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2019-2020年高三數(shù)學(xué)二輪資料 函數(shù)教案 蘇教版 一、填空題： 1. 在區(qū)間[, 2]上，函數(shù)f (x) = x2-px+q與g (x) = 2x + 在同一點(diǎn)取得相同的最小值， 那么f (x)在[,2]上的最大值是 4 ． 2.設(shè)函數(shù)f (x)= ，若f (-4) = f (0)，f(-2)= -2，則關(guān)于x的方程f(x) =x 的解的個(gè)數(shù)為 3 . 3.函數(shù)是單調(diào)函數(shù)的充要條件的是 b≥0 . 4. 對(duì)于二次函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)至少存在一個(gè)數(shù)c 使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 (-3,1.5) . 5.已知方程的兩根為，并且，則的取值范 圍是. 6．若函數(shù)f (x) = x2+(a+2)x+3，x∈[a, b]的圖象關(guān)于直線x = 1對(duì)稱，則b = 6 . 7．若不等式x4+2x2+a2-a -2≥0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 8．已知函數(shù)f (x) =|x2-2ax+b| (x∈R)，給出下列命題：①f (x)必是偶函數(shù)；②當(dāng)f (0) = f (2)時(shí)，f (x)的圖象必關(guān)于直線x = 1對(duì)稱；③若a2-b≤0，則f (x)在區(qū)間[a, +∞)上是增函數(shù)；④f (x)有最大值|a2 -b|；其中正確命題的序號(hào)是 ③ . 9.已知二次函數(shù)，滿足條件，其圖象的頂點(diǎn)為A，又圖象與軸交于點(diǎn)B、C，其中B點(diǎn)的坐標(biāo)為，的面積S=54，試確定這個(gè)二次函數(shù)的解析式. 10. 已知為常數(shù)，若，則 2 . 11. 已知函數(shù)若存在實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為 4 . 12.設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是. 13.設(shè),是二次函數(shù)，若的值域是，則的值域 是； 14.函數(shù)的最小值為. 二、解答題： 15．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒有，求m的取值范圍． 思路點(diǎn)撥:此題為動(dòng)軸定區(qū)間問(wèn)題,需對(duì)對(duì)稱軸進(jìn)行討論. 解: 當(dāng)即時(shí), 當(dāng)即時(shí),. 綜上得:或. 點(diǎn)評(píng):分類討論要做到不漏掉任何情況,尤其是端點(diǎn)處的數(shù)值不可忽視.最后結(jié)果要取并集. 變式訓(xùn)練: 已知,當(dāng) 時(shí),的最小值為,求的值. 解: ，. 當(dāng)時(shí)，． 當(dāng)時(shí)，． 16．設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x) = x2+|x-a|+1，x∈R， （1）討論函數(shù)f (x)的奇偶性； （2）求函數(shù)f (x)的最小值． 思路點(diǎn)撥:去絕對(duì)值,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成研究分段函數(shù)的性質(zhì). 解:(1)當(dāng)時(shí), ,函數(shù)為偶函數(shù); 當(dāng)時(shí),， 此時(shí)函數(shù)為非奇非偶函數(shù); (2)= 當(dāng)時(shí),, 此時(shí),; 當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), 點(diǎn)評(píng):把握每段函數(shù),同時(shí)綜觀函數(shù)整體特點(diǎn),是解決本題的關(guān)鍵. 17. 已知的圖象過(guò)點(diǎn)（-1，0），是否存在常數(shù)a，b，c，使得不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立. 思路點(diǎn)撥:本題為不等式恒成立時(shí)探尋參數(shù)的取值問(wèn)題. 解:當(dāng)時(shí)，, 又可得；由對(duì)一切實(shí)數(shù)X都成立， 則 于是又，,此時(shí). 綜上可得,存在,使得不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)X都成立. 點(diǎn)評(píng): 挖掘不等式中隱含的特殊值,得到以及是解題關(guān)鍵. 變式訓(xùn)練：設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)（都是整數(shù)）且. （1）求的值；（2）當(dāng)?shù)膯握{(diào)性如何？用單調(diào)性定義證明你的結(jié)論. 略解(1).(2) 當(dāng)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減. 18. 已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)，如果函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，求a的取值范圍. 解析1：函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上有零點(diǎn)，即方程=0在[-1，1]上有解. a=0時(shí)，不符合題意，所以a≠0,方程f(x)=0在[-1，1]上有解<=>或 或或或a≥1. 所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是或a≥1. 點(diǎn)評(píng)：通過(guò)數(shù)形結(jié)合來(lái)解決一元二次方程根的分布問(wèn)題. 解析2：a=0時(shí)，不符合題意，所以a≠0,又 ∴=0在[-1，1]上有解，在[-1，1]上有解在[-1，1]上有解，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)[-1，1]上的值域；設(shè)t=3-2x，x∈[-1，1]，則，t∈[1,5],， 設(shè)，時(shí)，，此函數(shù)g(t)單調(diào)遞減，時(shí)，>0,此函數(shù)g(t)單調(diào)遞增，∴y的取值范圍是，∴=0在[-1，1]上有解∈或. 