2019-2020年高中數(shù)學(xué)第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.1導(dǎo)數(shù)的概念1.1.1導(dǎo)數(shù)的概念平均變化率教學(xué)案蘇教版選修2.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué)第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.1導(dǎo)數(shù)的概念1.1.1導(dǎo)數(shù)的概念平均變化率教學(xué)案蘇教版選修2 假設(shè)下圖是一座山的剖面示意圖,并在上面建立平面直角坐標(biāo)系.A是出發(fā)點(diǎn),H是山頂.爬山路線用函數(shù)y=f(x)表示. 自變量x表示某旅游者的水平位置,函數(shù)值y=f(x)表示此時(shí)旅游者所在的高度.設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0,y0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x1,y1). 問(wèn)題1:若旅游者從A點(diǎn)爬到B點(diǎn),則自變量x和函數(shù)值y的改變量Δx,Δy分別是多少? 提示:Δx=x1-x0,Δy=y(tǒng)1-y0. 問(wèn)題2:如何用Δx和Δy來(lái)刻畫山路的陡峭程度? 提示:對(duì)于山坡AB,可用來(lái)近似刻畫山路的陡峭程度. 問(wèn)題3:試想=的幾何意義是什么? 提示:=表示直線AB的斜率. 問(wèn)題4:從A到B,從A到C,兩者的相同嗎?的值與山路的陡峭程度有什么關(guān)系? 提示:不相同.的值越大,山路越陡峭. 1.一般地,函數(shù)f(x)在區(qū)間[x1,x2]上的平均變化率為. 2.平均變化率是曲線陡峭程度的“數(shù)量化”,或者說(shuō),曲線陡峭程度是平均變化率的“視覺化”. 在函數(shù)平均變化率的定義中,應(yīng)注意以下幾點(diǎn): (1)函數(shù)在[x1,x2]上有意義; (2)在式子中,x2-x1>0,而f(x2)-f(x1)的值可正、可負(fù)、可為0. (3)在平均變化率中,當(dāng)x1取定值后,x2取不同的數(shù)值時(shí),函數(shù)的平均變化率不一定相同;同樣的,當(dāng)x2取定值后,x1取不同的數(shù)值時(shí),函數(shù)的平均變化率也不一定相同. 求函數(shù)在某區(qū)間的平均變化率 [例1] (1)求函數(shù)f(x)=3x2+2在區(qū)間[2,2.1]上的平均變化率; (2)求函數(shù)g(x)=3x-2在區(qū)間[-2,-1]上的平均變化率. [思路點(diǎn)撥] 求出所給區(qū)間內(nèi)自變量的改變量及函數(shù)值的改變量,從而求出平均變化率. [精解詳析] (1)函數(shù)f(x)=3x2+2在區(qū)間[2,2.1]上的平均變化率為: ==12.3. (2)函數(shù)g(x)=3x-2在區(qū)間[-2,-1]上的平均變化率為= ==3. [一點(diǎn)通] 求函數(shù)平均變化率的步驟為: 第一步:求自變量的改變量x2-x1; 第二步:求函數(shù)值的改變量f(x2)-f(x1); 第三步:求平均變化率. 1.函數(shù)g(x)=-3x在[2,4]上的平均變化率是________. 解析:函數(shù)g(x)=-3x在[2,4]上的平均變化率為===-3. 答案:-3 2.如圖是函數(shù)y=f(x)的圖象,則: (1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上的平均變化率為________; (2)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上的平均變化率為________. 解析:(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上的平均變化率為==. (2)由函數(shù)f(x)的圖象知,f(x)= 所以,函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上的平均變化率為==. 答案::(1) (2) 3.本例條件不變,分別計(jì)算f(x)與g(x)在區(qū)間[1,2]上的平均變化率,并比較變化率的大?。? 解:(1)==9. (2)==3. f(x)比g(x)在[1,2]上的平均變化率大. 實(shí)際問(wèn)題中的平均變化率 [例2] 物體的運(yùn)動(dòng)方程為S=(位移單位:m;時(shí)間單位:s),求物體在t=1 s到t=(1+Δt)s這段時(shí)間內(nèi)的平均速度. [思路點(diǎn)撥] 求物體在某段時(shí)間內(nèi)的平均速度,就是求位移的改變量與時(shí)間的改變量的比值. [精解詳析] 物體在[1,1+Δt]內(nèi)的平均速度為 = == =(m/s). 即物體在t=1 s到t=(1+Δt)s這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為 m/s. [一點(diǎn)通] 平均變化率問(wèn)題在生活中隨處可見,常見的有求某段時(shí)間內(nèi)的平均速度、加速度、膨脹率、經(jīng)濟(jì)效益等.分清自變量和因變量是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵. 4.圓的半徑r從0.1變化到0.3時(shí),圓的面積S的平均變化率為________. 解析:∵S=πr2,∴圓的半徑r從0.1變化到0.3時(shí), 圓的面積S的平均變化率為 ==0.4π. 答案:0.4π 5.在F1賽車中,賽車位移(單位:m)與比賽時(shí)間t(單位:s)存在函數(shù)關(guān)系S=10t+5t2,則賽車在[20,20.1]上的平均速度是多少? 解:賽車在[20,20.1]上的平均速度為===210.5(m/s). 函數(shù)平均變化率的應(yīng)用 [例3] 甲、乙兩人走過(guò)的路程s1(t),s2(t)與時(shí)間t的關(guān)系如圖所示,試比較兩人的速度哪個(gè)大? [思路點(diǎn)撥] 要比較兩人的速度,其實(shí)就是比較兩人走過(guò)的路程對(duì)時(shí)間的平均變化率,通過(guò)平均變化率的大小關(guān)系得出結(jié)論. [精解詳析] 在t0處s1(t0)=s2(t0), 但<, 所以在單位時(shí)間內(nèi)乙的速度比甲的速度大,因此,在如圖所示的整個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)中乙的速度比甲的速度大. [一點(diǎn)通] 平均變化率的絕對(duì)值反映函數(shù)在給定區(qū)間上變化的快慢,平均變化率的絕對(duì)值越大,函數(shù)在區(qū)間上的變化率越快;平均變化率的絕對(duì)值越小,函數(shù)在區(qū)間上的變化率越慢. 6.汽車行駛的路程s和時(shí)間t之間的函數(shù)圖象如圖所示.在時(shí)間段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分別為,,,則三者的大小關(guān)系是________. 解析:==kOA, ==kAB, ==kBC, 由圖象知:kOA- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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