2019-2020年高中數(shù)學(xué)第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1.2.2函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)教學(xué)案蘇教版選修2-2.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué)第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1.2.2函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)教學(xué)案蘇教版選修2-2 已知f(x)=x,g(x)=. 問題1:f(x)、g(x)的導(dǎo)數(shù)分別是什么? 提示:f′(x)=1,g′(x)=-. 問題2:若Q(x)=x+,則Q(x)的導(dǎo)數(shù)是什么? 提示:∵Δy=(x+Δx)+-=Δx+, ∴=1-. 當(dāng)Δx無限趨近于0時(shí),無限趨近于1-, ∴Q′(x)=1-. 問題3:Q(x)的導(dǎo)數(shù)與f(x),g(x)的導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系? 提示:Q′(x)=f′(x)+g′(x). 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 設(shè)兩個(gè)函數(shù)分別為f(x)和g(x),則 (1)[f(x)+g(x)]′=f′(x)+g′(x); (2)[f(x)-g(x)]′=f′(x)-g′(x); (3)[Cf(x)]′=Cf(x)′(C為常數(shù)); (4)[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); (5)′=(g(x)≠0). 1.對于和差的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則,可推廣到任意有限可導(dǎo)函數(shù)的和或差,即[f1(x)f2(x)…fn(x)]′=f1′(x)f2′(x)…fn′(x). 2.對于積與商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則,首先要注意在兩個(gè)函數(shù)積與商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算中,不能出現(xiàn)[f(x)g(x)]′=f′(x)g′(x)以及(5)′=這樣想當(dāng)然的錯(cuò)誤;其次還要特別注意兩個(gè)函數(shù)積與商的求導(dǎo)公式中符號的異同,積的導(dǎo)數(shù)法則中是“+”,商的導(dǎo)數(shù)法則中分子上是“-”. 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) [例1] 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1)y=x2+log3x;(2)y=x3ex;(3)y=; (4)y=xtan x. [思路點(diǎn)撥] 結(jié)合常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則直接求導(dǎo). [精解詳析] (1)y′=(x2+log3x)′ =(x2)′+(log3x)′=2x+. (2)y′=(x3ex)′=(x3)′ex+x3(ex)′ =3x2ex+x3ex=(3x2+x3)ex. (3)y′=′= = =-. (4)y′=(xtan x)′=′ = = =. [一點(diǎn)通] (1)應(yīng)用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則可迅速解決一些簡單的求導(dǎo)問題,要透徹理解函數(shù)求導(dǎo)法則的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),準(zhǔn)確熟記公式,還要注意挖掘知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系及其規(guī)律. (2)在求較復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)應(yīng)首先利用代數(shù)恒等變換對已知函數(shù)解析式進(jìn)行化簡或變形,如把乘積的形式展開,公式形式變?yōu)楹突虿畹男问剑交煞謹(jǐn)?shù)指數(shù)冪,然后再求導(dǎo),使求導(dǎo)計(jì)算更加簡化. 1.若f(x)=x3+2x+1,則f′(-1)=________. 解析:f′(x)=′=′+(2x)′+1′=x2+2, 所以f′(-1)=(-1)2+2=3. 答案:3 2.函數(shù)y=x(x2+1)的導(dǎo)數(shù)是________. 解析:y′=[x(x2+1)]′=(x3+x)′=3x2+1. 答案:3x2+1 3.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1)y=-2x;(2)y=. 解:(1)y′=′-(2x)′ =-2xln 2 =-2xln 2 =-2xln 2. (2)y′=′=′ =′= =. 導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的簡單應(yīng)用 [例2] 設(shè)f(x)=aex+bln x,且f′(1)=e,f′(-1)=,求a,b的值. [思路點(diǎn)撥] 首先求f′(x),然后利用條件建立a,b的方程組求解. [精解詳析] f′(x)=(aex)′+(bln x)′=aex+, 由f′(1)=e,f′(-1)=,得 解得所以a,b的值分別為1,0. [一點(diǎn)通] 利用導(dǎo)數(shù)值求解參數(shù)問題,是高考的熱點(diǎn)問題.它比較全面地考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,突出了導(dǎo)數(shù)的工具性作用.而熟練地掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則以及常用函數(shù)的求導(dǎo)公式是解決此類問題的關(guān)鍵. 4.設(shè)f(x)=ax3+3x2+2,若f′(-1)=4,則a=________. 解析:∵f(x)=ax3+3x2+2,∴f′(x)=3ax2+6x, ∴f′(-1)=3a-6=4,即a=. 答案: 5.若函數(shù)f(x)=在x=c(c≠0)處的導(dǎo)數(shù)值與函數(shù)值互為相反數(shù),求c的值. 解:∵f(x)=,∴f(c)=, 又f′(x)==,∴f′(c)=, 依題意知f(c)+f′(c)=0,∴+=0, ∴2c-1=0得c=. 