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2019-2020年高三數(shù)學上冊 16.2《排列》教案（3） 滬教版 [章節(jié)] [關鍵詞] 排列/組合/綜合 [標題] 排列組合綜合問題 [內容] 教學目標 通過教學，學生在進一步加深對排列、組合意義理解的基礎上，掌握有關排列、組合綜合題 的基本解法，提高分析問題和解決問題的能力，學會分類討論的思想． 教學重點與難點 重點：排列、組合綜合題的解法． 難點：正確的分類、分步． 教學用具 投影儀． 教學過程設計 （一）引入 師：現(xiàn)在我們大家已經(jīng)學習和掌握了一些排列問題和組合問題的求解方法．今天我們要在復 習、鞏固已掌握的方法的基礎上，來學習和討論排列、組合綜合題的一般解法． 先請一位同學幫我們把解排列問題和組合問題的一般方法及注意事項說一下吧! 生：解排列問題和組合問題的一般方法直接法、間接法、捆綁法、插空法等．求解過程中要 注意做到“不重”與“不漏”． 師：回答的不錯!解排列問題和組合問題時，當問題分成互斥各類時，根據(jù)加法原理，可用 分類法；當問題考慮先后次序時，根據(jù)乘法原理，可用位置法；這兩種方法又稱作直接法． 當問題的反面簡單明了時，可通過求差排除采用間接法求解；另外，排列中“相鄰”問題可 以用“捆綁法”；“分離”問題可能用“插空法”等． 解排列問題和組合問題，一定要防止“重復”與“遺漏”． （教師邊講，邊板書） 互斥分類——分類法 先后有序——位置法 反面明了——排除法 相鄰排列——捆綁法 分離排列——插空法 （二）舉例 師：我下面我們來分析和解決一些例題． （打出片子——例1） 例1 有12個人，按照下列要求分配，求不同的分法種數(shù)． （1）分為兩組，一組7人，一組5人； （2）分為甲、乙兩組，甲組7人，乙組5人； （3）分為甲、乙兩組，一組7人，一組5人； （4）分為甲、乙兩組，每組6人； （5）分為兩組，每組6人； （6）分為三組，一組5人，一組4人，一組3人； （7）分為甲、乙、丙三組，甲組5人，乙組4人，丙組3人； （8）分為甲、乙、丙三組，一組5人，一組4人，一組3人； （9）分為甲、乙、丙三組，每組4人； （10）分為三組，每組4人． （教師慢速連續(xù)讀一遍例1，同時要求學生審清題意，仔細分析，周密考慮，獨立地求解． 這是一個層次分明的排列、組合題，涉及非平均分配、平均分配和排列組合綜合．各小題之 間有區(qū)別、有聯(lián)系，便于學生分析、比較、歸納，有利于學生加深理解，提高能力） 師：請一位同學說一下各題的答案（只需要列式）． 生：（1），（2），（3）都是；（4），（5）都是；（6），（7），（8） 都是；（9），（10）都是 師：從這個同學的解答中，我們可以看出他對問題的考慮分先后次序，用位置法求解是掌握 了的．但是還請大家審清題意，看（3）與（1），（2）；（5）與（4）；（8）與（6）， （7）；（10）與（9）是否分別相同，有沒有出現(xiàn)“重復”和“遺漏”的問題． （找班里水平較高的一位學生回答） 生：（3）和（1），（2）；（5）和（4）；（8）和（6），（7）；（10）和（9）并不相 同．（3），（5），（8），（10）的答案都錯了，既出現(xiàn)了“重復”也出現(xiàn)了“遺漏”的問題．（3）的答案是；（5）是；（8）是（10）是 （教師在學生回答時板書各題答案） 師：回答的正確，請說出具體的分析． 生：（3）把12人分成甲、乙兩組，一組7人，一組5人，但并沒有指明甲、乙誰是7人，誰是5人，所以要考慮甲、乙的順序，再乘以；（8）也是同一道理．