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2019-2020年高中數(shù)學 2.3.2 雙曲線的簡單性質(zhì)教案 北師大選修1-1 一、復習引入： 名 稱 橢 圓 雙 曲 線 圖 象 定 義 平面內(nèi)到兩定點的距離的和為常數(shù)（大于）的動點的軌跡叫橢圓。即 當2﹥2時，軌跡是橢圓， 當2=2時，軌跡是一條線段 當2﹤2時，軌跡不存在 平面內(nèi)到兩定點的距離的差的絕對值為常數(shù)（小于）的動點的軌跡叫雙曲線。即 當2﹤2時，軌跡是雙曲線 當2=2時，軌跡是兩條射線 當2﹥2時，軌跡不存在 標準方 程 焦點在軸上時： 焦點在軸上時： 注：是根據(jù)分母的大小來判斷焦點在哪一坐標軸上 焦點在軸上時： 焦點在軸上時： 注：是根據(jù)項的正負來判斷焦點所 在的位置 常數(shù)的關 系 （符合勾股定理的結(jié)構(gòu)） ， 最大， （符合勾股定理的結(jié)構(gòu)） 最大，可以 二、講解新課： 1．范圍、對稱性 由標準方程可得，當時，y才有實數(shù)值；對于y的任何值，x都有實數(shù)值 這說明從橫的方向來看，直線x=-a,x=a之間沒有圖象，從縱的方向來看，隨著x的增大，y的絕對值也無限增大，所以曲線在縱方向上可無限伸展，不像橢圓那樣是封閉曲線 雙曲線不封閉，但仍稱其對稱中心為雙曲線的中心 2．頂點 頂點： 特殊點： 實軸：長為2a, a叫做半實軸長 虛軸：長為2b，b叫做虛半軸長 講述：結(jié)合圖形，講解頂點和軸的概念，在雙曲線方程中，令y=0得，故它與x軸有兩個交點，且x軸為雙曲線的對稱軸，所以與其對稱軸的交點，稱為雙曲線的頂點(一般而言，曲線的頂點均指與其對稱軸的交點)，而對稱軸上位于兩頂點間的線段叫做雙曲線的實軸長，它的長是2a. 在方程中令x=0得，這個方程沒有實數(shù)根，說明雙曲線和Y軸沒有交點。但Y軸上的兩個特殊點，這兩個點在雙曲線中也有非常重要的作用 把線段叫做雙曲線的虛軸，它的長是2b 要特別注意不要把虛軸與橢圓的短軸混淆 雙曲線只有兩個頂點，而橢圓則有四個頂點，這是兩者的又一差異 3．漸近線 過雙曲線的兩頂點， 作y軸的平行線，經(jīng)過 作x軸的平行線，四條直線圍 成一個矩形 矩形的兩條對角線所在 直線方程是（）， 這兩條直線就是雙曲線的漸近線 分析：要證明直線（） 是雙曲線的漸近線，即要證明 隨著X的增大，直線和曲線越來越靠攏 也即要證曲線上的點到直線的距離｜MQ｜ 越來越短，因此把問題轉(zhuǎn)化為計算｜MQ｜ 但因｜MQ｜不好直接求得，因此又把問題 轉(zhuǎn)化為求｜MN｜ 最后強調(diào)，對圓錐曲線 而言，漸近線是雙曲線具有的性質(zhì) ＝ （） 4．等軸雙曲線 a=b即實軸和虛軸等長，這樣的雙曲線叫做等軸雙曲線 結(jié)合圖形說明：a=b時，雙曲線方程變成(或，它的實軸和都等于2a(2b)，這時直線圍成正方形，漸近線方程為 它們互相垂直且平分雙曲線的實軸和虛軸所成的角 5．共漸近線的雙曲線系 如果已知一雙曲線的漸近線方程為，那么此雙曲線方程就一定是：或?qū)懗? 6．雙曲線的草圖 利用雙曲線的漸近線，可以幫助我們較準確地畫出雙曲線的草圖 具體做法是：畫出雙曲線的漸近線，先確定雙曲線的頂點及第一象限內(nèi)任意一點的位置，然后過這兩點并根據(jù)雙曲線在第一象限從漸近線下方逐漸接近漸近線的特點畫出雙曲線的一部分，最后利用雙曲線的對稱性畫出完整的雙曲線 三、講解范例： 例1 求雙曲線的頂點坐標、焦點坐標，實半軸長、虛半軸長和漸近線方程，并作出草圖 分析：只要緊扣有關概念和方法，就易解答 解：把方程化為標準方程 由此可知，實半軸長a＝1，虛半軸長b＝2． 頂點坐標是（－1，0），（1，0） 焦點的坐標是(－，0)，(，0)． 漸近線方程為，即 例2 求與雙曲線共漸近線且過的雙曲線的方程 分析：因所求的雙曲線與已知雙曲線共漸近線，故可先設出雙曲線系，再把已知點代入，求得K的值即可 解：設與共漸近線且過的 雙曲線的方程為 則 ，從而有 所求雙曲線的方程為 四、課堂練習： 1．下列方程中，以x2y=0為漸近線的雙曲線方程是 答案：A 2