ， 求fxefxx??1(). ??∴ ()??210 用解析式 y=f(x)表示的函數的定義域時，常有以下幾種情況： ①若 f(x)是整式，則函數的定義域是實數集 R； ②若 f(x)是分式，則函數的定義域是使分母不等于 0 的實數集； ③若 f(x)是二次根式，則函數的定義域是使根號內的式子大于或等于 0 的實數集合； ④若 f(x)是由幾個部分的數學式子構成的，則函數的定義域是使各部分式子都有意義的 實數集合； ⑤若 f(x)是由實際問題抽象出來的函數，則函數的定義域應符合實際問題. 7.求函數值域（最值）的方法： （1）配方法——二次函數 主要有兩類：一是求閉區(qū)間上的最值；二是求區(qū)間定（動） ，對稱軸動（定）的最值 問題. 如①求函數 的值域（答：[4,8]） ；25,[1,2]yx???? ②當時，函數 在時取得最大值，則的取值范圍是___（答：） ；3)(4)(?xaf ③已知的圖象過點（2,1） ，則 的值域為__（答：[2, 5]）212(()Fffx?? 注：給定區(qū)間上的二次函數最值問題的解題步驟 （1）配方—找軸 （2）判斷軸與所給區(qū)間的相對位置—確定在所給區(qū)間上的單調性（軸的左右單調性不同） （3）畫出草圖 （4）結合草圖，利用單調性得出結論. 求二次函數的最值問題，勿忘數形結合，注意“兩看”：一看開口方向；二看對稱軸 與所給區(qū)間的相對位置關系. 閉區(qū)間上的二次函數必有最值，最值在端點處或頂點處取得. （2）換元法 通過換元把一個較復雜的函數變?yōu)楹唵我浊笾涤虻暮瘮担ㄈ?） ，其函數特征是函數解析式含有根式或三角函數公式模型， 如①的值域為_____（答：） ； ②的值域為_____（答：） （令，.運用換元法時，要特別要注意新元的范圍） ； ③ 的值域為____（答：） ；sincosincyxx??A ④的值域為____（答：） ； （2）函數有界性法――直接求函數的值域困難時，可以利用已學過函數的有界性，來 確定所求函數的值域，最常用的就是三角函數的有界性. 如求函數， ，的值域（答： 、 （0,1） 、 ） ； （3）單調性法――利用一次函數，反比例函數，指數函數，對數函數等函數的單調性. 如求， ，的值域為______（答：、 、 ） ； （4）數形結合法――函數解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離、直線斜率、 等等， 如①已知點在圓上，求及的取值范圍（答：、 ） ； ②求函數的值域（答：） ； ③求函數 及 的值域（答：、 ）2261345yxx???? 注意：求兩點距離之和時，要將函數式變形，使兩定點在軸的兩側，而求兩點距離之差 時，則要使兩定點在軸的同側. （5）函數的值域是自變量 X 在定義域中取每一個值時，所對應的函數值的集合，也就是 對 Y 在且只在值域中的每一個取值，X 在定義域中一定有一個值之對應.這樣求函數的值域就 是把函數解析式看作關于 X 的方程后，此方程在定義域內有解的參數 Y 的取值范圍.從而在 函數與方程間建立了一種關系“適當條件下可互（但不能解決方程根的個數問題，方程根的 個數問題可轉化為相應函數圖象交點問題（一曲線、一直線，曲線定，直線動）一元二次函 數根的個數問題可考慮根的分布來解）由此： ①y=型的所謂反函數法(也可按分母整理，用反比例函數處理 同樣處理的有 y=) ②y=型的判別式法：第一步，判斷分子分母有無公因式;第二步，有時約分化為上面 y=型， 但要注意定義域改變所引起的后果，無時考察是否自然定義.第三步，自然定義的可考慮判 別式法，但注意二次項是否為零，不是的不能簡單用判別式法，而應化為在定義域內有解， 用根的分布來解. （6）不等式法――利用基本不等式求函數的最值，其題型特征解析式是和式時要求積 為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時須要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。 如設成等差數列，成等比數列，則的取值范圍是____________.