2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習單元講座 第22講 任意角的三角函數(shù)及誘導(dǎo)公式教案 新人教版.doc
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2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習單元講座 第22講 任意角的三角函數(shù)及誘導(dǎo)公式教案 新人教版 一.課標要求: 1.任意角、弧度 了解任意角的概念和弧度制,能進行弧度與角度的互化; 2.三角函數(shù) (1)借助單位圓理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義; (2)借助單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式(π/2α, πα的正弦、余弦、正切)。 二.命題走向 從近幾年的新課程高考考卷來看,試題內(nèi)容主要考察三角函數(shù)的圖形與性質(zhì),但解決這類問題的基礎(chǔ)是任意角的三角函數(shù)及誘導(dǎo)公式,在處理一些復(fù)雜的三角問題時,同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系式是解決問題的關(guān)鍵。 預(yù)測xx年高考對本講的考察是: 1.題型是1道選擇題和解答題中小過程; 2.熱點內(nèi)容是三角函數(shù)知識的綜合應(yīng)用和實際應(yīng)用,這也是新課標教材的熱點內(nèi)容。 三.要點精講 1.任意角的概念 角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形。一條射線由原來的位置,繞著它的端點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到終止位置,就形成角。旋轉(zhuǎn)開始時的射線叫做角的始邊,叫終邊,射線的端點叫做叫的頂點。 為了區(qū)別起見,我們規(guī)定:按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角,按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫負角。如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn),我們稱它形成了一個零角。 2.終邊相同的角、區(qū)間角與象限角 角的頂點與原點重合,角的始邊與軸的非負半軸重合。那么,角的終邊(除端點外)在第幾象限,我們就說這個角是第幾象限角。要特別注意:如果角的終邊在坐標軸上,就認為這個角不屬于任何一個象限,稱為非象限角。 終邊相同的角是指與某個角α具有同終邊的所有角,它們彼此相差2kπ(k∈Z),即β∈{β|β=2kπ+α,k∈Z},根據(jù)三角函數(shù)的定義,終邊相同的角的各種三角函數(shù)值都相等。 區(qū)間角是介于兩個角之間的所有角,如α∈{α|≤α≤}=[,]。 3.弧度制 長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度角,記作1,或1弧度,或1(單位可以省略不寫)。 角有正負零角之分,它的弧度數(shù)也應(yīng)該有正負零之分,如-π,-2π等等,一般地, 正角的弧度數(shù)是一個正數(shù),負角的弧度數(shù)是一個負數(shù),零角的弧度數(shù)是0,角的正負主要由角的旋轉(zhuǎn)方向來決定。 角的弧度數(shù)的絕對值是:,其中,l是圓心角所對的弧長,是半徑。 角度制與弧度制的換算主要抓住。 弧度與角度互換公式:1rad=≈57.30=5718ˊ、1=≈0.01745(rad)。 弧長公式:(是圓心角的弧度數(shù)), 扇形面積公式:。 4.三角函數(shù)定義 在的終邊上任取一點,它與原點的距離.過作軸的垂線,垂足為,則線段的長度為,線段的長度為.則;;。 a的終邊 P(x,y)) O x y 利用單位圓定義任意角的三角函數(shù),設(shè)是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點,那么: (1)叫做的正弦,記做,即; (2)叫做的余弦,記做,即; (3)叫做的正切,記做,即。 5.三角函數(shù)線 O x y a角的終邊 P T M A 三角函數(shù)線是通過有向線段直觀地表示出角的各種三角函數(shù)值的一種圖示方法。利用三角函數(shù)線在解決比較三角函數(shù)值大小、解三角方程及三角不等式等問題時,十分方便。 以坐標原點為圓心,以單位長度1為半徑畫一個圓,這個圓就叫做單位圓(注意:這個單位長度不一定就是1厘米或1米)。