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2019-2020年高三數學第一輪復習 第58課時—直線和平面平行及平面與平面平行教案 一．復習目標： 1．了解直線和平面的位置關系；掌握直線和平面平行的判定定理和性質定理． 2．了解平面和平面的位置關系；掌握平面和平面平行的判定定理和性質定理． 二．課前預習： 1．已知直線、和平面，那么的一個必要不充分的條件是 （ ） ， ， 且 、與成等角 2．、表示平面，、表示直線，則的一個充分條件是 （ ） ，且 ，且 ，且 ，且 3.已知平面平面，是外一點，過點的直線與分別交于點，過點的直線與分別交于點，且，，，則的長為（ ） 或 4．空間四邊形的兩條對角線，，則平行于兩對角線的截面四邊形的周長的取值范圍是 ．答案：（8，12） 三．例題分析： 例1．正方體ABCD—A1B1C1D1中． (1)求證：平面A1BD∥平面B1D1C； (2)若E、F分別是AA1，CC1的中點，求證：平面EB1D1∥平面FBD． A1 A B1 B C1 C D1 D G E F 證明：(1)由B1B∥DD1，得四邊形BB1D1D是平行四邊形， ∴B1D1∥BD， 又BD 平面B1D1C，B1D1平面B1D1C， ∴BD∥平面B1D1C． 同理A1D∥平面B1D1C． 而A1D∩BD＝D， ∴平面A1BD∥平面B1CD． (2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1． 取BB1中點G，∴AE∥B1G． 從而得B1E∥AG，同理GF∥AD． ∴AG∥DF． ∴B1E∥DF． ∴DF∥平面EB1D1． ∴平面EB1D1∥平面FBD． 說明 要證“面面平面”只要證“線面平面”，要證“線面平行”，只要證“線線平面”，故問題最終轉化為證線與線的平行． 小結： 例2．如圖，已知M、N、P、Q分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點． B A D C P N Q M 求證：(1)線段MP和NQ相交且互相平分；(2)AC∥平面MNP，BD∥平面MNP． 證明：(1) ∵M、N是AB、BC的中點，∴MN∥AC，MN＝AC． ∵P、Q是CD、DA的中點，∴PQ∥CA，PQ＝CA． ∴MN∥QP，MN＝QP，MNPQ是平行四邊形． ∴□MNPQ的對角線MP、NQ相交且互相平分． (2)由(1)，AC∥MN．記平面MNP(即平面MNPQ)為α．顯然ACα． 否則，若ACα， 由A∈α，M∈α，得B∈α； 由A∈α，Q∈α，得D∈α，則A、B、C、D∈α， 與已知四邊形ABCD是空間四邊形矛盾． 又∵MNα，∴AC∥α， 又AC α，∴AC∥α，即AC∥平面MNP． 同理可證BD∥平面MNP． 小結： 例3．已知正四棱錐的底面邊長為，側棱長為，點分別在和上，并且，平面，求線段的長． 解：延長交延長線于點，連，可證得，由與相似及已知求得．在等腰中，求出，又在中，由于余弦定理求得． ∵，∴，∴． 小結： 四．課后作業(yè)： 班級 學號 姓名 1．設線段是夾在兩平行平面間的兩異面線段，點，，若分別為的中點，則有 （ ） 2．是兩個不重合平面，是兩條不重合直線，那么的一個充分條件是（ ） ，，且， ，，且 ，，且 ，，且 3．在正四棱柱中，分別為棱、、、的中點，是的中點，點在四邊形及其內部運動，則滿足條件 時，有平面．（點在線段上） 4．在長方體中，經過其對角線的平面分別與棱、相交于兩點，則四邊形的形狀為 ．（平行四邊形） A B C D B1 1 D1 C1 1 α 1 A1 B2 A2 C2 D2 2 2 2 2 β 5．如圖，A，B，C，D四點都在平面a，b外，它們在a內的射影A1，B1，C1，D1是平行四邊形的四個頂點，在b內的射影A2，B2，C2，D2在一條直線上，求證：ABCD是平行四邊形． 證明：∵ A，B，C，D四點在b內的射影A2，B2，C2，D2 在一條直線上， ∴A，B，C，D四點共面． 又A，B，C，D四點在a內的射影A1，B1，C1，D1是平行四邊形的四個頂點， ∴平面ABB1A1∥平面CDD1C1． ∴AB，CD是平面ABCD與平面ABB1A1，平面CDD1C1的交線． ∴AB∥CD． 同理AD∥BC． ∴四邊形ABCD是平行四邊形． 6．若一直線與一個平面平行，則過平面內的一點且與這條直線平行的直線必在此平面內． 解：如圖，設，，．由， ∴它們確定一個平面，設，可證， 在平面內，過點存在，， ∴與重合，即． 7．點是所在平面外一點，分別是、、的重心，求證：（1）平面平面；（2）求． 證明：（1）如圖，分別取的中點， 連結， ∵分別是、、的重心， ∴分別在上， 且． 在中，，故， 又為的邊的中點，， ∴，∴平面，同理平面 ∴平面平面． （2）由（1）知，， ∴．