點(diǎn)評(píng): 將原題中的方程化成的形式, 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)[-1，1]上的 值域的問(wèn)題,是解析2的思路走向. 變式訓(xùn)練:設(shè)全集為R，集合，集合關(guān)于x的方程的根一個(gè)在（0，1）上，另一個(gè)在（1，2）上}. 求( )∩( )． 解：由,， 即 ,∴?。? 又關(guān)于x的方程 的根一個(gè)在（0，1）上，另一個(gè)在（1，2）上， 設(shè)函數(shù)，則滿足 ，∴． ∴　 ∴( )∩( )． 19.設(shè)函數(shù)f(x)=其中a為實(shí)數(shù). (Ⅰ)若f(x)的定義域?yàn)镽,求a的取值范圍； (Ⅱ)當(dāng)f(x)的定義域?yàn)镽時(shí)，求f(x)的單減區(qū)間. 解：（1）由題意知，恒成立，； （2），令得；由得或 又，時(shí)，由得； 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由得， 即當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為； 當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為． 變式訓(xùn)練：已知函數(shù)函數(shù)的最小值為. （Ⅰ）求；（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)m，n同時(shí)滿足下列條件：①m>n>3；②當(dāng)?shù)亩x域?yàn)閇n，m]時(shí)，值域?yàn)閇n2，m2]？ 若存在，求出m，n的值；若不存在，說(shuō)明理由． 解：（Ⅰ）∵ 設(shè) 當(dāng)時(shí)； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng) ∴ （Ⅱ）∵m>n>3， ∴上是減函數(shù). ∵的定義域?yàn)閇n，m]；值域?yàn)閇n2，m2]， ∴ 可得 ∵m>n>3， ∴m+n=6，但這與“m>n>3”矛盾. ∴滿足題意的m，n不存在． 20.已知函數(shù)，是方程f(x)=0的兩個(gè)根，是f(x)的導(dǎo)數(shù)；設(shè)，（n=1,2,……） （1）求的值；（2）（理做）證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，都有>； （3）記（n=1,2,……），求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn . 思路點(diǎn)撥:本題考察數(shù)列的綜合知識(shí),將遞推數(shù)列與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)有機(jī)地結(jié)合，加大了題目的綜合力度. 解：（1）由求根公式，及得方程兩根為. (2)要證需證. . 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明: ①當(dāng)時(shí),,命題成立； ②假設(shè)時(shí)命題成立,即,． 則當(dāng)時(shí),,命題成立. 根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法可知,對(duì)任意的正整數(shù)都有成立. (3)由已知和(2),, 所以. 點(diǎn)評(píng):本題考察了求根公式及數(shù)學(xué)歸納法等數(shù)學(xué)方法的同時(shí)，也考察了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想, 即將已知數(shù)列轉(zhuǎn)化成等比數(shù)列，本題對(duì)變形和運(yùn)算要求較高. 補(bǔ)充:函數(shù)有如下性質(zhì)：①函數(shù)是奇函數(shù)；②函數(shù)在上 是減函數(shù)，在上是增函數(shù). （1）如果函數(shù)（x>0）的值域是，求b的值； （2）判斷函數(shù)（常數(shù)c>0）在定義域內(nèi)的奇偶性和單調(diào)性，并加以證明； （3）對(duì)函數(shù)（常數(shù)c>0）分別作出推廣，使它們是你推廣的函數(shù)的特例.判斷推廣后的函數(shù)的單調(diào)性（只需寫(xiě)出結(jié)論，不要證明）. 解:（1）因?yàn)? （2）設(shè) 故函數(shù)為偶函數(shù). 設(shè) 函數(shù)在上是增函數(shù)； 當(dāng)0 則為減函數(shù)，設(shè) 則是偶函數(shù)， 所以 所以函數(shù)上是減函數(shù)， 同理可證，函數(shù)上是增函數(shù). （3）可以推廣為研究函數(shù)的單調(diào)性. 當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，函數(shù)上是增函數(shù)， 在上是減函數(shù)； 當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，函數(shù)上是增函數(shù)， 在上是減函數(shù)． 2．指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù) 考點(diǎn)要求：1．指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)是高考經(jīng)常考查的內(nèi)容，易與其他知識(shí)相結(jié)合，是知識(shí)的交匯點(diǎn)，便于考查基礎(chǔ)知識(shí)和能力，是高考命題的重點(diǎn)之一； 2．應(yīng)加深對(duì)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象、單調(diào)性、奇偶性的研究；特別注意用導(dǎo)數(shù)研究由它們構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)或較復(fù)雜函數(shù)性質(zhì)。注意在小綜合題中提高對(duì)函數(shù)思想的認(rèn)識(shí)． 3．能熟練地對(duì)指數(shù)型函數(shù)與對(duì)數(shù)型函數(shù)進(jìn)行研究。 一、 填空題： 1．