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2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 7.4基本不等式教案 理 新人教A版 xx高考會(huì)這樣考　1.利用基本不等式求最值、證明不等式；2.利用基本不等式解決實(shí)際問題． 復(fù)習(xí)備考要這樣做　1.注意基本不等式求最值的條件；2.在復(fù)習(xí)過程中注意轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想的應(yīng)用． 1． 基本不等式≤ (1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0. (2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)． 2． 幾個(gè)重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)＋≥2(a，b同號(hào))． (3)ab≤2 (a，b∈R)． (4)≥2 (a，b∈R)． 3． 算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 設(shè)a>0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，基本不等式可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)． 4． 利用基本不等式求最值問題 已知x>0，y>0，則 (1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值是2.(簡記：積定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值是.(簡記：和定積最大) [難點(diǎn)正本　疑點(diǎn)清源] 1． 在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條件，就是“一正——各項(xiàng)均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號(hào)能否取得”，若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤． 2． 運(yùn)用公式解題時(shí)，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2＋b2≥2ab逆用就是ab≤；≥ (a，b>0)逆用就是ab≤2 (a，b>0)等．還要注意“添、拆項(xiàng)”技巧和公式等號(hào)成立的條件等． 3． 對使用基本不等式時(shí)等號(hào)取不到的情況，可考慮使用函數(shù)y＝x＋(m>0)的單調(diào)性． 1． 若x>0，y>0，且x＋y＝18，則xy的最大值是________． 答案　81 解析　由于x>0，y>0，則x＋y≥2， 所以xy≤2＝81， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝9時(shí)，xy取到最大值81. 2． 已知t>0，則函數(shù)y＝的最小值為________． 答案　－2 解析　∵t>0，∴y＝＝t＋－4≥2－4＝－2，且在t＝1時(shí)取等號(hào)． 3． 已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，則＋的最小值是_____________． 答案　8 解析　因?yàn)椋?2x＋y) ＝4＋＋≥4＋2＝8，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)y＝，x＝時(shí)成立． 4． (xx浙江)若正數(shù)x，y滿足x＋3y＝5xy，則3x＋4y的最小值是 (　　) A. B. C．5 D．6 答案　C 解析　∵x>0，y>0，由x＋3y＝5xy得＝1. ∴3x＋4y＝(3x＋4y) ＝ ＝＋≥＋2 ＝5(當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y時(shí)取等號(hào))， ∴3x＋4y的最小值為5. 5． 圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0關(guān)于直線2ax－by＋2＝0 (a，b∈R)對稱，則ab的取值范圍是 (　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由題可知直線2ax－by＋2＝0過圓心(－1,2)，故可得a＋b＝1，又因ab≤2＝ (a＝b時(shí)取等號(hào))． 故ab的取值范圍是. 題型一　利用基本不等式證明簡單不等式 例1　已知x>0，y>0，z>0. 求證：≥8. 思維啟迪：由題意，先局部運(yùn)用基本不等式，再利用不等式的性質(zhì)即可得證． 