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2019-2020年高中數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí) 第十章10.5 二項(xiàng)式定理教案 新人教A版 鞏固夯實(shí)基礎(chǔ) 一、自主梳理 1.二項(xiàng)式定理 (a+b)n=C0nan+C1nan-1b+C2nan-2b2+…+Crnan-rbr+…+Cn-1nabn-1+Cnnbn. 2.通項(xiàng)公式 Tr+1=Crnan-rbr(r=0,1,2,…,n). 3.展開(kāi)式的特點(diǎn):項(xiàng)數(shù)(共有n+1項(xiàng));系數(shù)(第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為Crn);指數(shù)(每一項(xiàng)a、b的指數(shù)之和都等于n;a的指數(shù)從n開(kāi)始依次減1,直到0為止;b的指數(shù)從0開(kāi)始依次加1,直到n為止). 4.Crn=Cn-rn,Cmn+Cm-1n=Cmn+1,C0n+C1n+C2n+…+Cnn=2n,C0n+C2n+C4n+…=C1n+C3n+C5n+…=2n-1. 5.若n是偶數(shù),則中間項(xiàng)第+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大;若n是奇數(shù),則中間兩項(xiàng)第項(xiàng)和第+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大. 二、點(diǎn)擊雙基 1.(+)12的展開(kāi)式中,含x的正整數(shù)次冪的項(xiàng)共有( ) A.4項(xiàng) B.3項(xiàng) C.2項(xiàng) D.1項(xiàng) 解析:設(shè)第r+1項(xiàng)含x的正整數(shù)次冪, ∴Tr+1=Cr12()12-r()r=Cr12,其中0≤r≤12.要使6-r為正整數(shù),必須使r為6的倍數(shù). ∴r=0,6,12. 答案:B 2.在(x-1)(x+1)8的展開(kāi)式中x5的系數(shù)是( ) A.-14 B.14 C.-28 D.28 解析:由題意知先求出(x+1)8展開(kāi)式中x4、x5的系數(shù)分別為C48=70,C58=C38=56,注意第一個(gè)因式為(x-1),則題中x5的系數(shù)為70-56=14. 答案:B 3.在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展開(kāi)式中,含x3的項(xiàng)的系數(shù)是( ) A.74 B.121 C.-74 D.-121 解析:x3項(xiàng)的系數(shù)為-(C35+C36+C37+C38)=-121. 答案:D 4. (2-)6展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是______________.(用數(shù)字作答) 解析:設(shè)r+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),則Tr+1=Cr6(2)6-r(-x-1)r=Cr626-r(-1)r. 令3-r=0,r=2. ∴常數(shù)項(xiàng)為C2624(-1)2=240. 答案:240 5.在(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)6展開(kāi)式中,x2項(xiàng)的系數(shù)是____________________.(用數(shù)字作答) 解析:由題意知有C22+C23+C24+C25+C26=C33+C23+C24+C25+C26=C37==35. 答案:35 誘思實(shí)例點(diǎn)撥 【例1】 在(-)8的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是( ) A.-28 B.-7 C.7 D.28 剖析:利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,令x的指數(shù)為0,求得r的值. 解:Tr+1=(-1)rCr8()8-r=(-1)rCr82r-8令8-r=0,得r=6. ∴T7=T6+1=C6826-8=C282-2=7. 答案:C 講評(píng):求指定項(xiàng)(常數(shù)項(xiàng)、中間項(xiàng)、最大項(xiàng)、有理項(xiàng)等)的關(guān)鍵在于通項(xiàng)變形,列出條件關(guān)系式, 像本題在(-)8的展開(kāi)式中,a=,b=-,通項(xiàng)公式為 Tr+1=Cr8()8-r(-)r,r=0,1,2,…,8.對(duì)通項(xiàng)變形、整理為關(guān)于x的單項(xiàng)式,從而求解. 【例2】在(x2+3x+2)5的展開(kāi)式中,x的系數(shù)是…( ) A.160 B.240 C.360 D.800 剖析:將三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式求解,有兩條途徑: (1)x2+3x+2=(x2+3x)+2; (2)(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5. 解:(x2+3x+2)5=［(x2+3x)+2］5,通項(xiàng)為Ck5(x2+3x)5-k2k(0≤k≤5). 該通項(xiàng)的通項(xiàng)為Ck52kCr5-k3rx10-2k-r(0≤r≤5-k). 令10-2k-r=1,即2k+r=9. ∴r=1,k=4. ∴x的系數(shù)為C45243=240. 答案:B 講評(píng):此解法是把三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式求解,這是處理非二項(xiàng)式的一般方法. 鏈接提示 此題也可以從以下兩個(gè)角度來(lái)思考: 1.也可把三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)二項(xiàng)式乘積來(lái)求解:(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5,其x的系數(shù)為C4514C5525+C5515C4524. 2.(x2+3x+2)5是五個(gè)三項(xiàng)式相乘,從其中1個(gè)三項(xiàng)式中取3x,從另外4個(gè)三項(xiàng)式中取常數(shù)項(xiàng),相乘即得x的一次項(xiàng). 【例3】設(shè)(2x-1)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,求: (1)a0+a1+a2+a3+a4; (2)|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|; (3)a1+a3+a5; (4)(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2. 剖析:(2x-1)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5為關(guān)于x的恒等式,求系數(shù)和的問(wèn)題可用賦值法解決. 解:設(shè)f(x)=(2x-1)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,則f(1)=a0+a1+a2+…+a5=1, f(-1)=a0-a1+a2-a3+a4-a5=(-3)5=-243. (1)∵a5=25=32, ∴a0+a1+a2+a3+a4=f(1)-32=-31. (2)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|=-a0+a1-a2+a3-a4+a5=-f(-1)=243. (3)∵f(1)-f(-1)=2(a1+a3+a5), ∴a1+a3+a5==122. (4)(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2 =(a0+a1+a2+a3+a4+a5)(a0-a1+a2-a3+a4-a5)=f(1)f(-1)=243. 講評(píng):本題是關(guān)于二項(xiàng)展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)的常見(jiàn)問(wèn)題,應(yīng)掌握f(shuō)(1)及f(-1)的含義,其中借助f(1)求各項(xiàng)系數(shù)之和是最常用的辦法.