已知，則實(shí)數(shù)m的值為． 2．設(shè)正數(shù)x,y滿足,則x+y的取值范圍是． 3．函數(shù)f(x)=a+log(x+1)在[0，1]上的最大值與最小值之和為 a，則a的值為． 4．設(shè)則． 5．設(shè)a＞1且,則的大小關(guān)系為m>p>n ． 6．已知在上是增函數(shù)， 則的取值范圍是 ． 7．已知命題p:在上有意義，命題Q：函數(shù) 的定義域?yàn)镽．如果和Q有且僅有一個(gè)正確，則的取值范圍． 8．對(duì)任意的實(shí)數(shù)a,b 定義運(yùn)算如下，則函數(shù) 的值域． 9．是偶函數(shù)則方程的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 2 ． 10．設(shè)函數(shù)f(x)=lg(x+ax-a-1),給出下述命題：⑴f(x)有最小值；⑵當(dāng)a= 0時(shí)，f(x)的值域?yàn)镽；⑶當(dāng)a=0時(shí)，f(x)為偶函數(shù)；⑷若f(x)在區(qū)間［2，+)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取范圍是a≥-4．則其中正確命題的序號(hào)（2）（3）（4） ． 11．將下面不完整的命題補(bǔ)充完整，并使之成為一個(gè)真命題：若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，則函數(shù)的解析式是（填上你認(rèn)為可以成為真命題的一種情形即可）． 12．已知函數(shù)滿足：，，則 16 ． 13．定義域?yàn)镽的函數(shù)有5 不同實(shí)數(shù)解 則=． 14．已知函數(shù)，當(dāng)a1時(shí)，恒有． （Ⅰ）解：根據(jù)求導(dǎo)法則有， 故， 于是， 列表如下： 2 0 極小值 故知在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)，所以，在處取得極小值． （Ⅱ）證明：由知，的極小值． 于是由上表知，對(duì)一切，恒有． 從而當(dāng)時(shí)，恒有，故在內(nèi)單調(diào)增加． 所以當(dāng)時(shí)，，即． 故當(dāng)時(shí)，恒有． 反思：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和證明不等式的方法是新課改一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容也是考試的熱點(diǎn)。 變式：已知函數(shù)若，且對(duì)于任意，恒成立，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍； 由可知是偶函數(shù)． 于是對(duì)任意成立等價(jià)于對(duì)任意成立． 由得． ①當(dāng)時(shí)，． 此時(shí)在上單調(diào)遞增．故，符合題意． ②當(dāng)時(shí)，． 當(dāng)變化時(shí)的變化情況如下表： 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增 由此可得，在上，． 依題意，，又． 綜合①，②得，實(shí)數(shù)的取值范圍是． 17．已知函數(shù)的定義域恰為（0，+），是否存在這樣的a,b，使得f(x)恰在（1，+）上取正值，且f(3)=lg4？若存在，求出a,b的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 點(diǎn)撥：要求a,b的值即先求k的值。利用定義域恰為（0，+）建立k的關(guān)系式，顯性f(x)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵. 解∵ a–kb>0，即 ()>k．又 a>1>b>0，∴ >1 ∴ x>logk為其定義域滿足的 條件，又∵函數(shù)f (x) 的定義域恰為(0,+) ， ∴l(xiāng)ogk =0， ∴k=1． ∴f (x)=lg(a–b)． 若存在適合條件的a，b則f (3)=lg(a–b)= lg4且lg(a–b)>0 對(duì)x>1恒成立， 又由題意可知f (x)在(1,+)上單調(diào)遞增． ∴x>1時(shí)f (x) > f (1) ，由題意可知f (1)=0 即a–b=1 又a–b=4 注意到a>1>b>0，解得a=,b=． ∴存在這樣的a，b滿足題意． 變式：（1）函數(shù)且a,b為常數(shù)在（1，+）有意義,求實(shí)數(shù)k的取值范圍； （2）設(shè)函數(shù)其中a為常數(shù)且f(3)=1討論函數(shù)f(x)的圖象是否是軸對(duì)稱圖形？并說(shuō)明理由． 18．定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(x)滿足f(3)=log3，且對(duì)任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)． (1)求證f(x)為奇函數(shù)； (2)若f(k3)+f(3-9-2)＜0對(duì)任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍． 點(diǎn)撥：欲證f(x)為奇函數(shù)即要證對(duì)任意x都有f(-x)=-f(x)成立．在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的問(wèn)題，求f(0)的值．令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函數(shù)得到證明． (1)證明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)，　　　　　　　　　　　　 ① 令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0． 令y=-x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，則有 0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)對(duì)任意x∈R成立，所以f(x)是奇函數(shù)． (2)解：f(3)=log3＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是單調(diào)函數(shù)，所以f(x)在R上是增函數(shù)，又由(1)f(x)是奇函數(shù)． f(k3)＜-f(3-9-2)=f(-3+9+2)， k3＜-3+9+2， 3-(1+k)3+2＞0對(duì)任意x∈R成立． 