證明　∵x>0，y>0，z>0， ∴＋≥>0，＋≥>0， ＋≥>0， ∴ ≥＝8. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z時(shí)等號(hào)成立． 探究提高　利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，證明思路是從已證不等式和問題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理最后轉(zhuǎn)化為需證問題． 　已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1. 求證：＋＋≥9. 證明　∵a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1， ∴＋＋＝＋＋ ＝3＋＋＋＋＋＋ ＝3＋＋＋ ≥3＋2＋2＋2＝9， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時(shí)，取等號(hào)． 題型二　利用基本不等式求最值 例2　(1)已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，則＋的最小值為________； (2)當(dāng)x>0時(shí)，則f(x)＝的最大值為________． 思維啟迪：利用基本不等式求最值可以先對式子進(jìn)行必要的變換．如第(1)問把＋中的“1”代換為“2x＋y”，展開后利用基本不等式；第(2)問把函數(shù)式中分子分母同除“x”，再利用基本不等式． 答案　(1)3＋2　(2)1 解析　(1)∵x>0，y>0，且2x＋y＝1， ∴＋＝＋ ＝3＋＋≥3＋2.當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)，取等號(hào)． (2)∵x>0，∴f(x)＝＝≤＝1， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝1時(shí)取等號(hào)． (1)已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，則x＋2y的最小值是 (　　) A．3 B．4 C. D. (2)已知a>b>0，則a2＋的最小值是________． 答案　(1)B　(2)16 解析　(1)依題意，得(x＋1)(2y＋1)＝9， ∴(x＋1)＋(2y＋1)≥2＝6， 即x＋2y≥4. 當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立． ∴x＋2y的最小值是4. (2)∵a>b>0，∴b(a－b)≤2＝， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b時(shí)等號(hào)成立． ∴a2＋≥a2＋＝a2＋ ≥2＝16，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2時(shí)等號(hào)成立． ∴當(dāng)a＝2，b＝時(shí)，a2＋取得最小值16. 題型三　基本不等式的實(shí)際應(yīng)用 例3　某單位建造一間地面面積為12 m2的背面靠墻的矩形小房，由于地理位置的限制，房子側(cè)面的長度x不得超過5 m．房屋正面的造價(jià)為400元/m2，房屋側(cè)面的造價(jià)為150元/m2，屋頂和地面的造價(jià)費(fèi)用合計(jì)為5 800元，如果墻高為3 m，且不計(jì)房屋背面的費(fèi)用．當(dāng)側(cè)面的長度為多少時(shí)，總造價(jià)最低？ 思維啟迪：用長度x表示出造價(jià)，利用基本不等式求最值即可．還應(yīng)注意定義域00)，即x＝80時(shí)“＝”成立，故選B. 忽視最值取得的條件致誤 典例：(12分)已知a、b均為正實(shí)數(shù)，且a＋b＝1，求y＝的最小值． 易錯(cuò)分析　在求最值時(shí)兩次使用基本不等式，其中的等號(hào)不能同時(shí)成立，導(dǎo)致最小值不能取到． 審題視角　(1)求函數(shù)最值問題，可以考慮利用基本不等式，但是利用基本不等式，必須保證“正、定、等”，而且還要符合已知條件．(2)可以考慮利用函數(shù)的單調(diào)性，但要注意變量的取值范圍． 規(guī)范解答 解　方法一　y＝ ＝＋≥＋2 ＝2＝2 ≥2＝2＝.[10分] 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)，y＝取最小值，最小值為.[12分] 方法二　y＝＝ab＋＋＋ ＝ab＋＋＝ab＋＋ ＝＋ab－2.[6分] 令t＝ab≤2＝，即t∈. 又f(t)＝＋t在上是單調(diào)遞減的，[10分] ∴當(dāng)t＝時(shí)，f(t)min＝，此時(shí)，a＝b＝. ∴當(dāng)a＝b＝時(shí)，y有最小值.[12分] 溫馨提醒　(1)這類題目考生總感到比較容易下手．但是解這類題目卻又常常出錯(cuò)．