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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 4.1 坐標(biāo)系教案 蘇教版選修4-4 4．1.1直角坐標(biāo)系 課標(biāo)解讀 1.掌握在平面直角坐標(biāo)系中刻畫(huà)點(diǎn)的位置的方法，體會(huì)坐標(biāo)系的作用． 2.對(duì)具體問(wèn)題，能建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，使所刻畫(huà)的代數(shù)形式具有更簡(jiǎn)便的結(jié)果. 1．直線(xiàn)坐標(biāo)系 在直線(xiàn)上，取一個(gè)點(diǎn)為原點(diǎn)，并確定一個(gè)長(zhǎng)度單位和直線(xiàn)的方向，就建立了直線(xiàn)上的坐標(biāo)系，即數(shù)軸． 數(shù)軸上任意一點(diǎn)P都可以由惟一的實(shí)數(shù)x確定，x稱(chēng)為點(diǎn)P的坐標(biāo)． 2．平面直角坐標(biāo)系 在平面上，取兩條互相垂直的直線(xiàn)的交點(diǎn)為原點(diǎn)，并確定一個(gè)長(zhǎng)度單位和這兩條直線(xiàn)的方向，就建立了平面直角坐標(biāo)系． 平面上任意一點(diǎn)P都可以由惟一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)確定，(x，y)稱(chēng)為點(diǎn)P的坐標(biāo)． 3．空間直角坐標(biāo)系 在空間中，選擇兩兩垂直且交于一點(diǎn)的三條直線(xiàn)，取這三條直線(xiàn)的交點(diǎn)為原點(diǎn)，并確定一個(gè)長(zhǎng)度單位和這三條直線(xiàn)的方向，就建立了空間直角坐標(biāo)系． 空間中任意一點(diǎn)P都可以由惟一的三元有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)確定，(x，y，z)稱(chēng)為點(diǎn)P的坐標(biāo)． 1．建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系一般有哪些規(guī)則？ 【提示】　(1)如果圖形有對(duì)稱(chēng)中心，可以選擇對(duì)稱(chēng)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)； (2)如果圖形有對(duì)稱(chēng)軸，可以選擇對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸； (3)使圖形上的特殊點(diǎn)盡可能多的落在坐標(biāo)軸上． 2．由坐標(biāo)(x，y)怎樣確定點(diǎn)的位置？ 【提示】　在平面直角坐標(biāo)系中，分別過(guò)點(diǎn)M(x,0)，N(0，y)作x軸和y軸的垂線(xiàn)，兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)P即(x，y)所確定的點(diǎn). 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系刻畫(huà)點(diǎn)的位置 　正方形的邊長(zhǎng)等于4，試選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，表示其頂點(diǎn)與中心的坐標(biāo)． 【自主解答】　　法一　以正方形的一個(gè)頂點(diǎn)為原點(diǎn)，兩條鄰邊為坐標(biāo)軸，且把第四個(gè)頂點(diǎn)放在第一象限，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖(1)所示．此時(shí)，其四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為O(0,0)、A(4,0)、B(4,4)、C(0,4)，中心為M(2,2)． 法二　以正方形的中心為原點(diǎn)，且使兩條坐標(biāo)軸平行于正方形的邊，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖(2)所示．此時(shí)，正方形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(2，－2)、B(2,2)、C(－2,2)、D(－2，－2)，中心為O(0,0)． 法三　以正方形的兩條對(duì)角線(xiàn)為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，如圖(3)所示．此時(shí)，正方形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(2，0)、B(0,2)、C(－2，0)、D(0，－2)，中心為O(0,0)．(作圖時(shí)只要以圖(2)中的原點(diǎn)O為圓心，OA為半徑作圓，該圓與坐標(biāo)軸的四個(gè)交點(diǎn)即是圖(3)中正方形的各個(gè)頂點(diǎn)) 選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，表示兩條直角邊長(zhǎng)都為1的直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)． 【解】　法一　以直角三角形的兩條直角邊AC、BC所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸，建立如圖(1)所示的平面直角坐標(biāo)系，則C(0,0)，A(1,0)，B(0,1)． 