當角為第一象限角時,則其終邊與單位圓必有一個交點,過點作軸交軸于點,根據(jù)三角函數(shù)的定義:;。 我們知道,指標坐標系內(nèi)點的坐標與坐標軸的方向有關(guān).當角的終邊不在坐標軸時,以為始點、為終點,規(guī)定: 當線段與軸同向時,的方向為正向,且有正值;當線段與軸反向時,的方向為負向,且有正值;其中為點的橫坐標.這樣,無論那種情況都有 同理,當角的終邊不在軸上時,以為始點、為終點, 規(guī)定:當線段與軸同向時,的方向為正向,且有正值;當線段與軸反向時,的方向為負向,且有正值;其中為點的橫坐標。 這樣,無論那種情況都有。像這種被看作帶有方向的線段,叫做有向線段。 如上圖,過點作單位圓的切線,這條切線必然平行于軸,設(shè)它與的終邊交于點,請根據(jù)正切函數(shù)的定義與相似三角形的知識,借助有向線段,我們有 我們把這三條與單位圓有關(guān)的有向線段,分別叫做角的正弦線、余弦線、正切線,統(tǒng)稱為三角函數(shù)線。 6.同角三角函數(shù)關(guān)系式 使用這組公式進行變形時,經(jīng)常把“切”、“割”用“弦”表示,即化弦法,這是三角變換非常重要的方法。 幾個常用關(guān)系式:sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα;(三式之間可以互相表示) 同理可以由sinα-cosα或sinαcosα推出其余兩式。 ②. ③當時,有。 7.誘導(dǎo)公式 可用十個字概括為“奇變偶不變,符號看象限”。 誘導(dǎo)公式一:,,其中 誘導(dǎo)公式二: ; 誘導(dǎo)公式三: ; 誘導(dǎo)公式四:; 誘導(dǎo)公式五:; - sin -sin sin -sin -sin sin cos cos cos -cos -cos cos cos sin (1)要化的角的形式為(為常整數(shù)); (2)記憶方法:“函數(shù)名不變,符號看象限”; (3)sin(kπ+α)=(-1)ksinα;cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z); (4);。 四.典例解析 題型1:象限角 例1.已知角;(1)在區(qū)間內(nèi)找出所有與角有相同終邊的角;(2)集合,那么兩集合的關(guān)系是什么? 解析:(1)所有與角有相同終邊的角可表示為:, 則令 , 得 解得 從而或 代回或 (2)因為表示的是終邊落在四個象限的平分線上的角的集合;而集合表示終邊落在坐標軸或四個象限平分線上的角的集合,從而:。 點評:(1)從終邊相同的角的表示入手分析問題,先表示出所有與角有相同終邊的角,然后列出一個關(guān)于的不等式,找出相應(yīng)的整數(shù),代回求出所求解;(2)可對整數(shù)的奇、偶數(shù)情況展開討論。 例2.(xx全國理,1)若sinθcosθ>0,則θ在( ) A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第一、四象限 D.第二、四象限 解析:答案:B;∵sinθcosθ>0,∴sinθ、cosθ同號。 當sinθ>0,cosθ>0時,θ在第一象限,當sinθ<0,cosθ<0時,θ在第三象限,因此,選B。 例3.(xx春季北京、安徽,8)若A、B是銳角△ABC的兩個內(nèi)角,則點P(cosB-sinA,sinB-cosA)在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案:B 解析:∵A、B是銳角三角形的兩個內(nèi)角,∴A+B>90,∴B>90-A,∴cosB<sinA,sinB>cosA,故選B。 例4.已知“是第三象限角,則是第幾象限角? 解法一:因為是第三象限角,所以, ∴, ∴當k=3m(m∈Z)時,為第一象限角; 當k= 3m+1(m∈Z)時,為第三象限角, 當k= 3m+2(m∈Z)時,為第四象限角, 故為第一、三、四象限角。 解法二:把各象限均分3等份,再從x軸的正向的上方起依次將各區(qū)域標上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ,并依次循環(huán)一周,則原來是第Ⅲ象限的符號所表示的區(qū)域即為的終邊所在的區(qū)域。 由圖可知,是第一、三、四象限角。 點評:已知角的范圍或所在的象限,求所在的象限是??碱}之一,一般解法有直接法和幾何法,其中幾何法具體操作如下:把各象限均分n等份,再從x軸的正向的上方起,依次將各區(qū)域標上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ,并循環(huán)一周,則原來是第幾象限的符號所表示的區(qū)域即為 (n∈N*)的終邊所在的區(qū)域。 