(2)利用基本不等式求最值，一定要注意應(yīng)用條件：即一正、二定、三相等．否則求解時(shí)會(huì)出現(xiàn)等號(hào)成立、條件不具備而出錯(cuò)．(3)本題出錯(cuò)的原因前面已分析，關(guān)鍵是忽略了等號(hào)成立的條件. 方法與技巧 1． 基本不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能，常常用于比較數(shù)(式)的大小或證明不等式，解決問題的關(guān)鍵是分析不等式兩邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇好利用基本不等式的切入點(diǎn)． 2． 恒等變形：為了利用基本不等式，有時(shí)對給定的代數(shù)式要進(jìn)行適當(dāng)變形．比如： (1)當(dāng)x>2時(shí)，x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4. (2)00，即>a，D錯(cuò)誤，故選B. 2． (xx福建)下列不等式一定成立的是 (　　) A．lg>lg x(x>0) B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z) C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D.>1(x∈R) 答案　C 解析　當(dāng)x>0時(shí)，x2＋≥2x＝x， 所以lg≥lg x(x>0)，故選項(xiàng)A不正確； 而當(dāng)x≠kπ，k∈Z時(shí)，sin x的正負(fù)不定，故選項(xiàng)B不正確； 由基本不等式可知，選項(xiàng)C正確； 當(dāng)x＝0時(shí)，有＝1，故選項(xiàng)D不正確． 3． 設(shè)x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝3，a＋b＝2，則＋的最大值為 (　　) A．2 B. C．1 D. 答案　C 解析　由ax＝by＝3，得：x＝loga3，y＝logb3，由a>1，b>1知x>0，y>0，＋＝log3a＋log3b＝log3ab≤log32＝1，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)“＝”成立，則＋的最大值為1. 4． 已知00. ∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤32＝. 當(dāng)x＝1－x，即x＝時(shí)取等號(hào)． 二、填空題(每小題5分，共15分) 5． 已知x，y∈R＋，且滿足＋＝1，則xy的最大值為________． 答案　3 解析　∵x>0，y>0且1＝＋≥2，∴xy≤3.當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)取等號(hào)． 6． (xx湖南)設(shè)x，y∈R，且xy≠0，則的最小值為________． 答案　9 解析　＝5＋＋4x2y2 ≥5＋2＝9， 當(dāng)且僅當(dāng)x2y2＝時(shí)“＝”成立． 7． 某公司一年需購買某種貨物200噸，平均分成若干次進(jìn)行購買，每次購買的運(yùn)費(fèi)為2萬元，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用數(shù)值(單位：萬元)恰好為每次的購買噸數(shù)數(shù)值，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則每次購買該種貨物的噸數(shù)是_______． 答案　20 解析　設(shè)每次購買該種貨物x噸，則需要購買次，則一年的總運(yùn)費(fèi)為2＝，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為x，所以一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用為＋x≥2＝40，當(dāng)且僅當(dāng)＝x，即x＝20時(shí)等號(hào)成立，故要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，每次應(yīng)購買該種貨物20噸． 三、解答題(共22分) 8． (10分)已知a>0，b>0，a＋b＝1，求證： (1)＋＋≥8； (2)≥9. 證明　(1)＋＋＝＋＋ ＝2， ∵a＋b＝1，a>0，b>0， ∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4， ∴＋＋≥8(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)等號(hào)成立)． (2)方法一　∵a>0，b>0，a＋b＝1， ∴1＋＝1＋＝2＋， 同理，1＋＝2＋， ∴＝ ＝5＋2≥5＋4＝9. ∴≥9(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)等號(hào)成立)． 