（5）把12人分成兩組， 每組6人，如果是分成甲組、乙組，那么共有種不同分法，但是（5）只要求平均分成兩組，這樣甲、乙組兩元素的所有不同排列順序，甲乙、乙甲共P22個就是同一種分組了，所以（5）的答案是；（10）的道理相同． 師：分析的很好!我們大家必須認識到，題目中具體指明甲、乙與沒有具體指明是有區(qū)別的 ．如果在解題過程中不加以區(qū)別，就會出現(xiàn)“重復”和“遺漏”的問題，這是解決排列、組 合題時要特別注意的． 例1中，（1），（2），（6），（7）都是非平均分配問題，雖然（1），（6）都沒有指出 組名，而（2），（7）給出了組名，但是在非平均分配中是一樣的．這是因為（2），（7）不僅給出了組名，而且還指明了誰是幾個人，這一點上又與（3），（8）有差異．（3），（8）給了組名卻沒有指明誰是幾個人． 題中（4），（5），（9），（10）都屬于平均分配問題，在平均分配中，如果沒有給出組 名，一定要除以組數(shù)的階乘! 如果12個人分成三組，其中一組2人，另外兩組都是5人，求所有不同的分法種數(shù)．這里有不平均（一組2人），又有平均（兩組都是是5人）．怎么辦? 生：分兩步完成．第一步：12個人中選2人的方法數(shù)C212；第二步：剩下的10個人平均分成兩組，每組5人的方法數(shù)，根據(jù)乘法原理得到，共有種不同的分法． 師：很好!大家已經(jīng)理解了不平均分配的、平均分配，以及部分平均分配的計算，部分平均 分配問題先考慮不平均分配，剩下的仍是平均分配，平均分配要商除．這樣分配問題已徹底 解決了． 請看例題2． （打出片子——例2） （1）6男2女排成一排，2女相鄰； （2）6男2女排成一排，2女不能相鄰； （3）4男4女排成一排，同性者相鄰； （4）4男4女排成一排，同性者不能相鄰． （教師讀題、巡視） 師：請一位同學說出（1），（2）的答案． 生甲：N1＝；N2＝ 師：完全正確!他是用捆綁法解決“相鄰”問題的，把2女“捆綁”在一起看成一組，與6男共7組，組外排列為，女生組內排列為，得2女相鄰排法數(shù)N1＝；（2）是用捆 綁法結合排除法來解得，從總體排列中排除N1得2女不相鄰的排法數(shù)N2＝ （教師的復述是為了使水平較差學生明白解題思路，了解分析方法，真正理解解法） 師：（2）的不相鄰的分離排列還有沒有其它解法? 生乙：可以用插空法直接求解．6男先排實位，再在7個空位中排2女，共有N2＝種不同排法． （板書（1），（2）算式） 師：對于（2）的兩種解法思路不同，但殊途同歸，結果一樣，都是正確的．兩種解法解決 分離問題是否都很方便呢?試想，如果“5男3女排成一排，3女都不能相鄰“與一樣嗎?大家動手計算一下． 生：前者是36 000，后者是14 400，不一樣，肯定有問題． 師：是什么? 生：3女相鄰． 師：3女相鄰的反面是什么? 生：是3女不都相鄰，其中有2女相鄰，不是3女都不相鄰． 師：這一例題說明什么? 生：不相鄰的分離排列還是用插空法要穩(wěn)妥一些． 師：請大家下課后想一想，用捆綁法結合排除法能否解決上述問題，如果能解決，應該怎么 做?我們繼續(xù)分析和解決（3），（4）兩小題． N3＝； N4＝． （板書（3），（4）的算式） 師：非常正確!（4）吸取了（2）的教訓，沒有用，并且沒有簡單的用 插空，而是考慮到了男、女都要排實位，否則會出現(xiàn)． （板書） （女男男女男女男女）兩男或兩女相鄰的問題．這時同性不相鄰必須男女都排好，即男奇數(shù) 位，女偶數(shù)位，或者對調． （通過對例2的討論和分析，能夠幫助學生對于分離排列、排除法以及插空法有更清楚的認 識，只有這樣學生才會找到合理的解法，提高分析和解決問題的能力．） 