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2019-2020年高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.5平面向量應(yīng)用舉例2.5.1平面幾何中的向量方法課后集訓(xùn)新人教A版必修 基礎(chǔ)達標 1.在菱形ABCD中，下列關(guān)系式不正確的是（ ） A.∥ B.（+）⊥(+) C.（-）(-)=0 D.= 解析：A正確；B、C正確，因為菱形兩對角線互相垂直；D不正確，因為、夾角與、夾角互補. 答案：D 2.已知A（2，1）、B（3，2）、C（-1，4），則△ABC是（ ） A.等邊三角形 B.銳角三角形 C.直角三角形 D.鈍角三角形 解析：=（1，1），=（-3，3）. ∵=0，∴AB⊥AC. ∴△ABC為直角三角形. 答案：C 3.在四邊形ABCD中，若=，且||=||+1，=0，則四邊形ABCD是（ ） A.矩形 B.菱形 C.梯形 D.正方形 解析：由=得四邊形為平行四邊形，又因為=0，所以AB⊥BC，且||≠|(zhì)|,所以選A. 答案：A 4.已知ABCD的頂點B（1，1），C（4，2），D（5，4）,則頂點A的坐標為（ ） A.（2，3） B.（3，3） C.（3，4） D.（1，3） 解析：設(shè)A（x,y）,則=, 即（1-x,1-y）=(-1,-2), ∴∴ 答案：A 5.在△ABC中，若（+）（-）=0，則△ABC為（ ） A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.無法確定 解析：由條件得（+）=0，由平行四邊形法則，取AB中點D，則+=2， ∴⊥, ∴△ABC為等腰三角形. 答案：C 6.如右圖，在△ABC中，若||=4，||=5.||=,則∠A=______________. 解析：∵=-, ∴, 即||2=||2-2||||cos∠A+||2. ∴cos∠A= =.∴∠A=60. 答案：60 綜合運用 7.在矩形ABCD中，=，=，設(shè)=（a,0）,=(0,b),當⊥時，求得的值為（ ） A. B. C.2 D.3 解析：由條件可得 =+=+ =+=（）, =-=-=（，-b）. ∵⊥, ∴==0, ∴=. 答案：A 8.O為空間中一定點，動點P在A、B、C三點確定的平面內(nèi)且滿足（-）（-）=0，則點P一定在過△ABC的__________的直線上（ ） A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心 解析：由條件⊥，∴P在CB的高線上，故選D. 答案：D 9.(xx湖南文，9)P是△ABC所在平面上一點，若==，則P是△ABC的（ ） A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心 解析：由=得（-）=0，即=0， ∴P在CA的高線上，同理可得P也在AB的高線上，故P為△ABC的垂心. 答案：D 拓展探究 10.已知△ABC的面積為14 cm2,D、F分別為邊AB、BC上的點，且AD∶DB=BE∶EC=2∶1，求△APC的面積. 思路分析：考查靈活利用平面向量基本定理和向量共線的等價條件.可用基本定理和共線條件求出點P的位置后用比例關(guān)系計算面積，也可用坐標工具來進行上述運算. 解析：如右圖，設(shè)=a，=b為一組基底，則=a+b，=a+b. ∵點A、P、E和D、P、C分別共線， ∴存在λ和μ，使 =λ=λa+λb， =μ=μa+μb. 又∵=+=(+μ)a+μb, ∴解得 于是，△PAB的面積=14=8（cm2）, △PBC的面積=14（1-）=2（cm2）. 故△APC的面積=14-8-2=4（cm2）. 備選習(xí)題 11.設(shè)I是△ABC的內(nèi)心，當AB=AC=5，且BC=6時，=λ+μ，則λ=_____________, μ=_____________. 解析：如右圖所示，設(shè)AI交BC于D點.∵AB=AC，∴△ABC為等腰三角形，∴D為BC的中點，∴AD⊥BC,以BC為x軸，AD為y軸建立平面直角坐標系，則A（0，4），B（-3，0），C（3，0），設(shè)I（0，y）則=（3，4），BI=（3，y），=（3，0），由∠ABI=∠IBD得. 代入坐標解得y=,∴=(0,-). 由條件(0,)=λ(-3,-4)+μ(6,0), ∴λ=,μ=. 答案： 12.證明正方形的對角線互相垂直平分. 證明：如右圖，設(shè)一組基底=a，=b，則=a+b.=a-b, ∵=(a+b)(a-b) =a2-b2=|a|2-|b|2=0， ∴⊥,即BD⊥AC. 設(shè)AC與BD交于O點， ∵與共線， ∴=λ=λ（a+b）,① 又∵與共線，∴=μ=μ（a-b）, ∵在△BOC中=+. =b+μa-μb=μa+(1-μ)b② 由①②得：解得λ==μ. ∴AC與BD互相平分. 綜上，正方形的對角線垂直且互相平分. 13.利用平面向量證明：順次連結(jié)菱形四邊中點的四邊形是矩形. 證明：如右圖，設(shè)E、F、G、H分別是菱形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點，則=+=（+）=，= +=（+）=. ∴=,∴EFHG,故有EFGH.① ∵=+=（+）=（-）， ∴=（+）（-） =（||2-||2）=0， ∴⊥.② 由①②知，EFGH是矩形. 14.經(jīng)過△OAB重心G的直線與OA、OB分別交于P、Q兩點，若=m，=n，求證：=3. 證明：∵如右圖所示，點G是△OAB的重心， ∴=(+) ∴=- =(+)-m=(-m)+, 由于P、G、Q三點共線，則存在實數(shù)λ,使=λ=λ［（-m）+］ 又∵=-=n-m 即n-m=λ［（-m）+］ =λ（-m）+λ， ∴消去λ，得 15.已知ABCD是邊長為6的正方形，E為AB的中點，點F在邊BC上，且BF∶FC=2∶1，AF與EC相交于點P.求四邊形APCD的面積. 解：建如右圖坐標系,則有A（0,0）,B(6,0),C(6,6),D(0,6). ∴F(6,4),E(3,0). 設(shè)P（x,y）則有=（x,y）,=(6,4),=(x-3,y),=(3,6),由∥，∥, 得解得 ∴S=ADx+CD(6-y)=. ∴四邊形的面積為.