令t=3＞0，問(wèn)題等價(jià)于t-(1+k)t+2＞0對(duì)任意t＞0恒成立． 令f(t)= ,　其對(duì)稱軸． 當(dāng)即時(shí)，，符合題意； 當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，恒成立 解得． 綜上所述，當(dāng)時(shí)f(k3)+f(3-9-2)＜0對(duì)任意x∈R恒成立． 反思：?jiǎn)栴}(2)的上述解法是根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)．f(x)是奇函數(shù)且在x∈R上是增函數(shù)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)f(t)= t-(1+k)t+2對(duì)于任意t ＞0恒成立．對(duì)二次函數(shù)f(t)進(jìn)行研究求解．本題還有更簡(jiǎn)捷的解法：分離系數(shù)由k3＜-3+9+2得． ，即u的最小值為要使對(duì)不等式恒成立，只要使 k<即可． 變式：函數(shù)與圖象的唯一交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)， 不等式恒成立,求t的取值范圍．（） 19．在xOy平面上有一點(diǎn)列P1(a1,b1)，P2(a2,b2)，…，Pn(an,bn)，…，對(duì)每個(gè)正整數(shù)n點(diǎn)Pn位于函數(shù)y=xx()x(0bn+1>bn+2．則以 bn,bn+1,bn+2為邊長(zhǎng)能構(gòu)成一個(gè)三角形的充要條件是bn+2+bn+1>bn,即()2+()－1>0, 解得a<－5(1+)或a>5(－1)．∴5(－1)0時(shí)，因?yàn)椋瑒t由式①得， 又隨m的增大而減小，所以當(dāng)m=1時(shí)，有最大值，故 ． 3．函數(shù)性質(zhì) 1．已知函數(shù)的定義域?yàn)镸，的定義域?yàn)?，則 ． 2．若函數(shù)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)的取值范圍 [0,1] ． 3．在中，BC=2，AB+AC=3，以AB的長(zhǎng)x為自變量,BC邊上的中線AD長(zhǎng)y為函數(shù)值，則函數(shù)的定義域是 4．已知函數(shù)則F(x)的最小值為 ． 5．若函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)閇-1,3],則滿足題意的a,b構(gòu)成的點(diǎn)(a,b)所在線段的方程是或． 6．若函數(shù)其中集合A,B是實(shí)數(shù)R的子集,若,則x=． 7．已知是R上的減函數(shù),則a的取值范圍是 8．若函數(shù)的最大值與最小值分別為M,m，則M+m= 6 ． 9．若函數(shù)f(x)滿足,當(dāng)時(shí),=． 10．已知偶函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-1,0]上單調(diào)遞減,且滿足f(1-x)+f(1+x)=0給出下列判斷：①f(5)=0；②函數(shù)f(x)在[1,2]上是減函數(shù)；③f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱；④函數(shù)y=f(x)在x= 0處取得最小值．其中正確的序號(hào)是 ① ④ ． 11．若實(shí)數(shù)x滿足,則． 12．偶函數(shù)，且的解集為，是R上奇函數(shù)且的解集為，則的解集為． 13．已知定義在R上的函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且滿足，又，，則 1 ． 14．設(shè)定義域?yàn)镈，若滿足（1）在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)（2）存在使在值域?yàn)?則稱為D上的閉函數(shù).當(dāng)為閉函數(shù)時(shí)，k的范圍是． 二、解答題 15．(1)若函數(shù)的定義域、值域都是閉區(qū)間，求b的值． （2）定義兩種運(yùn)算：,試判斷的奇偶性； （3）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間． 解：（1）2；（2）奇函數(shù)；（3）（-1，1）． 16．定義域均為R的奇函數(shù)f(x)與偶函數(shù)g(x)滿足f(x)＋g(x)＝10x. （Ⅰ）求函數(shù)f(x)與g(x)的解析式； （II）證明：g(x1)＋g(x2)≥2g()； (III)試用f(x1)，f(x2)，g(x1)，g(x2)表示f(x1－x2)與g(x1＋x2)． 思路點(diǎn)撥: (1)利用函數(shù)的奇偶性建立函數(shù)方程組,解出 (2)從形式上聯(lián)想基本不等式或利用比較法可證 (3)利用(I)的結(jié)論并加以類比可得結(jié)果 解：（Ⅰ）解：∵f(x)＋g(x)＝10x ①，∴f(－x)＋g(－x)＝10－x， ∵f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)， ∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，∴－f(x)＋g(x)＝10－x ②， 由①，②解得f(x)＝(10x－)，g(x)＝(10x＋)． （II）解法一：g(x1)＋g(x2)＝(10＋)＋(10＋)＝(10＋10)＋(＋) ≥2＋2＝10＋＝2g()． 解法二：[g(x1)＋g(x2)]－2g()＝(10＋)＋(10＋)－(10＋) ＝－＝ ＝≥＝0． （III）f(x1－x2)＝f(x1)g(x2)－g(x1)f(x2)，g(x1＋x2)＝g(x1)g(x2)+f(x1)f(x2)． 回顧反思：任一函數(shù)均可表示為一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的和 17．給出定義：若（其中為整數(shù)），則叫做離實(shí)數(shù) 最近的整數(shù)，記作，即. 在此基礎(chǔ)上有函數(shù). （1）求的值； （2）對(duì)于函數(shù)，現(xiàn)給出如下一些判斷：① 函數(shù)是偶函數(shù)；② 函數(shù)是周期函數(shù)； ③ 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；④ 函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱．請(qǐng)你將以上四個(gè)判斷中正確的結(jié)論全部選擇出來(lái)，并加以證明； （3）若，試求方程的所有解的和. 思路點(diǎn)撥:(1) 準(zhǔn)確理解定義并據(jù)定義進(jìn)行運(yùn)算 (2)利用定義逐一討論函數(shù)的性質(zhì) (3)畫(huà)出函數(shù)的簡(jiǎn)圖,利用對(duì)稱性可得結(jié)論 解(1)由題設(shè)得:； (2)正確的判斷為①②④證明(略) (3)由周期為1和偶函數(shù)性質(zhì)知:方程的所有解的和為413． 反思回顧:對(duì)于函數(shù)信息題,準(zhǔn)確把握題意是解決問(wèn)題的關(guān)鍵 18．設(shè)函數(shù) （1）求證：為奇函數(shù)的充要條件是 （2）設(shè)常數(shù)＜，且對(duì)任意x，＜0恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍 思路點(diǎn)撥:(1)分清充分性和必要性加以證明； (2)將參數(shù)a分離出來(lái)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來(lái)處理． 解：（1）（充分性） 若，∴a=b=0，∴對(duì)任意的都有， ∴為奇函數(shù)，故充分性成立． （必要性）若為奇函數(shù),則對(duì)任意的都有恒成立， 即， 令x=0得b=0，令x=a得a=0，∴ （2）由＜＜0， 當(dāng)x=0時(shí)取任意實(shí)數(shù)不等式恒成立． 當(dāng)0＜x≤1時(shí),＜0恒成立，也即＜＜恒成立． 令在0＜x≤1上單調(diào)遞增，∴＞． 令，則在上單調(diào)遞減，單調(diào)遞增 當(dāng)＜時(shí)，在0＜x≤1上單調(diào)遞減； ∴＜，∴ ＜＜． 當(dāng)≤＜時(shí) ≥． ∴ ＜．∴＜ ＜． 19．已知函數(shù)f(x)=x3－3ax(a∈R)． (I)當(dāng)a=l時(shí)，求f(x)的極小值； (Ⅱ)若直線x+y+m=0對(duì)任意的m∈R都不是曲線y=f(x)的切線，求a的取值范圍； (Ⅲ)設(shè)g(x)=|f(x)|，x∈[－l，1]，求g(x)的最大值F(a)的解析式． 思路點(diǎn)撥：(1)按照求函數(shù)極值的步驟直接求解; (2)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解； (3)利用函數(shù)的性質(zhì),將g(x)的最大值表示出來(lái) 然后討論求解． 解（I）∵當(dāng)a=1時(shí)，令=0，得x=0或x=1 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)． ∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， ∴的極小值為=-2. （II）∵，∴要使直線=0對(duì)任意的總不是曲線的切線，當(dāng)且僅當(dāng)-1<-3a,∴. (III)因在[-1,1]上為偶函數(shù),故只求在 [0,1]上最大值， ① 當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增且, ∴，∴. ②當(dāng)時(shí)，． i.當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增， 此時(shí) ii. 當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào) 遞增. 10 當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞增， 在上單調(diào)遞減，故； 20當(dāng)即時(shí)， （ⅰ）當(dāng)即時(shí)， ； （ⅱ） 當(dāng)即時(shí)，． 綜上 反思回顧:(1)掌握求解函數(shù)的極 (最) 值的方法和步驟是解決問(wèn)題的突破口 (2)確定引起討論的原因,找出分類的標(biāo)準(zhǔn)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵 變式:已知，函數(shù) （Ⅰ）當(dāng)t=1時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間[0，2]的最值； （Ⅱ）若在區(qū)間[－2，2]上是單調(diào)函數(shù)，求t的取值范圍； （Ⅲ））是否存在常數(shù)t，使得任意恒成立，若存在，請(qǐng)求出t，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由. 解：(Ⅰ)，． 當(dāng)時(shí)，， （Ⅱ）是單調(diào)增函數(shù)； 由是單調(diào)減函數(shù)； （Ⅲ）是偶函數(shù)，對(duì)任意都有成立， 對(duì)任意都有成立 1由（Ⅱ）知當(dāng)或時(shí)，是定義域上的單調(diào)函數(shù)， 對(duì)任意都有成立 時(shí)，對(duì)任意都有成立． 2當(dāng)時(shí)，，由， 得．上是單調(diào)增函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)， ∴對(duì)任意都有． 時(shí)，對(duì)任意都有成立． 綜上可知，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意都有成立． 20．設(shè)函數(shù)y=f(x)定義域?yàn)镽,當(dāng)時(shí),,且對(duì)于任意的都有成立,數(shù)列滿足且． (1) 求f(0)的值,并證明函數(shù)y=f(x)在R上是減函數(shù)； (2) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (3) 是否存在正數(shù)k,使對(duì)一切都成立,若存在, 求出k的最大值,并證明；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由． 思路點(diǎn)撥:(1)解決抽象函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題常采用“賦值法”或“尋求背景函數(shù)”； （2）利用函數(shù)的單調(diào)性得出數(shù)列的遞推關(guān)系，進(jìn)而求出通項(xiàng)公式； （3）構(gòu)造函數(shù)，分離參數(shù)求出k的值． 解(1)由題意得:． 又當(dāng)故． 設(shè)則． 