導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的綜合應(yīng)用 [例3] 已知拋物線y=ax2+bx+c通過點(diǎn)P(1,1),且在點(diǎn)Q(2,-1)處與直線y=x-3相切,求實(shí)數(shù)a、b、c的值. [思路點(diǎn)撥] 題中涉及三個(gè)未知參數(shù),題設(shè)中有三個(gè)獨(dú)立的條件,因此可通過解方程組來確定參數(shù)a、b、c的值. [精解詳析] ∵曲線y=ax2+bx+c過P(1,1)點(diǎn), ∴a+b+c=1.① ∵y′=2ax+b,當(dāng)x=2時(shí),y′=4a+b. ∴4a+b=1.② 又曲線過Q(2,-1)點(diǎn),∴4a+2b+c=-1.③ 聯(lián)立①②③,解得a=3,b=-11,c=9. [一點(diǎn)通] 利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率是行之有效的方法,它適用于任何可導(dǎo)函數(shù),解題時(shí)要充分運(yùn)用這一條件,才能使問題迎刃而解.解答本題常見的失誤是不注意運(yùn)用點(diǎn)Q(2,-1)在曲線上這一關(guān)鍵的隱含條件. 6.已知P,Q為拋物線x2=2y上兩點(diǎn),點(diǎn)P,Q的橫坐標(biāo)分別為4,-2,過P,Q分別作拋物線的切線,兩切線交于點(diǎn)A,則點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為________. 解析:易知拋物線y=x2上的點(diǎn)P(4,8),Q(-2,2), 且y′=x,則過點(diǎn)P的切線方程為y=4x-8,過點(diǎn)Q的切線方程為y=-2x-2,聯(lián)立兩個(gè)方程解得交點(diǎn)A(1,-4),所以點(diǎn)A的縱坐標(biāo)是-4. 答案:-4 7.已知f′(x)是一次函數(shù),x2f′(x)-(2x-1)f(x)=1,求f(x)的解析式. 解:由f′(x)為一次函數(shù)可知f(x)為二次函數(shù). 設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 則f′(x)=2ax+b. 把f(x),f′(x)代入方程x2f′(x)-(2x-1)f(x)=1中得: x2(2ax+b)-(2x-1)(ax2+bx+c)=1, 即(a-b)x2+(b-2c)x+c-1=0. 要使方程對任意x恒成立, 則需有a=b,b=2c,c-1=0, 解得a=2,b=2,c=1, 所以f(x)=2x2+2x+1. 1.應(yīng)用和、差、積、商的求導(dǎo)法則和常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)數(shù)時(shí),在可能的情況下,應(yīng)盡量少用甚至不用乘積的求導(dǎo)法則,應(yīng)在求導(dǎo)之前,先利用代數(shù)、三角恒等變形對函數(shù)進(jìn)行化簡,然后再求導(dǎo),這樣可以減少運(yùn)算量,提高運(yùn)算速度,避免出錯(cuò). 2.對復(fù)雜函數(shù)求導(dǎo),一般要遵循先化簡后求導(dǎo)的原則,但要注意化簡過程中變換的等價(jià)性. [對應(yīng)課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(四)] 一、填空題 1.(廣東高考)曲線y=-5ex+3 在點(diǎn)(0,-2) 處的切線方程為________. 解析:由y=-5ex+3得,y′=-5ex,所以切線的斜率k=y(tǒng)′|x=0=-5,所以切線方程為y+2=-5(x-0),即5x+y+2=0. 答案:5x+y+2=0 2.設(shè)f(x)=xln x,若f′(x0)=2,則x0=________. 解析:f′(x)=ln x+x=ln x+1. ∵f′(x0)=2,∴1+ln x0=2, ∴x0=e. 答案:e 3.函數(shù)f(x)=excos x,x∈[0,2π],且f′(x0)=0,則x0=________. 解析:f′(x)=excos x-exsin x, 由f′(x0)=0,得ex0cos x0-ex0sin x0=0, ∴cos x0=sin x0,即tan x0=1. 又∵x0∈[0,2π],∴x0=或. 答案:或 4.(江西高考)若曲線y=xα+1(α∈R)在點(diǎn)(1,2)處的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),則α=________. 解析:由題意y′=αxα-1,在點(diǎn)(1,2)處的切線的斜率為k=α,又切線過坐標(biāo)原點(diǎn),所以α==2. 答案:2 5.曲線y=在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為________. 解析:∵y′=,∴當(dāng)x=1時(shí),y′=-1. ∴切線方程為y-1=-(x-1),即x+y-2=0. 答案:x+y-2=0 二、解答題 6.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1)y=sin x+3x2+x; (2)y=(1+cos x)(2x2+ex). 解:(1)y′=(sin x+3x2+x)′=(sin x)′+(3x2)′+x′=cos x+6x+1. (2)y′=[(1+cos x)(2x2+ex)]′ =(1+cos x)′(2x2+ex)+(1+cos x)(2x2+ex)′ =-sin x(2x2+ex)+(1+cos x)(4x+ex) =ex(1+cos x-sin x)-2x2sin x+4x(1+cos x). 7.設(shè)定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)=ax++b(a>0). (1)求f(x)的最小值; (2)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y=x,求a,b的值. 解:(1)法一:由題設(shè)和基本不等式可知, f(x)=ax++b≥2+b, 其中等號成立當(dāng)且僅當(dāng)ax=1, 即當(dāng)x=時(shí),f(x)取最小值為2+b. 法二:f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=a-=, 當(dāng)x>時(shí),f′(x)>0,f(x)在上單調(diào)遞增; 當(dāng)0- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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- 2019 2020 年高 數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù) 及其 應(yīng)用 1.2 運(yùn)算 函數(shù) 教學(xué) 案蘇教版 選修
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