（答：） 。 （7）導數法――一般適用于高次多項式函數，如求函數，的最小值。 （答：－48） 提醒：（1）求函數的定義域、值域時，你按要求寫成集合形式了嗎？（2）函數的最值 與值域之間有何關系？ 8.函數的單調性。 （1）確定函數的單調性或單調區(qū)間的常用方法： ①在解答題中常用： 定義法：取值――作差――變形――定號 注：為便于判斷差的符號對差變形的方向是：完全平方的和或因式的積. 導數法:在區(qū)間內，若總有，則為增函數；反之，若在區(qū)間內為增函數，則，請注意兩 者的區(qū)別所在。 如已知函數在區(qū)間上是增函數，則的取值范圍是____(答：))； ②在選擇填空題中還可用數形結合法、特殊值法等等，特別要注意，型函數的圖象和單 調性在解題中的運用：增區(qū)間為，減區(qū)間為. 如（1）若函數 在區(qū)間（－∞，4） 上是減函數，那么實數的取值范圍是______(答：))； （2）已知函數在區(qū)間上為增函數，則實數的取值范圍_____（答：）； （3）若函數 的值域為 R，則實數的取值范圍是????log40,1afxax???????????且 ______(答：且))； ③復合函數法：復合函數單調性的特點是先外后內、同增異減. ??如 ： 求 的 單 調 區(qū) 間yx???log12 ,log221uyxu????， 則解 ： 設 ， ） 上 是 減 函 數 ，，在 （又 ?0l21u 0-02??xu得即由 為 增 函 數 ，時 ，，當 xx?2-]( 為 減 函 數時 ，，當 ux?2-)1[ ∴ 為，單調遞減區(qū)間為.??的 單 調 增 區(qū) 間ylog21??? 提醒：判斷復合函數的單調性. ??（ 內 層 ）（ 外 層 ） ， 則，令 )()()( xfyxufy??? 先外后內：先求外層函數的單調區(qū)間，再在其基礎上求內層函數的單調性. 同增異減：當 ， .同 時內 、 外 層 函 數 單 調 性 相 ????為 減 函 數為 增 函 數 ， 否 則 )()(xfxf ? （2）特別提醒：求單調區(qū)間時，一是勿忘定義域，如若函數在區(qū)間上為減函數，求的 取值范圍（答：）；二是在多個單調區(qū)間之間不一定能添加符號“”和“或”；三是單調區(qū) 間應該用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示． （3）你注意到函數單調性與奇偶性的逆用了嗎?（①比較大??；②解不等式；③求參數 范圍）. 如已知奇函數是定義在上的減函數,若，求實數的取值范圍。（答：） 9.函數的奇偶性。 （1）具有奇偶性的函數的定義域的特征：定義域必須關于原點對稱！為此確定函數的 奇偶性時，務必先判定函數定義域是否關于原點對稱。如若函數， 為奇函數，其中，則的值是 （答：0） ； （2）確定函數奇偶性的常用方法（若所給函數的解析式較為復雜，應先化簡，再判斷 其奇偶性）： ①定義法：如判斷函數的奇偶性____（答：奇函數） 。 ②利用函數奇偶性定義的等價形式：或（） 。 如判斷的奇偶性___.（答：偶函數） ③圖像法：奇函數的圖象關于原點對稱；偶函數的圖象關于軸對稱。 （3）函數奇偶性的性質： ①奇函數在關于原點對稱的區(qū)間上若有單調性，則其單調性完全相同；偶函數在關于原 點對稱的區(qū)間上若有單調性，則其單調性恰恰相反. ②如果奇函數有反函數，那么其反函數一定還是奇函數. ③若為偶函數，則. 如若定義在 R 上的偶函數在上是減函數，且=2，則不等式的解集為______. （答：） ④若奇函數定義域中含有 0，則必有.故是為奇函數的既不充分也不必要條件。如若為奇 函數，則實數＝____（答：1）. ⑤定義在關于原點對稱區(qū)間上的任意一個函數，都可表示成“一個奇函數與一個偶函數 的和（或差） ”。 如設是定義域為 R 的任一函數， ， 。 ①判斷與的奇偶性； ②若將函數，表示成一個奇函數和一個偶函數之和，則 ＝____（答：①為偶函數，為奇函數；②＝） ⑥復合函數的奇偶性特點是：“內偶則偶，內奇同外”. u O 1 2 x ⑦既奇又偶函數有無窮多個（，定義域是關于原點對稱的任意一個數集）. ⑧在公共定義域內：兩個奇函數的乘積是偶函數；兩個偶函數的乘積是偶函數；一個偶 函數與奇函數的乘積是奇函數。 