所以函數(shù)f(x)在R上減函數(shù)． (2)由得 又函數(shù)f(x)在R上減函數(shù),所以,易得數(shù)列的通項(xiàng)公式為 (3)若存在正數(shù)k,使成立 記 F(n)單調(diào)遞增, F(n)的最小值為F(1)= 則滿足題意的k最大值為． 反思回顧：（1）抽象函數(shù)的背景函數(shù)常見(jiàn)形式有： ①其背景函數(shù)為； ②其背景函數(shù)為； ③其背景函數(shù)為； ④其背景函數(shù)為． （2）恒成立問(wèn)題的常見(jiàn)解決方法有： ①轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值；②分離參數(shù)法；③利用基本不等式或者線性規(guī)劃；④數(shù)形結(jié)合法等． 變式一: 已知定義在R上的函數(shù)，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a，b都有，且 （1）求的值; (2)求的解析式（）. 解：（1）令a=b=1，求得, 又 ∴ （2） ∴ 令 ， ∴ ∴ 數(shù)列 是以公差d= 的等差數(shù)列 ∴ ,∴,∴． 變式二: 設(shè)函數(shù),若． (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)設(shè),求證:； (3)設(shè)關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為且,試問(wèn):是否存在正整 數(shù),使得?說(shuō)明理由 解(1)由題設(shè)得 故函數(shù)f(x)的解析式為 (2)由， 易知n=1,2時(shí)成立． 當(dāng)時(shí), = (3), 從而有或,即存在=1或2,使． 4．函數(shù)的圖象 要求：掌握繪制函數(shù)圖象的一般方法，能夠熟練掌握函數(shù)y=f(x)的圖象與y=-f(x),y=-f(-x), y=f(-x),y=f(xa),y=f(|x|),y=|f(x)|,y=af(x)圖象之間的關(guān)系．解題中要注意圖象對(duì)解題的輔助作用． 一、填空題：x y O （第2題圖） 1．已知y=f (2x+1)是偶函數(shù),則函數(shù)y=f (2x)的圖 象關(guān)于直線__ x=0.5 __對(duì)稱，函數(shù)y=f (x)的 圖象關(guān)于直線__ x=1 _對(duì)稱，函數(shù)y=f (-x+2) 與y=f (x-2)的圖象關(guān)于直線__x=2__對(duì)稱． 2．函數(shù)y=f (x)的圖象過(guò)原點(diǎn)且它的導(dǎo)函數(shù)f ‘(x) 300 600 900 30 40 50 x y O （第3題圖） 的圖象是如圖所示的一條直線，則y=f(x)圖象的 頂點(diǎn)在第 一 象限． 3．某航空公司規(guī)定，乘機(jī)所攜帶行李的重量（kg） 與其運(yùn)費(fèi)（元）由如圖的一次函數(shù)圖象確定，那 么乘客免費(fèi)可攜帶行李的最大重量為_(kāi)_20kg _． 4．下列函數(shù)中，能用二分法求零點(diǎn)的是_ (3)_ ． O x y O x y O x y （將可能的序號(hào)都填上） O x y (1) (2) (3) (4) 5．已知函數(shù)y=f (x)的圖象如圖所示，則不等式>0的解集為_(kāi)_(-2,1)__． 6．設(shè)(x)是函數(shù)f (x)的導(dǎo)函數(shù)，y=(x)的圖象如右圖所示，若f (0)=6,f (2)=2，又f(x)>a2-a對(duì)x≥0恒成立，則a的取值范圍為_(kāi)_-16300,解得; 當(dāng)30b>c,所以a>0,c<0. 所以3a-c>0,所以a+c≤0,即-b≤0,所以b≥0. (2)設(shè)f(x)= ax2+bx+c的兩根為x1,x2,因?yàn)閒(1)=a+b+c=0,所以方程f(x)=0的一個(gè)根為1,另一根為.又因?yàn)閍>0,c<0,所以<0.因?yàn)閍>b>c且b=-a-c≥0,所以a>-a-c>c,所以 ,所以2<3. (3)設(shè)f(x)=a(x-x1)(x-x2)=a(x-1)(x-).由已知f(m1)=-a或f(m2)=-a,不妨設(shè)f(m1)=-a,則 a(m1-1)(m1-)=-a<0,所以.因?yàn)閒(x) = ax2+bx+c的對(duì)稱軸為 ,所以a>b≥0,所以,所以f(x)在[1,+∞)為增函數(shù).所以f(m1+3)>f(1)=0, 所以f(m1+3)>f(1),所以f(m1+3), f(m2+3)中至少有一個(gè)數(shù)為正數(shù). 17．解答:(1),時(shí), >0,f(x)在[1,e]上單調(diào)遞增. ,. (2)設(shè)F(x)=f (x)-g(x), =x+= (1-x)(1+x+2x2)/x. 因?yàn)閤>1時(shí), <0,所以F(x)在(1,+∞)遞減,F(1)= -1/6<0，所以在(1,+∞)上F(x)<0,所以 f(x)2a, 在[a+1,a+2]上為減函數(shù). ∴,. 于是,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求不等式組 的解. 解得,又0,得(2a-1)(a-2)<0,所以. ② 當(dāng) 即時(shí),F(x)在R上是增函數(shù),無(wú)最小值,與[F(x)]min=m不符, ③當(dāng) 即a≤4時(shí),F(x)在R上是減函數(shù),無(wú)最小值,與[F(x)]min=m不符, ④當(dāng) 即a<0時(shí),F(x)<2,與最小值m>不符. 綜上所述,所求a的取值范圍是()． 5．函數(shù)綜合題 一、填空題： 1．若函數(shù)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　． 2．函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是　3?。? 3．設(shè)均為正數(shù)，且，，．則a，b，c的大小 關(guān)系是． 4．函數(shù)與函數(shù)的圖象及與所圍成的圖形面積是 __ 2 __． 5．若函數(shù)有3個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____． 6．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且，對(duì)任意，都有成立，則____0___． 7．若f(x)=在上為增函數(shù)，則a的取值范圍是__． 8．