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2019-2020年高中數(shù)學 2.2.2 直線與圓的位置關系教案 新人教版必修2 教學目標： 1．依據(jù)直線和圓的方程，能熟練求出它們的交點坐標 2．能通過比較圓心到直線的距離和半徑之間的大小關系判斷直線和圓的位置關系 3．理解直線和圓的三種位置關系與相應的直線和圓的方程所組成的二元二次方程組的解的對應關系 4．會初步處理直線與圓相交時所得的弦長有關的問題，滲透方程思想，鞏固基本量的求法 教學重點： 依據(jù)直線和圓的方程，求它們的交點坐標，理解直線和圓的三種位置關系與相應的直線和圓的方程所組成的二元二次方程組的解的對應關系 教學難點： 直線與圓相交時所得的弦長有關的問題 教學過程： 1．問題情境 (1)情境：圓心到直線的距離決定直線與圓的位置關系，那么已知圓和直線，，． (2)問題：判斷該圓與三條直線的位置關系． 2．直線與圓的方程分別為：． 如果直線與圓有公共點，由于公共點同時在和上，所以公共點的坐標一定是這兩個方程的公共解；反之，如果這兩個方程有公共解，那么以公共解為坐標的點必是與的公共點． 由與的方程聯(lián)立方程組我們有如下結(jié)論： 位置關系： 相離 相切 相交 方程組無解 方程組僅有一組解 方程組有兩組不同的解 3．例題講解 例1．求直線和圓的公共點坐標，并判斷它們的位置關系． 解： 直線和圓的公共點坐標就是方程組的解． 解這個方程組，得，所以公共點坐標為． 所以，直線和圓有兩個公共點，即直線和圓相交． 例2．自點作圓的切線,求切線的方程． 解法1：當直線垂直于軸時，直線與圓相離，不滿足條件， 當直線不垂直于軸時，可設直線的方程為 即， 如圖，因為直線與圓相切， 所以圓心到直線的距離等于圓的半徑， 故解得或． 因此，所求直線的方程是或 解法2：當直線垂直于軸時，直線與圓相離，不滿足條件． 當直線不垂直于軸時，可設直線的方程為由于直線與圓相切，所以方程組僅有一組解． 由方程組消去，得關于的一元二次方程， 因為一元二次方程有兩個相等實根， 所以判別式，解得或， 因此，所求直線的方程是或． 結(jié)論：相離；相切；相離． 變式：(1)當點的坐標為時，切線的方程． (2)當點的坐標為，切線的方程． 解：(1)由題意得：在圓上 所以直線的方程為，因為與切線垂直，所以切線的方程為 說明：求圓的切線方程首先應判斷點是否在圓上． (2)由題意：當直線垂直于軸時，直線與圓相切，滿足條件． 當直線不垂直于軸時，可設直線的方程為，即， ， ，經(jīng)檢驗． 練習：已知圓，直線， (1)為何值時與圓相切，并求出切點坐標； (2)為何值時與圓相交，并求出弦長． 解答見《蘇大教學與測試例1》 例3．求直線被圓截得的弦長． 解法1：，解得，， 即公共點坐標為， 則弦長為． 解法2：如圖，設直線與 圓交于兩點，弦的中點為， 則(為坐標原點)，所以 所以． 例4．已知圓：，直線：， (1)證明：不論取什么實數(shù)，直線與圓恒交于兩點； (2)求直線被圓截得的弦長最小時的方程． 分析：若直線和圓相交，則圓心到直線的距離小于半徑；若直線過圓內(nèi)一點，則直線和圓相交，涉及相交弦問題，要注意運用弦長，半徑及弦心距三者之間的關系． 解：(1)由題意直線方程可變形為 ，，∴直線必過定點， 又，∴點在圓內(nèi)，故必與圓相交． (2)要使弦長最小時，必須 ∵圓心和定點所在的直線的斜率，∴的斜率， 所以，直線的方程為． 例5．已知圓，是否存在斜率為的直線，使以被圓截得的弦為直徑經(jīng)過原點？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由． 解答見《蘇大教學與測試例2》 4．課堂小結(jié) (1)直線和圓的三種位置關系與圓心到直線的距離和半徑之間的大小關系的對應關系 (2)直線和圓的三種位置關系與相應的直線和圓的方程所組成的二元二次方程組的解的對應關系 (3)相交弦問題，要注意運用弦長，半徑及弦心距三者之間的關系