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2019-2020年高中數(shù)學(xué)知識精要 15.解析幾何-直線與圓教案 新人教A版 1、直線的傾斜角： （1）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于一條與軸相交的直線，如果把軸繞著交點(diǎn)按逆時針方向轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)的最小正角記為，那么就叫做直線的傾斜角。當(dāng)直線與軸重合或平行時，規(guī)定傾斜角為0； （2）傾斜角的范圍。 如（1）直線的傾斜角的范圍是____（答：）；（2）過點(diǎn)的直線的傾斜角的范圍值的范圍是______（答：） 2、直線的斜率： （1）定義：傾斜角不是90的直線，它的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率，即＝tan(≠90)；傾斜角為90的直線沒有斜率； （2）斜率公式：經(jīng)過兩點(diǎn)、的直線的斜率為；（3）直線的方向向量，直線的方向向量與直線的斜率有何關(guān)系？ （4）應(yīng)用：證明三點(diǎn)共線： 。 提醒：（1）直線的傾斜角α一定存在，但斜率不一定存在。 （2）直線的傾斜角與斜率的變化關(guān)系：若直線存在斜率k，而傾斜角為α，則k=tanα.當(dāng)傾斜角是銳角是，斜率k隨著傾斜角α的增大而增大。當(dāng)α是鈍角時，k與α同增減. （3）斜率的求法： α O K 依據(jù)傾斜角：， 牢記圖像　　 依據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)： 依據(jù)直線方程：化為斜截式 當(dāng)已知k，求傾斜角α?xí)r： k≥0時，α=arctank；k<0時，α=π+arctank。 （4） （你知道如何由直線的方向向量來求斜率嗎？） 如(1) 兩條直線斜率相等是這兩條直線平行的____________條件（答：既不充分也不必要）；（2）實數(shù)滿足 ()，則的最大值、最小值分別為______（答：） 3、直線的方程： （1）點(diǎn)斜式：已知直線過點(diǎn)斜率為，則直線方程為,它不包括垂直于軸的直線。 （2）斜截式：已知直線在軸上的截距為和斜率，則直線方程為,它不包括垂直于軸的直線。 （3）兩點(diǎn)式：已知直線經(jīng)過、兩點(diǎn)，則直線方程為，它不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線。 （4）截距式：已知直線在軸和軸上的截距為,則直線方程為，它不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線和過原點(diǎn)的直線。 （5）一般式：任何直線均可寫成(A,B不同時為0)的形式。 如（1）經(jīng)過點(diǎn)（2，1）且方向向量為=(－1,)的直線的點(diǎn)斜式方程是___________（答：）；（2）直線，不管怎樣變化恒過點(diǎn)______（答：）；（3）若曲線與有兩個公共點(diǎn)，則的取值范圍是_______（答：） 提醒： (1)直線方程的各種形式都有局限性.（如點(diǎn)斜式不適用于斜率不存在的直線，還有截距式呢？）； (2)直線在坐標(biāo)軸上的截距可正、可負(fù)、也可為0.直線兩截距相等直線的斜率為-1或直線過原點(diǎn)；直線兩截距互為相反數(shù)直線的斜率為1或直線過原點(diǎn)；直線兩截距絕對值相等直線的斜率為或直線過原點(diǎn)。 如過點(diǎn)，且縱橫截距的絕對值相等的直線共有___條（答：3） 4.設(shè)直線方程的一些常用技巧： （1）知直線縱截距，常設(shè)其方程為； （2）知直線橫截距，常設(shè)其方程為(它不適用于斜率為0的直線)； （3）知直線過點(diǎn)，當(dāng)斜率存在時，常設(shè)其方程為，當(dāng)斜率不存在時，則其方程為； （4）與直線平行的直線可表示為（）； （5）與直線垂直的直線可表示為. （6）已知直線l1：A1x+B1y+C1=0，直線l2：A2x+B2y+C2=0，則方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0表示過l1與l2交點(diǎn)的直線系（不含l2）.不僅可以建立直線方程還可解決直線過定點(diǎn)問題. 提醒：（1）求直線方程的基本思想和方法是恰當(dāng)選擇方程的形式，利用待定系數(shù)法求解。 （2）求解直線方程的最后結(jié)果，如無特別強(qiáng)調(diào)，都應(yīng)寫成一般式. （3）求一個角的平分線所在的直線方程的方法： 法一、利用角的平分線所在的直線的方向向量 ①由頂點(diǎn)坐標(biāo)（含線段端點(diǎn)）或直線方程求得角兩邊的方向向量； ②求出角平分線的方向向量 ③由點(diǎn)斜式或點(diǎn)向式得出角平分線方程。 {直線的點(diǎn)向式方程：過P（），其方向向量為，其方程為} 法二、利用角平分線定理： 法三、利用點(diǎn)到直線的距離公式：設(shè)為角平分線所在直線上的任意一點(diǎn)，通過到兩邊距離相等而得. 5、點(diǎn)到直線的距離及兩平行直線間的距離： （1）點(diǎn)到直線的距離； （2）兩平行線間的距離為。 提醒：（1）公式要求直線方程為一般式. （2）求平行直線間的距離時，一定要把 x、y項系數(shù)化成對應(yīng)相等的系數(shù). 6、直線與直線的位置關(guān)系： （1）平行（斜率）且（在軸上截距）； （2）相交； （3）重合且。 提醒：（1） 、、僅是兩直線平行、相交、重合的充分不必要條件！為什么？ （2）在解析幾何中，研究兩條直線的位置關(guān)系時，有可能這兩條直線重合，而在立體幾何中提到的兩條直線都是指不重合的兩條直線； （3）直線與直線垂直。 如（1）設(shè)直線和，當(dāng)＝_______時∥；當(dāng)＝________時；當(dāng)_________時與相交；當(dāng)＝_________時與重合（答：－1；；；3）； （2）已知直線的方程為，則與平行，且過點(diǎn)（—1，3）的直線方程是______（答：）； （3）兩條直線與相交于第一象限，則實數(shù)的取值范圍是____（答：）； （4）設(shè)分別是△ABC中∠A、∠B、∠C所對邊的邊長，則直線與的位置關(guān)系是____（答：垂直）； （5）已知點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，是直線外一點(diǎn)，則方程＝0所表示的直線與的關(guān)系是____（答：平行）； （6）直線過點(diǎn)（１，０），且被兩平行直線和所截得的線段長為9，則直線的方程是________（答：） 　7.對稱是平面幾何的基本變換，有關(guān)對稱的一些結(jié)論　 ① 點(diǎn)（ａ，ｂ）關(guān)于ｘ軸、ｙ軸、原點(diǎn)、直線y=x的對稱點(diǎn)分別是（ａ，－ｂ），（－ａ，ｂ），（－ａ，－ｂ），（ｂ，ａ） ② 如何求點(diǎn)A (ａ，ｂ）關(guān)于直線Ax+By+C=0的對稱點(diǎn)? 點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)是什么？ ③ 直線Ax+By+C=0關(guān)于ｘ軸、ｙ軸、原點(diǎn)、直線y=x的對稱的直線方程分別是什么，關(guān)于點(diǎn)（ａ，ｂ）對稱的直線方程又是什么？你能用哪些方法來求一條直線關(guān)于另一條直線的對稱直線？ ④ 如何處理與光的入射與反射問題？ 8、圓的方程： ⑴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：。 ⑵圓的一般方程：， 特別提醒：只有當(dāng)時，方程才表示圓心為，半徑為的圓（二元二次方程表示圓的充要條件是什么？ （且且））； 在圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中有三個參數(shù)；在圓的一般方程 中，也有三個參數(shù)。所以說三個互相獨(dú)立的條件確定一個圓。在平面幾何中也是熟悉的事實：不共線的三點(diǎn)唯一地確定一個圓。 確定一個圓，包括確定圓的位置和大小兩個方面。圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。又稱圓心是圓的定位條件，半徑是圓的定形條件。 ⑶圓的參數(shù)方程：（為參數(shù)），其中圓心為，半徑為。 在參數(shù)方程中，當(dāng)為參數(shù)，為常量時表示一個圓，有幾何意義；而當(dāng)為參數(shù)，為常量時，表示一條直線，也有幾何意義。 圓的參數(shù)方程的主要應(yīng)用是三角換元：； 。 ⑷為直徑端點(diǎn)的圓方程 過兩圓交點(diǎn)的圓系方程 設(shè)圓， 圓有公共點(diǎn)，則經(jīng)過圓和圓的公共點(diǎn)的圓系方程為：（其中為參數(shù)，，方程不包括圓。）在有些問題中需檢驗圓是否也為所求；當(dāng)時，該方程是一條直線的方程，此直線就是兩圓的公共弦所在直線。 3. 過直線與圓的交點(diǎn)的圓系方程 設(shè)直線與圓有公共點(diǎn)，則過其交點(diǎn)的圓系方程為。 如（1）圓C與圓關(guān)于直線對稱，則圓C的方程為____________（答：）； （2）圓心在直線上，且與兩坐標(biāo)軸均相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是__________ （答：或）； （3）已知是圓（為參數(shù)，上的點(diǎn)，則圓的普通方程為________，P點(diǎn)對應(yīng)的值為_______，過P點(diǎn)的圓的切線方程是___________（答：；；）； （4）如果直線將圓：x2+y2-2x-4y=0平分，且不過第四象限，那么的斜率的取值范圍是____（答：[0，2]）； （5）方程x2+y２－x+y+k=0表示一個圓，則實數(shù)k的取值范圍為____（答：）； （6）若（為參數(shù)，，，若，則b的取值范圍是_________（答：） 8、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：已知點(diǎn)及圓，（1）點(diǎn)M在圓C外；（2）點(diǎn)M在圓C內(nèi) ；（3）點(diǎn)M在圓C上 。