上 的 奇 函 數 ，，為 定 義 在如 ： )1()(?xf ，時 ，，當 142)()10(???xfx??求 在 ， 上 的 解 析 式 。 ?142)(10????xfxx，，， 則，（ 令 又 為 奇 函 數 ， ∴f x() 10.函數的周期性??又 ， ∴ ，， ）ffxx()()()02410????????? (1) 由周期函數的定義“函數滿足，則是周期為的周期函數”得： ①函數滿足，則是周期為 2 的周期函數； ②若恒成立，則； ③若 恒成立，則.1()(0)fxafx??? 提醒：（1）函數滿足， ， ， (m、n、p∈R,且 p≠0,) 則函數是周期為 2 的周期函數； （2）函數對 x∈R 時,對于非零實數 a,恒有 f（x+a）=,則 f(x)是周期函數且 3a 是函數 的一個周期. 如(1) 設是上的奇函數， ，當時， ，則等于_____(答：)； (2)定義在上的偶函數滿足，且在上是減函數，若是銳角三角形的兩個內角，則的大小關 系為_________(答：)； （3）已知是偶函數，且=993，=是奇函數，求的值(答：993)； （4）設是定義域為 R 的函數，且，又，則= . (答：) （2）類比“三角函數圖像”得： ①若圖像有兩條對稱軸，則必是周期函數，且一周期為； 特別地：若 y=f(x)是偶函數，其圖像又關于直線 x=a 對稱，則 f(x)是周期為的周期函 數； ②若圖像有兩個對稱中心，則是周期函數，且一周期為； ③如果函數的圖像有一個對稱中心和一條對稱軸，則函數必是周期函數，且一周期為； 特別地：若 y=f(x)奇函數，其圖像又關于直線 x=a 對稱，則 f(x)是周期為的周期函數； 如已知定義在上的函數是以 2 為周期的奇函數，則方程在上至少有__________個實數根 （答：5） 11.常見的圖象變換 （1）平移變換：圖進標退（變的只是解析式中的）. ①函數的圖象是把函數的圖象沿軸向左平移個單位得到的。注意 x 的系數非 1 時的情 況. 如設的圖像與的圖像關于直線對稱，的圖像由的圖像向右平移 1 個單位得到，則為 __________(答： ) ②函數(的圖象是把函數的圖象沿軸向右平移個單位得到的。 如（1）若，則函數的最小值為____(答：2)； （2）要得到的圖像，只需作關于_____軸對稱的圖像，再向____平移 3 個單位而得到 (答：；右)； （3）函數的圖象與軸的交點個數有____個(答：2) ③函數+的圖象是把函數助圖象沿軸向上平移個單位得到的； ④函數+的圖象是把函數助圖象沿軸向下平移個單位得到的； 如將函數的圖象向右平移 2 個單位后又向下平移 2 個單位,所得圖象如果與原圖象關于 直線對稱,那么 (答：C) （2）伸縮變換：圖伸標縮（變的只是解析式中的）. ⑤函數的圖象是把函數的圖象沿軸伸縮為原來的得到的。 如（1）將函數的圖像上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變） ，再將此圖像沿軸方 向向左平移 2 個單位，所得圖像對應的函數為_____(答：)； （2）如若函數是偶函數，則函數的對稱軸方程是_______(答：)． ⑥函數的圖象是把函數的圖象沿軸伸縮為原來的倍得到的. 12. 函數的對稱性。 ①滿足條件的函數的圖象關于直線對稱。 特別地：若 x∈R 時，f(a+x)=f(a－x)恒成立，則 y=f(x)圖像關于直線 x=a 對稱； 如已知二次函數滿足條件且方程有等根，則＝_____(答：)； 函數 y=f(x－a)與 y=f(b－x)的圖像關于直線 x=對稱； 函數 y=f(a+x)與 y=f(b－x)的圖像關于直線 x=對稱. 特別地 對 稱的 圖 象 關 于 直 線與 axxaf ??)2() （1）已知函數的圖象過點（1，1） ，則的反函數的圖象過點 。 （2）由函數的圖象，通過怎樣的變換得到的圖象？ ②點關于軸的對稱點為；函數關于軸的對稱曲線方程為； ③點關于軸的對稱點為；函數關于軸的對稱曲線方程為； ④點關于原點的對稱點為；函數關于原點的對稱曲線方程為； ⑤點關于直線的對稱點為；曲線關于直線的對稱曲線的方程為。特別地，點關于直線的 對稱點為；曲線關于直線的對稱曲線的方程為 ；點關于直線的對稱點為；曲線關于直線的對稱曲線的方程為。 如己知函數,若的圖像是,它關于直線對稱圖像是關于原點對稱的圖像為對應的函數解析式是 ___________（答：） ； ⑥曲線關于點的對稱曲線的方程為。特別地 如若函數與的圖象關于點（-2，3）對稱，fxaa())()與 的 圖 象 關 于 點 ， 對 稱?20 則＝______（答：） ⑦形如 的圖像是雙曲線，其兩漸近線分別直線(由分母為零(,)xbycdbc??? 確定)和直線(由分子、分母中的系數確定)，對稱中心是點。 如已知函數圖象與 關于直線對稱，且圖象關于點2:11Cyax?? （2，－3）對稱，則 a 的值為______（答：2） ⑧的圖象先保留原來在軸上方的圖象，作出軸下方的圖象關于軸的對稱圖形，然后擦去 軸下方的圖象得到；的圖象先保留在軸右方的圖象，擦去軸左方的圖象，然后作出軸右方的 圖象關于軸的對稱圖形得到。 如（1）作出函數及的圖象； （2）若函數是定義在 R 上的奇函數，則函數的圖象關于____對稱 （答：軸） 提醒：（1）從結論②③④⑤⑥可看出，求對稱曲線方程的問題，實質上是利用代入法 轉化為求點的對稱問題；（2）證明函數圖像的對稱性，即證明圖像上任一點關于對稱中心 （對稱軸）的對稱點仍在圖像上；（3）證明圖像與的對稱性，需證兩方面：①證明上任意 點關于對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在上；②證明上任意點關于對稱中心（對稱軸）的對 稱點仍在上。 如（1）已知函數。求證：函數的圖像關于點成中心對稱圖形；（2）設曲線 C 的方程是,將 C 沿軸, 軸正方向分別平行移動單位長度后得曲線。①寫出曲線的方程（答：） ；②證明曲線 C 與關于點對稱。 13. 函數零點與二分法 （1）函數零點定義：對于函數，把使成立的實數叫做函數的零點． 若函數的圖象在處與軸相切，則零點通常稱為不變號零點； 若函數的圖象在處與軸相交，則零點通常稱為變號零點． （2）函數零點的意義： 函數的零點就是方程實數根，亦即函數的圖象與軸交點的橫坐標．即：方程有實數根函 數的圖象與軸有交點函數有零點． （3）函數零點的求法： ①（代數法）求方程的實數根； ②（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數的圖象聯系起來，并利用函 數的性質找出零點． 提醒：很多情況下，通過導數來確定圖像的大致形狀. （4）圖像連續(xù)的函數的零點的性質 ①函數的圖像是連續(xù)的，當它通過零點時（變號零點） ，函數值變號. 函數零點存在定理：函數在區(qū)間上的圖像是連續(xù)的，且，那么函數在區(qū)間上至少有一個零點. ②相鄰兩個零點之間的函數值保持同號 （5）二分法及步驟： 對于在區(qū)間，上連續(xù)不斷，且滿足的函數，通過不斷地把函數的零點所在的區(qū)間一分 為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法． 給定精度，用二分法求函數的零點近似值的步驟如下： 1．確定區(qū)間， ，驗證，給定精度； 2．求區(qū)間，的中點； 3．計算：二分法 通過每次把 f(x)的零點所在的小區(qū)間收縮一半的方法，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近函數的零 點，以求得零點的近似值，這種方法叫做兩分法. 若=，則就是函數的零點；○ 1 若<，則令=（此時零點） ；○ 2 若0 1 [1，1.5] <0 0.5 [1.25，1.5] 0,a≠1,b>0,n∈R +); (2) ( a>0,a≠1,b>0,b≠1); (3) ( a>0,a≠1,N>0 ); 提醒：指數、對數的運算法則要求參與運算的指數對數式是同底的. (4) 的符號由口訣“同正異負”記憶; 注意公式從)0,;1,(logllog????NMaMNaa )0,;1,(logllog????NMaaa 左→右應用，也注意右→左運用，以及在此過程中的對的要求. 