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2019-2020年高中數學《函數模型及其應用》教案4 新人教A版必修1 教學目的： 1．了解數列的遞推公式，明確遞推公式與通項公式的異同； 2．會根據數列的遞推公式寫出數列的前幾項； 3．理解數列的前n項和與的關系； 4．會由數列的前n項和公式求出其通項公式. 教學重點：根據數列的遞推公式寫出數列的前幾項 教學難點：理解遞推公式與通項公式的關系 授課類型：新授課 課時安排：1課時 教 具：多媒體、實物投影儀 內容分析： 由于并非每一函數均有解析表達式一樣，也并非每一數列均有通項公式(有通項公式的數列只是少數)，因而研究遞推公式給出數列的方法可使我們研究數列的范圍大大擴展遞推是數學里的一個非常重要的概念和方法在數列的研究中，不僅很多重要的數列是用遞推公式給出的，而且它也是獲得一個數列的通項公式的途徑：先得出較為容易寫出的數列的遞推公式，然后再根據它推得通項公式但是，這項內容也是極易膨脹的，例如研究用遞推公式給出的數列的性質，從數列的遞推公式推導通項公式等，這樣就會加重學生負擔考慮到學生是在高一學習，我們必須牢牢把握教學要求，只要能初步體會一下用遞推方法給出數列的思想，能根據遞推公式寫出一個數列的前幾項就行了 教學過程： 一、復習引入：上節(jié)學習知識點如下 ⒈ 數列的定義：按一定次序排列的一列數叫做數列. 注意：⑴數列的數是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個數列的數相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數列； ⑵定義中并沒有規(guī)定數列中的數必須不同，因此，同一個數在數列中可以重復出現. ⒉ 數列的項：數列中的每一個數都叫做這個數列的項. 各項依次叫做這個數列的第1項（或首項），第2項，…，第n 項，…. ⒊數列的一般形式：，或簡記為，其中是數列的第n項 ⒋ 數列的通項公式：如果數列的第n項與n之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的通項公式. 5．數列的圖像都是一群孤立的點. 6．數列有三種表示形式：列舉法，通項公式法和圖象法. 7． 有窮數列：項數有限的數列.例如，數列①是有窮數列. 8． 無窮數列：項數無限的數列. 二、講解新課： 知識都來源于實踐，最后還要應用于生活用其來解決一些實際問題． 觀察鋼管堆放示意圖，尋其規(guī)律，建立數學模型． 模型一：自上而下： 第1層鋼管數為4；即：14＝1+3 第2層鋼管數為5；即：25＝2+3 第3層鋼管數為6；即：36＝3+3 第4層鋼管數為7；即：47＝4+3 第5層鋼管數為8；即：58＝5+3 第6層鋼管數為9；即：69＝6+3 第7層鋼管數為10；即：710＝7+3 若用表示鋼管數，n表示層數，則可得出每一層的鋼管數為一數列，且≤n≤7） 運用每一層的鋼筋數與其層數之間的對應規(guī)律建立了數列模型，運用這一關系，會很快捷地求出每一層的鋼管數這會給我們的統(tǒng)計與計算帶來很多方便 讓同學們繼續(xù)看此圖片，是否還有其他規(guī)律可循？（啟發(fā)學生尋找規(guī)律） 模型二：上下層之間的關系 自上而下每一層的鋼管數都比上一層鋼管數多1 即；； 依此類推：（2≤n≤7） 對于上述所求關系，若知其第1項，即可求出其他項，看來，這一關系也較為重要 定義： 1．遞推公式：如果已知數列的第1項（或前幾項），且任一項與它的前一項（或前n項）間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公 式就叫做這個數列的遞推公式 說明：遞推公式也是給出數列的一種方法 如下數字排列的一個數列：3，5，8，13，21，34，55，89 遞推公式為： 2．數列的前n項和： 數列中，稱為數列的前n項和，記為. 表示前1項之和：= 表示前2項之和：= …… 表示前n-1項之和：= 表示前n項之和：=. ∴當n≥1時才有意義；當n-1≥1即n≥2時才有意義. 3．與之間的關系： 由的定義可知，當n=1時，=；當n≥2時，=-， 即=. 說明：數列的前n項和公式也是給出數列的一種方法. 三、例題講解 例1已知數列的第1項是1，以后的各項由公式給出，寫出這個數列的前5項 分析：題中已給出的第1項即，遞推公式： 解：據題意可知： 例2已知數列中，≥3），試寫出數列的前4項 解：由已知得 例3已知， 寫出前5項，并猜想． 法一： ，觀察可得 法二：由 ∴ 即 ∴ ∴ 例4 已知數列的前n項和，求數列的通項公式： ⑴ =n+2n； ⑵ =n-2n-1. 解：⑴①當n≥2時，=-=(n+2n)-[(n-1)+2(n-1)]=2n+1； ②當n=1時，==1+21=3； ③經檢驗，當n=1時，2n+1=21+1=3， ∴=2n+1為所求. ⑵①當n≥2時，=-=(n-2n-1)-[(n-1)+2(n-1)-1]=2n-3； ②當n=1時，==1-21-1=-2； ③經檢驗，當n=1時，2n-3=21-3=-1≠-2， ∴=為所求. 四、練習： 1．根據各個數列的首項和遞推公式，寫出它的前五項，并歸納出通項公式 (1) ＝0, ＝＋(2n－1) (n∈N)； (2) ＝1, ＝ (n∈N)； (3) ＝3, ＝3－2 (n∈N). 解：(1) ＝0, ＝1, ＝4, ＝9, ＝16, ∴ ＝(n－1); (2) ＝1,＝,＝, ＝, ＝, ∴ ＝; (3) ＝3＝1+2, ＝7＝1+2, ＝19＝1+2, ＝55＝1+2, ＝163＝1+2, ∴ ＝1＋23; 2． ．已知下列各數列的前n項和的公式，求的通項公式 (1) ＝2n－3n; (2) ＝－2. 解：(1) ＝－1, =-＝2n－3n－[2(n－1)－3(n－1)]＝4n－5, 又符合＝41－5, ∴ ＝4n－5; (2) ＝1, =-＝－2－(－2)＝2, ∴＝ 五、小結 本節(jié)課學習了以下內容： 1．遞推公式及其用法； 2．通項公式反映的是項與項數之間的關系，而遞推公式反映的是相鄰兩項（或n項）之間的關系. 3．的定義及與之間的關系 六、課后作業(yè)： 1．根據各個數列的首項和遞推公式，寫出它的前五項 =1, =+（n≥2） 解：由=1, =+（n≥2）, 得=1, =+=2, =+, =+,=+ 2．已知=an+bn+c，求數列的通項公式 答案：= 七、板書設計（略） 八、課后記：