題型2:三角函數(shù)定義 例5.已知角的終邊過點,求的四個三角函數(shù)值。 解析:因為過點,所以,。 當; ,。 當,;。 例6.已知角的終邊上一點,且,求的值。 解析:由題設(shè)知,,所以, 得, 從而, 解得或。 當時,, ; 當時,, ; 當時,, 。 題型3:誘導(dǎo)公式 例7.(xx全國文,1)tan300+的值是( ) A.1+ B.1- C.-1- D.-1+ 解析:答案:B tan300+=tan(360-60)+=-tan60+=1-。 例8.化簡: (1); (2)。 解析:(1)原式; (2)①當時,原式。 ②當時,原式。 點評:關(guān)鍵抓住題中的整數(shù)是表示的整數(shù)倍與公式一中的整數(shù)有區(qū)別,所以必須把分成奇數(shù)和偶數(shù)兩種類型,分別加以討論。 題型4:同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 例9.已知,試確定使等式成立的角的集合。 解析:∵, ===。 又∵, ∴, 即得或 所以,角的集合為:或。 例10.(1)證明:; (2)求證:。 解析:(1)分析:證明此恒等式可采取常用方法,也可以運用分析法,即要證,只要證AD=BC,從而將分式化為整式 證法一:右邊= = = 證法二:要證等式,即為 只要證 2()()= 即證: , 即1=,顯然成立, 故原式得證。 點評:在進行三角函數(shù)的化簡和三角恒等式的證明時,需要仔細觀察題目的特征,靈活、恰當?shù)剡x擇公式,利用倒數(shù)關(guān)系比常規(guī)的“化切為弦”要簡潔得多。(2)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式有三種,即平方關(guān)系、商的關(guān)系、倒數(shù)關(guān)系。 (2)證法一:由題義知,所以。 ∴左邊=右邊。 ∴原式成立。 證法二:由題義知,所以。 又∵, ∴。 證法三:由題義知,所以。 , ∴。 點評:證明恒等式的過程就是分析、轉(zhuǎn)化、消去等式兩邊差異來促成統(tǒng)一的過程,證明時常用的方法有:(1)從一邊開始,證明它等于另一邊(如例5的證法一);(2)證明左右兩邊同等于同一個式子(如例6);(3)證明與原式等價的另一個式子成立,從而推出原式成立。 五.思維總結(jié) 1.幾種終邊在特殊位置時對應(yīng)角的集合為: 角的終邊所在位置 角的集合 X軸正半軸 Y軸正半軸 X軸負半軸 Y軸負半軸 X軸 Y軸 坐標軸 2.α、、2α之間的關(guān)系。 若α終邊在第一象限則終邊在第一或第三象限;2α終邊在第一或第二象限或y軸正半軸。 若α終邊在第二象限則終邊在第一或第三象限;2α終邊在第三或第四象限或y軸負半軸。 若α終邊在第三象限則終邊在第二或第四象限;2α終邊在第一或第二象限或y軸正半軸。 若α終邊在第四象限則終邊在第二或第四象限;2α終邊在第三或第四象限或y軸負半軸。 3.任意角的概念的意義,任意角的三角函數(shù)的定義,同角間的三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式由于本重點是任意角的三角函數(shù)角的基礎(chǔ),因而三學(xué)習本節(jié)內(nèi)容時要注意如下幾點:(1)熟練地掌握常用的方法與技巧,在使用三角代換求解有關(guān)問題時要注意有關(guān)范圍的限制;(2)要注意差異分析,又要活用公式,要善于瞄準解題目標進行有效的變形,其解題一般思維模式為:發(fā)現(xiàn)差異,尋找聯(lián)系,合理轉(zhuǎn)化。 只有這樣才能在高考中奪得高分。三角函數(shù)的值與點在終邊上的位置無關(guān),僅與角的大小有關(guān).我們只需計算點到原點的距離,那么,,。所以,三角函數(shù)是以為自變量,以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù),又因為角的集合與實數(shù)集之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系,故三角函數(shù)也可以看成實數(shù)為自變量的函數(shù)。 4.運用同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡、證明 常用的變形措施有:大角化小,切割化弦等,應(yīng)用 “弦化切”的技巧,即分子、分母同除以一個不為零的,得到一個只含的教簡單的三角函數(shù)式。- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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