f(x)=的定義域?yàn)閇a,b]，值域?yàn)閇0,1]，若區(qū)間[a,b]的長(zhǎng)度為b-a，則b - a的最 小值為． 9．定義在R上的函數(shù)既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)，T是它的一個(gè)正周期.方程　在閉區(qū)間上的根的個(gè)數(shù)至少有 5 個(gè)． 10．已知函數(shù)，若，則與的大小關(guān)系是． 11．已知函數(shù)的圖象C上存在一定點(diǎn)P滿足：若過(guò)點(diǎn)P的直線l與曲線C 交于不同于P的兩點(diǎn)M(x1, y1)，N(x2, y2)，就恒有的定值為y0，則y0的值為-． 12．已知，直線過(guò)定點(diǎn)P，點(diǎn)Q在曲線上，則的范圍是_____________． 13．設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，若存在與x無(wú)關(guān)的正常數(shù)M，使對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，則稱f(x)為有界函數(shù)，下列函數(shù)：（1）f(x)=x2；（2） f(x)=2x；（3）f(x)= 2sinx；（4）f(x)=sinx+cosx．其中是有界函數(shù)的序號(hào)是 ③，④ ． 14．三位同學(xué)在研究函數(shù)時(shí)，分別給出下面三個(gè)命題： ①函數(shù)的值域?yàn)棰谌魟t一定有 ③若規(guī)定則對(duì)任意的恒成立，所 有正確命題的序號(hào)是 ①，②，③ ． 二、解答題： 15．解：當(dāng)時(shí)，的解集為，故； （1）當(dāng)時(shí)，而，此時(shí)拋物線開(kāi)口向上，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)且分別在y軸的兩側(cè)，此時(shí)若要求，故只需即可，解之得，； （2）當(dāng)時(shí)，而，此時(shí)拋物線開(kāi)口向下，函數(shù)兩個(gè)零點(diǎn)也分別在y軸的兩側(cè)，若要求，故只需即可，解之得，． 綜上得a的范圍是． 反思 此題解法較多，亦可以分別求出的解集，然后討論兩根的范圍，但要涉及無(wú)理不等式的求解，學(xué)生易錯(cuò)；也可以從這一特征，判斷出函數(shù)的兩零點(diǎn)分別在y軸的兩側(cè)．但上述解法抓住的值，使討論簡(jiǎn)潔明了，層次清楚，過(guò)程大簡(jiǎn)化，縮短解題過(guò)程． 變式求解 ： （xx廣東省高考第20題） 已知是實(shí)數(shù)，函數(shù)．如果函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，求的取值范圍． 分析與簡(jiǎn)解 由于二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)不能確定正負(fù)，影響拋物線開(kāi)口方向，影響對(duì)稱軸，故對(duì)函數(shù)零點(diǎn)的情況有影響，因此需對(duì)的值分類討論． （1）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的零點(diǎn)是，； （2）當(dāng)時(shí)，，故拋物線開(kāi)口向上，而此時(shí)，， ∴若要使在區(qū)間上有零點(diǎn)， 則只需或，即，， 或，，∴． （3）　當(dāng)時(shí)，，故拋物線開(kāi)口向下， 而此時(shí)故若要在區(qū)間上有零點(diǎn)，只需 ，即， ∴的取值范圍是． 16． 解 （1）令， 則由得， ∴，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是． （2）， 設(shè)，∵當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增， ∴． （1）由韋達(dá)定理得： ． （2） ， 故． 反思 解法1數(shù)形結(jié)合，將方程根范圍轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象關(guān)系，解法2從韋達(dá)定理角度出發(fā)，轉(zhuǎn)化不等關(guān)系，第二問(wèn)從更一般的角度思考，用系數(shù)表示根，結(jié)合基本不等式證得。 變式題： 已知函數(shù)，對(duì)應(yīng)方程在內(nèi)有兩相異實(shí)根，求證：（1）；（2） 解 設(shè)方程兩根為、， （1） 從而，， 即， （2）， 因等號(hào)不能同時(shí)取到，所以 17． 解 （1）∵，且是R上的偶函數(shù)，∴， ． （2）當(dāng)時(shí)，， 同理當(dāng)時(shí)，， ∴。 （3）由于函數(shù)是以2為周期，故只需考查區(qū)間． 若時(shí)，由函數(shù)的最大值為知，即， 當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，有最大值，即，舍去， 綜上可得，． 當(dāng)時(shí)，若，則，∴， 若，則，∴， ∴此時(shí)滿足不等式的解集為． ∵是以2為周期的周期函數(shù)， 當(dāng)時(shí)，的解集為， 綜合上得不等式解集為． 18． 解（1）由在上為減函數(shù)， 得，解之得，∴所求區(qū)間為． （2）取，可得不是減函數(shù)，取，可得在 不是增函數(shù)，∴不是閉函數(shù)． （3）設(shè)函數(shù)符合條件②的區(qū)間為，則， 故a，b是方程的兩個(gè)實(shí)根，命題等價(jià)于 有兩個(gè)不相等的實(shí)根， 當(dāng)時(shí)，，解得，∴． 當(dāng)時(shí)，，無(wú)解． ∴k的取值范圍是． 19．解 （1） ∵對(duì)任意有， ∴，又由，∴． 若，∴，即． （2） ∵對(duì)任意有， 又有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得， ∴對(duì)任意有， 在上式中令，有， 又∵，∴，即或。 若，則，即，但方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，與題設(shè)條件矛盾；若，則，即，滿足條件， ∴滿足條件的函數(shù)． 20．解 （1），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立， 故的取值范圍為． （2），由，又， ∴上是增函數(shù)， ∴． （3）由（2）知，若對(duì)任意恒成立，則， 而，在上遞減，在上單調(diào)遞增， ∴要使在上恒成立，必有，解之得． 