強調利用對數運算法則時要注意各字母值的范圍 a＞0，a≠1，M，N＞0 (4) 的符號由口訣“同正異負”記憶; 口訣“同大異小” 可用來比較與 1 的大小. 如（1）的值為________(答：8)； （2）的值為________(答：) 15. 指數、對數值的大小比較： （1）化同底后利用函數的單調性；（2）作差或作商法；（3）利用中間量（0 或 1） ； （4）化同指數（或同真數）后利用圖象比較。 比較兩個冪值的大小是常見的題型，也是一類容易出錯的問題 .解決這類問題，首先要 分清是底數相同還是指數相同，如果底數相同，可利用指數函數的單調性；如果指數相同， 可利用圖像（時，底大圖高） ；如果底數、指數都不同，則要利用中間變量 基本思維程序是： ①中間量（0 再 1） ②化為同底利用單調性（可引進中間量：以保證同底、同真或同指） ③作差或作商法（必要時可轉化） 16.指數函數 與對數函數 y= （a > 0，a≠1） ①互為反函數，②其單調性與 a 的大小有關， ③圖像特征： 底大圖高， 底大圖低 . 滿 足那的 圖 像 如 圖 所 示函 數 dcbayxy xxa,,,logl ?? C 17.冪函數及其性質（只要求 ）.1223,,yxyx?? （1）都過點（1，1）. （2）時，圖像過點（0，0） ，且在第一象限中逐漸上升，時，圖像不過（0，0） ，且在 第一象限中逐漸下降. 提醒：可用來判斷指數是正還是負. （3）時，指大圖高. 時，指大圖低. 18.函數的圖象和性質； 定義域 值域 奇偶性 奇函數 單調性 在上單調遞增；在上單調遞增； 19. 函數的應用 （1）求解數學應用題的一般步驟： ①審題――認真讀題，確切理解題意，明確問題的實際背景，尋找各量之間的內存聯系； ②建模――通過抽象概括，將實際問題轉化為相應的數學問題，別忘了注上符合實際意義 的定義域； ③解模――求解所得的數學問題； ④回歸――將所解得的數學結果，回歸到實際問題中去。 （2）常見的函數模型有：①建立一次函數或二次函數模型；②建立分段函數模型；③ 建立指數函數模型；④建立型。 20. 抽象函數：抽象函數通常是指沒有給出函數的具體的解析式，只給出了其它一些條 件（如函數的定義域、單調性、奇偶性、解析遞推式等）的函數問題。求解抽象函數問題的 常用方法是： （1）借鑒模型函數進行類比探究。幾類常見的抽象函數 ： ①正比例函數型： ---------------； ②冪函數型： --------------，--------------； ③指數函數型： ------------，--------------； ④對數函數型： ---------------，--------------； ⑤三角函數型： ----------- 。 ----- 如已知是定義在 R 上)2()(2)(1211 xfxfxff ????? 的奇函數，且為周期函數，若它的最小正周期為 T，則____（答：0） （2）利用函數的性質（如奇偶性、單調性、周期性、對稱性等）進行演繹探究： 如（1）設函數表示除以 3 的余數，則對任意的，都有 A、 B、 C、 o y x D、 （答：A） ； （2）設是定義在實數集 R 上的函數，且滿足 ，如果， ，求)(1()2(xffxf??? （答：1） ； （3）如設是定義在上的奇函數，且，證明：直線是函數圖象的一條對稱軸； （4）已知定義域為的函數滿足，且當時，單調遞增。如果，且，則的值的符號是 ____（答：負數） （3）利用一些方法（如賦值法（令＝0 或 1，求出或、令或等） 、遞推法、反證法等） 進行邏輯探究。 如（1）若，滿足，則的奇偶性是______（答：奇函數） ； （2）若，滿足，則的奇偶性是______（答：偶函數） ； （3）已知是定義在上的 奇函數，當時，的圖像如右圖所示，那么不 等式的解集是 _____________ （答：） ； （4）設的定義域為，對 任意，都有，且時， ，又，①求證為減函數； ②解不等式.（答：） ． O 1 2 3 x y