如點(diǎn)P(5a+1,12a)在圓(x－１)２＋y2=1的內(nèi)部,則a的取值范圍是______（答：） 9、直線與圓的位置關(guān)系：直線和圓 有相交、相離、相切?？蓮拇鷶?shù)和幾何兩個方面來判斷：（1）代數(shù)方法（判斷直線與圓方程聯(lián)立所得方程組的解的情況）：相交；相離；相切；（2）幾何方法（比較圓心到直線的距離與半徑的大?。涸O(shè)圓心到直線的距離為，則相交；相離；相切。 提醒：判斷直線與圓的位置關(guān)系一般用幾何方法較簡捷。 如（1）圓與直線，的位置關(guān)系為____（答：相離）； （2）若直線與圓切于點(diǎn)，則的值____（答：2）； （3）直線被曲線所截得的弦長等于 （答：）；（4）一束光線從點(diǎn)A(－1,1)出發(fā)經(jīng)x軸反射到圓C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是 （答：4）； （5）已知是圓內(nèi)一點(diǎn)，現(xiàn)有以為中點(diǎn)的弦所在直線和直線，則A．，且與圓相交 　 B．，且與圓相交　　C．，且與圓相離 D．，且與圓相離（答：C）；（6）已知圓C：，直線L：。①求證：對，直線L與圓C總有兩個不同的交點(diǎn)；②設(shè)L與圓C交于A、B兩點(diǎn)，若，求L的傾斜角；③求直線L中，截圓所得的弦最長及最短時的直線方程. （答：②或　?、圩铋L：，最短：） 10、圓與圓的位置關(guān)系（用兩圓的圓心距與半徑之間的關(guān)系判斷）：已知兩圓的圓心分別為，半徑分別為，則（1）當(dāng)時，兩圓外離；（2）當(dāng)時，兩圓外切；（3）當(dāng)時，兩圓相交；（4）當(dāng)時，兩圓內(nèi)切；（5）當(dāng)時，兩圓內(nèi)含。 如雙曲線的左焦點(diǎn)為F1，頂點(diǎn)為A1、A2，P是雙曲線右支上任意一點(diǎn)，則分別以線段PF1、A1A2為直徑的兩圓位置關(guān)系為 （答：內(nèi)切） 特別提醒：圓系方程有哪些？ （04年上海卷.文理8）圓心在直線上的圓C與y軸交于兩點(diǎn), 則圓C的方程為 . 兩圓相交弦所在直線方程的求法：圓C1的方程為：x2+y2+D1x+E1y+C1=0.圓C2的方程為：x2+y2+D2x+E2y+C2=0. 把兩式相減得相交弦所在直線方程為：(D1-D2)x+(E1-E2)y+(C1-C2)=0 注意：兩圓相切要區(qū)分內(nèi)切還是外切. 11、圓的切線與弦長： (1)切線：①過圓上一點(diǎn)圓的切線方程是：，過圓上一點(diǎn)圓的切線方程是：，一般地，如何求圓的切線方程？（抓住圓心到直線的距離等于半徑）； ②從圓外一點(diǎn)引圓的切線一定有兩條，可先設(shè)切線方程，再根據(jù)相切的條件，運(yùn)用幾何方法（抓住圓心到直線的距離等于半徑）來求；③過兩切點(diǎn)的直線（即“切點(diǎn)弦”）方程的求法：先求出以已知圓的圓心和這點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓，該圓與已知圓的公共弦就是過兩切點(diǎn)的直線方程； ③切線長：過圓（）外一點(diǎn)所引圓的切線的長為（）； 如設(shè)A為圓上動點(diǎn)，PA是圓的切線，且|PA|=1，則P點(diǎn)的軌跡方程為__________（答：）； （2）弦長問題：①圓的弦長的計算：常用弦心距，弦長一半及圓的半徑所構(gòu)成的直角三角形來解：；②過兩圓、交點(diǎn)的圓(公共弦)系為，當(dāng)時，方程為兩圓公共弦所在直線方程.。 12.解決直線與圓的關(guān)系問題時，要充分發(fā)揮圓的平面幾何性質(zhì)的作用(如半徑、半弦長、弦心距構(gòu)成直角三角形，切線長定理、割線定理、弦切角定理等等)! 圓心在過切點(diǎn)垂直于切線的直線上 垂徑定理：弦的垂直平分線過圓心（弦的中點(diǎn)與圓心的連線垂直弦所在的直線） 弦心距的d、半徑r、弦長l的關(guān)系是什么？ 12.圓上一定到某點(diǎn)或者某條直線的距離的最大、最小值的求法。 （04年全國卷三. 文16）設(shè)P為圓上的動點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的距離的最小值為 . 點(diǎn)評：通過參數(shù)法，將幾何問題轉(zhuǎn)化為三角值域研究. 也可設(shè)切線，由求出C，最后由兩平行線間距離公式求出最小值. 注意防止由于“零截距”和“無斜率”造成丟解