6．導(dǎo)數(shù)（一） 一、填空題 1．當(dāng)h無(wú)限趨近于0時(shí)，無(wú)限趨近于 6 ． 2．若函數(shù)的增區(qū)間為（0，1），則的值是 1 ． 3．曲線在點(diǎn)（）處的切線方程為 ． 4．函數(shù)y=x3-3x+1在閉區(qū)間[-3 0]上的最大值與最小值分別為_(kāi)__3,-17__． 5．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為． 6．當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是___m>2___． 7．設(shè)、分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)且，則不等式的解集為． 8．若函數(shù)在x=1處取的極值，則3a+b+c=____0____． 9．若曲線在點(diǎn)P處的切線垂直于直線，則P的坐標(biāo)為_(kāi)_(1,0)_ __． 10.設(shè)曲線直線y=0及x=t(t>0)圍成的封閉圖形的面積為S(t)，則= ； 11．設(shè)a、b為實(shí)數(shù)且b-a=2，若多項(xiàng)式函數(shù)在區(qū)間（a, b）上的導(dǎo)函數(shù)滿足 ，則與的大小關(guān)系是． 12．母線長(zhǎng)為1的圓錐體積最大時(shí)，圓錐的高等于． 13．圓形水波的半徑50cm/s的速度向外擴(kuò)張，當(dāng)半徑為250cm時(shí)，圓面積的膨脹率為 ． 14．已知數(shù)列{an}滿足2an+1= -an3+3an且，則an的取值范圍為 (0,1)． 二、解答題： y x O 15.已知函數(shù)，，是否存在整數(shù)m，使得函數(shù)f(x)與g(x)圖像在區(qū)間(m,m+1)內(nèi)有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，若有，求出m的值，若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由. 變式題:已知函數(shù)f(x)=x3 +bx2+3cx+8 和g(x)=x3+bx2+cx(其中- ＜b＜0)， F(x)=f(x)+5g(x), (1)=(m)=0. （1）求m的取值范圍； （2）方程F(x)=0有幾個(gè)實(shí)根？為什么？ 點(diǎn)撥：兩曲線的公共點(diǎn)一般轉(zhuǎn)化為方程的根問(wèn)題， 根據(jù)方程特點(diǎn)，利用三次函數(shù)的單調(diào)性，極值（最值）及圖像特征是解決問(wèn)題的突破點(diǎn). 解：函數(shù)f(x)與g(x)公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是方程的解, 也就是方程 的根. 記h(x)= ，則 令得，由單調(diào)性易知，h(0)和分別是極大值和極小值. ＜0（如圖）,由圖形知有三個(gè)零點(diǎn), 且又h(3)=1,h(4)=5,故,即故可取m=3. 又區(qū)間(m,m+1)長(zhǎng)度為1，故m不可能有其他值.綜合知，存在整數(shù)m=3滿足題意. 變式點(diǎn)拔：（1），由題設(shè)易得 ，消去c得，故，再由-＜b＜0 可解得m的取值范圍是. （2）方程F(x)=0，化簡(jiǎn)有3x3+3bx2+4cx+4=0.記Q(x)= 3x3+3bx2+4cx+4,則Q/(x)= 9x2 +6bx+4c,∵-＜b＜0,c= - ,∴-1＜c＜0,∴△＞0，故Q/(x)=0有相異兩實(shí)根,即函數(shù) Q(x)有兩個(gè)極值點(diǎn),不妨設(shè)為x1, x2 (x1＜x2),則Q(x)極大值為Q(x1)，極小值為Q(x2). 下面要確定兩個(gè)極值的符號(hào)，顯然十分困難，從函數(shù)結(jié)構(gòu)特征上發(fā)現(xiàn)Q(0)=4,它就是此題的一個(gè)“啟示點(diǎn)”，因?yàn)镼（x）在區(qū)間（x1,x2）內(nèi)為減函數(shù),所以Q(x1) ＞Q(0) ＞Q(x2),則Q(x1)一定為正，從而只須確定Q(x2)的符號(hào)即可. 而三次函數(shù)Q(x2)= 3 x23+3b x22+4c x2+4的符號(hào)較難確定,函數(shù)Q（x）具有一個(gè)特性，即Q/(x2)恒為0 (x2為Q(x)的極值點(diǎn)),以此為中心,利用它的特性進(jìn)行兩次降次，由3次降至1次,尋求解決問(wèn)題的思路.Q(x2)= 3 x23+3b x22+4c x2+4= x2(9 x22+6b x2+4c)+b x22+c x2+4=0+ b x22+c x2+4= (9 x22+6bx2+4c) +(c-b2) x2+4- bc =(c-b2)x2+4- bc. 由韋達(dá)定理得x1+x2= - b , x1x2= c ,∴0＜x1+x2＜1, - ＜x1x2＜0,x1＜0＜x2,x1＞ -,∴1＞x1+x2＞-+x2,9x22-9x2-4＜0 ,∴0＜x2＜, 于是 Q(x2)=(c-b2)x2+4-bc＞(c-b2)+4- bc＞-+4＞0, 故Q（x）與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),所以方程F(x)=0只有一個(gè)實(shí)根． 點(diǎn)評(píng): 此題從函數(shù)特性中抓“啟示點(diǎn)”—引領(lǐng)思維“尋路”。特殊函數(shù)可以幫助我們輕松地選擇思維的起點(diǎn)、方向、重心，以特殊函數(shù)特征、特性為中心，對(duì)信息層層剖析，使推理更具針對(duì)性、目標(biāo)性。 此題充分利用三次函數(shù)Q(x2)具有的Q/(x2)=0這個(gè)特性,因勢(shì)利導(dǎo), 由三次降為一次,撥開(kāi)云霧挖掘出深層次的內(nèi)涵, 突破了關(guān)口.它的特性有著畫(huà)龍點(diǎn)睛，凝神聚氣之奇效!是思維的導(dǎo)向標(biāo)! 16.用導(dǎo)數(shù)知識(shí)證明拋物線的光學(xué)性質(zhì)：位于焦點(diǎn)F的光源所射出的光線FP經(jīng)拋物線上任一點(diǎn)反射后（該點(diǎn)處的切線反射）反射光線PM與拋物線對(duì)稱軸平行. 點(diǎn)撥：要證兩直線平行，可從多種角度入手根據(jù)導(dǎo)數(shù)意義及切線特點(diǎn)，從角方面研究本題較為方便. 證：設(shè)拋物線方程為 , 則焦點(diǎn)為. 由拋物線定義知，又， 故PN的方程為， 令x=0得 軸． 17．如圖,酒杯的形狀為倒立的圓錐，杯深8cm，