師：我們再來看一個例題． （打出片子——例3） 例3 某乒乓球隊有8男7女共15名隊員，現(xiàn)進行混合雙打練習，兩邊都必須是1男1女，共有多少種不同的搭配方法? （教師朗讀一遍例3后巡視） 師：請同學說一下答案． 生：N＝（板書此式）． 師：怎么分析的呢? 生：每一種搭配都需要2男2女，先把4名隊員選出來，有種選法，然后考慮4人的排法，故乘以 師：選出的4名隊員做全排列，那么（板書）男A男B、女A女B行嗎? 生：不行，有“重復”了，應該乘以什么呢? 師：這就需要我們再把問題想想清楚了，當選出2男2女隊員進行混合雙打時，有幾種搭配方法呢? （板書）男——男女 ①Aa Bb ②Ab Ba ③Ba Ab ④Bb Aa 以上四種嗎? 生：不是!③與②，④與①屬于同一種，只有2種搭配，應該乘以2． 師：這就對了．N=，還可以用下面的思路：先在8男中選2男各據(jù)一側，是排列問題，有種方法；再在7女中選2女與之搭配，是組合問題，有種方法，一共有N=種搭配方法． （板書） 解法1：N= 解法2：N= 師：最后看例4 （打出片子——例4） 例4 高二（1）班要從7名運動員中選出4名組成4100米接力隊，參加校運會，其中甲、乙二人都不跑中間兩棒的安排方法有多少種? （教師讀題，引導分析） 師：從7人中選4人分別安排第一、二、三、四棒這四個不同任務，一定與組合和排列有關， 對甲、乙有特殊要求，這就有了不同情況，要分類相加了．先不考慮誰跑哪棒，就說4人的 選擇有幾類情況呢? 生：三類，第一類，沒有甲乙，有種選法；第二類，有甲沒乙或有乙沒甲，有種選 法；第三類，既有甲也有乙，有種選法． 師：如果把上述三類選法數(shù)相加再乘以行不行? 生：不行，對于上面三類不同選法，并不能都有P44種安排方法．考慮甲、乙二人都不跑中 間兩棒，應有不同的安排方法數(shù)是：N=． 師：第二項中的是什么意思呢? 生：第二類中甲、乙兩人只有1人選中時，甲（乙）的排法數(shù)量是，其他三人的排法數(shù)是． 師：很好，這個排列組合綜合題在求解中的分類十分重要，大家要認真體會，了解其思路和 方法． （三）小結 我們通過對4個例題的分析和討論，總結了分配問題，分離排列問題的解法，以及排列、組 合綜合題的解法． 解排列、組合綜合題，一般應遵循：先組后排的原則． 解題時一定要注意不重復、不遺漏． （四）作業(yè) 1.四名優(yōu)秀生保送到三所學樣去，每所學樣至少得1名，則不同的保送方案總數(shù)是 種．（ ） 2.有印著0，1，3，5，7，9的六張卡片，如果允許9當作6用，那么從中任意以組成多少個不同的三位數(shù)?（） 課堂教學設計說明 關于排列組合的應用題，由于其內容獨特，自成體系；種類繁多，題目多變；解法別致，思 維抽象；條件隱晦，難以捉摸；得數(shù)較大，不易檢驗．所以這一課歷來是學生學習中的難點．為了降低解題的難度，在教會學生基本方法的同時，一定要使學生學會轉化，分類的思想方法，將復雜的排列、組合綜合題轉化為若干個簡單的排列、組合問題．基于這一點，在例題的選排上，特別安排了例1，在復習鞏固前面所學基本解法的基礎上，總結了分配問題的解法，并引出了簡單的排列組合綜合問題．通過例2來討論排列中常見的相鄰排列和分離排列問題，以及排除法、插空法等解法在應用中需注意的事項．例3、例4是典型的排列、組合綜 合題，分別側重了分步和分類兩個難點． 教學方法上，以問答形式，通過討論分析，引導學生正確思維，培養(yǎng)學生分析問題和解決問 題的能力．操作過程中也要根據(jù)學生的具體情況，采取多變的方式．學生配合的好，就以學 生為主，學生回答問題不盡如人意時，就需要教師在提高語言、方式等方面多做文章，或以 教師的講授為主．