方法二?。?＋＋＋. 由(1)知，＋＋≥8， 故＝1＋＋＋≥9. 9． (12分)為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一個(gè)底寬為2 m的無蓋長 方體沉淀箱(如圖所示)，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設(shè) 箱的底長為a m，高度為b m．已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分別與 a，b的乘積成反比，現(xiàn)有制箱材料60 m2.問：當(dāng)a，b各為多少米時(shí)， 經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小(A，B孔的面積忽略不計(jì))? 解　方法一　設(shè)y為流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)， 則y＝，其中k>0為比例系數(shù)，依題意，求使y值最小的a，b的值． 根據(jù)題設(shè)，有4b＋2ab＋2a＝60 (a>0，b>0)， 解得b＝ (00，b>0)， 即a＋2b＋ab＝30 (a>0，b>0)． 因?yàn)閍＋2b≥2，所以2＋ab≤30， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b時(shí)，上式取等號(hào)． 由a>0，b>0，解得0Q>M B．Q>P>M C．Q>M>P D．M>Q>P 答案　B 解析　因?yàn)镻＝log，Q＝(loga＋logb)， M＝log(a＋b)，所以只需比較，，的大小，顯然>.又因?yàn)?(因?yàn)閍＋b>，也就是<1)，所以>>，而對數(shù)函數(shù)當(dāng)?shù)讛?shù)大于0且小于1時(shí)為減函數(shù)，故Q>P>M. 3． 函數(shù)y＝loga(x＋3)－1 (a>0，且a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，則＋的最小值為 (　　) A．2 B．4 C．8 D．16 答案　C 解析　點(diǎn)A(－2，－1)，所以2m＋n＝1. 所以＋＝(2m＋n)＝4＋＋≥8，當(dāng)且僅當(dāng)n＝2m，即m＝，n＝時(shí)等號(hào)成立． 二、填空題(每小題5分，共15分) 4． 若正實(shí)數(shù)x，y滿足2x＋y＋6＝xy，則xy的最小值是________． 答案　18 解析　由x>0，y>0,2x＋y＋6＝xy，得 xy≥2＋6(當(dāng)且僅當(dāng)2x＝y(tǒng)時(shí)，取“＝”)， 即()2－2－6≥0， ∴(－3)(＋)≥0. 又∵>0，∴≥3，即xy≥18. ∴xy的最小值為18. 5． 已知m、n、s、t∈R＋，m＋n＝2，＋＝9，其中m、n是常數(shù)，且s＋t的最小值是，滿足條件的點(diǎn)(m，n)是圓(x－2)2＋(y－2)2＝4中一弦的中點(diǎn)，則此弦所在的直線方程為__________． 答案　x＋y－2＝0 解析　因(s＋t)＝m＋n＋＋ ≥m＋n＋2，所以m＋n＋2＝4， 從而mn＝1，得m＝n＝1，即點(diǎn)(1,1)， 而已知圓的圓心為(2,2)，所求弦的斜率為－1， 從而此弦的方程為x＋y－2＝0. 6． 定義“*”是一種運(yùn)算，對于任意的x，y，都滿足x*y＝axy＋b(x＋y)，其中a，b為正實(shí)數(shù)，已知1]　　　　. 答案　1 解析　∵1]∵2a＋3b≥2，∴ab≤. 當(dāng)且僅當(dāng)2a＝3b，即a＝1時(shí)等號(hào)成立， 所以當(dāng)a＝1時(shí)，ab取最大值. 三、解答題 7． (13分)甲、乙兩地相距s千米，一船由甲地逆水勻速行駛至乙地，水速為常量p(單位：千米/小時(shí))，船在靜水中的最大速度為q千米/小時(shí)(q>p)．已知船每小時(shí)的燃料費(fèi)用(單位：元)與船在靜水中的速度v(單位：千米/小時(shí))的平方成正比，比例系數(shù)為k. (1)把全程燃料費(fèi)用y(單位：元)表示為船在靜水中的速度v的函數(shù)，并求出這個(gè)函數(shù)的定義域； (2)為了使全程燃料費(fèi)用最小，船的實(shí)際前進(jìn)速度應(yīng)為多少？ 解　(1)由題意，知船每小時(shí)的燃料費(fèi)用是kv2，全程航行時(shí)間為， 于是全程燃料費(fèi)用y＝kv2 (pq時(shí)，函數(shù)y＝kv2在(p，q]內(nèi)單調(diào)遞減，所以ymin＝ks，此時(shí)船的前進(jìn)速度為q－p. 故為了使全程燃料費(fèi)用最小，當(dāng)2p≤q時(shí)，船的實(shí)際前進(jìn)速度應(yīng)為p千米/小時(shí)；當(dāng)2p>q時(shí)，船的實(shí)際前進(jìn)速度應(yīng)為(q－p)千米/小時(shí)．