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復習：,單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換,Fourier變換與逆變換的性質,7.1.3單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換,在物理和工程技術中, 常常會碰到單位脈沖函數(shù). 因為有許多物理現(xiàn)象具有脈沖性質, 如在電學中, 要研究線性電路受具有脈沖性質的電勢作用后產(chǎn)生的電流; 在力學中, 要研究機械系統(tǒng)受沖擊力作用后的運動情況等. 研究此類問題就會產(chǎn)生我們要介紹的單位脈沖函數(shù).,在原來電流為零的電路中, 某一瞬時(設為t=0)進入一單位電量的脈沖, 現(xiàn)在要確定電路上的電流i(t). 以q(t)表示上述電路中的電荷函數(shù), 則,當t?0時, i(t)=0, 由于q(t)是不連續(xù)的, 從而在普通導數(shù)意義下, q(t)在這一點是不能求導數(shù)的.,如果我們形式地計算這個導數(shù), 則得,這表明在通常意義下的函數(shù)類中找不到一個函數(shù)能夠表示這樣的電流強度. 為了確定這樣的電流強度, 引進一稱為狄拉克(Dirac)的函數(shù), 簡單記成d-函數(shù):,有了這種函數(shù), 對于許多集中于一點或一瞬時的量, 例如點電荷, 點熱源, 集中于一點的質量及脈沖技術中的非常窄的脈沖等, 就能夠象處理連續(xù)分布的量那樣, 以統(tǒng)一的方式加以解決.,,工程上將d-函數(shù)稱為單位脈沖函數(shù)。,可將d-函數(shù)用一個長度等于1的有向線段表示, 這個線段的長度表示d-函數(shù)的積分值.,d-函數(shù)有性質：,二、d-函數(shù)的傅氏變換為:,于是d (t)與常數(shù)1構成了一傅氏變換對.,證法2：若F(w)=2pd (w), 由傅氏逆變換可得,例1 證明：1和2pd (w)構成傅氏變換對.,證法1：,由上面兩個函數(shù)的變換可得,稱這種方式的 Fourier 變換是一種廣義的Fourier變換。,性質直接給出的，而不是通過通常的積分方式得出來的，,例如常數(shù), 符號函數(shù), 單位階躍函數(shù)以及正, 余弦函數(shù)等, 然而它們的廣義傅氏變換也是存在的, 利用單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換就可以求出它們的傅氏變換.,在物理學和工程技術中, 有許多重要函數(shù)不滿足傅氏積分定理中的絕對可積條件, 即不滿足條件,例4 求正弦函數(shù)f (t)=sinw0t的傅氏變換。,例 5 證明：,證：,,7.2 Fourier變換與逆變換的性質,這一講介紹傅氏變換的幾個重要性質, 為了敘述方便起見, 假定在這些性質中, 凡是需要求傅氏變換的函數(shù)都滿足傅氏積分定理中的條件, 在證明這些性質時, 不再重述這些條件.,1.線性性質:,2. 位移性質:,證明：,推論：,證明：,例1,解：,3. 相似性：,證明：,4.微分性：,5.積分性：,,,6. 帕塞瓦爾(Parserval)等式,實際上, 只要知道下面五個傅里葉變換, 則很多傅里葉變換都無須用公式直接計算而可由傅里葉變換的性質導出.,例2 利用傅氏變換的性質求d (t-t0),,例3 若 f (t)=cosw0t ? u(t), 求其傅氏變換。,卷積定義：,卷積的基本運算規(guī)律：,一、卷積的定義及運算規(guī)律,說明：,例1 求下列函數(shù)的卷積：,解：,,例1 求下列函數(shù)的卷積：,由卷積的定義有,,二、卷積定理：,（可用于化簡卷積運算和傅氏變換）,例2 求 的傅氏變換。,,,作 業(yè),習題十四 1 2 3 4 6,