法二　以斜邊AB所在直線(xiàn)為x軸，線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)為y軸，建立如圖(2)所示的平面直角坐標(biāo)系．則A(－，0)，B(，0)，C(0，)． 建立坐標(biāo)系解決證明問(wèn)題 　用解析法證明：等腰三角形底邊延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，到兩腰的距離之差等于一腰上的高． 【自主解答】　　如圖，在△ABC中，AB＝AC， P為BC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，CF⊥AB于F，以BC所在直線(xiàn)為x軸，以BC的中垂線(xiàn)為y軸， 建立直角坐標(biāo)系，如圖所示， 設(shè)A(0，b)，B(－a,0)，C(a,0)(a＞0，b＞0)，則直線(xiàn)AB的方程為bx－ay＋ab＝0， 直線(xiàn)AC的方程為bx＋ay－ab＝0， 取P(x0,0)，使x0＞a，則點(diǎn)P到直線(xiàn)AB、AC的距離分別為 PD＝＝， PE＝＝. 點(diǎn)C到直線(xiàn)AB的距離為 CF＝＝， 則PD－PE＝＝CF. 故所需證明命題成立． 已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE分別為兩腰上的高，求證：BD＝CE. 【證明】　如圖，以BC所在直線(xiàn)為x軸，BC的垂直平分線(xiàn)為y軸建立平面直角坐標(biāo)系． 設(shè)B(－a,0)，C(a,0)，A(0，h)． 則直線(xiàn)AC的方程為y＝－x＋h， 即：hx＋ay－ah＝0. 直線(xiàn)AB的方程為y＝x＋h， 即：hx－ay＋ah＝0. 由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得： BD＝， CE＝. ∴BD＝CE. 建立坐標(biāo)系求軌跡方程 　如圖4－1－1所示，過(guò)點(diǎn)P(2,4)有兩條互相垂直的直線(xiàn)l1，l2，l1交x軸于A點(diǎn)，l2交y軸于B點(diǎn)，求線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M滿(mǎn)足的方程． 圖4－1－1 【思路探究】　法一　設(shè)點(diǎn)→求斜率→斜率積為－1→整理得方程→檢查有無(wú)不適合的點(diǎn)→結(jié)論 法二　設(shè)M(x，y)→尋求M滿(mǎn)足的條件→列方程→檢查有無(wú)不適合的點(diǎn)→結(jié)論 法三：O，A，P，B四點(diǎn)共圓→PM＝MO→求kOP及OP中點(diǎn)坐標(biāo)→點(diǎn)斜式寫(xiě)出OP的垂直平分線(xiàn)方程為所求 【自主解答】　法一　設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，因?yàn)镸為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2x,0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,2y)． 因?yàn)閘1⊥l2，且l1，l2過(guò)點(diǎn)P(2,4)， 所以kAPkPB＝－1. 而kAP＝(x≠1)，kPB＝，所以＝－1(x≠1)，整理，得x＋2y－5＝0(x≠1)． 因?yàn)楫?dāng)x＝1時(shí)，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(2,0)，(0,4)，所以線(xiàn)段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是(1,2)，它滿(mǎn)足方程x＋2y－5＝0. 綜上所述，點(diǎn)M滿(mǎn)足的方程是x＋2y－5＝0. 法二　設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(2x,0)，(0,2y)， 連接PM.因?yàn)閘1⊥l2，所以PM＝AB. 而PM＝， AB＝， 所以2＝， 化簡(jiǎn)，得x＋2y－5＝0，即為所求方程． 法三　因?yàn)閘1⊥l2，OA⊥OB，點(diǎn)M為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，所以O(shè)，A，P，B四點(diǎn)共圓， 且該圓的圓心為M(x，y)，所以PM＝MO，所以點(diǎn)M的軌跡為線(xiàn)段OP的垂直平分線(xiàn)． 因?yàn)閗OP＝＝2，OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，所以點(diǎn)M滿(mǎn)足的方程為y－2＝－(x－1)， 化簡(jiǎn)得x＋2y－5＝0. 通過(guò)建立坐標(biāo)系精確地刻畫(huà)集合圖形的位置和物體運(yùn)動(dòng)的軌跡的方法稱(chēng)為解析法．解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵： (1)建立平面直角坐標(biāo)系； (2)設(shè)點(diǎn)(點(diǎn)與坐標(biāo)的對(duì)應(yīng))； (3)列式(方程與坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)，列出幾何條件，并將幾何條件代數(shù)化)； (4)化簡(jiǎn)(注意變形的等價(jià)性)； (5)證明(若保證等價(jià)變形，則此步驟可以省略)． 設(shè)圓(x－1)2＋y2＝1的圓心為C，過(guò)原點(diǎn)作圓的弦OA，求OA中點(diǎn)B的軌跡方程． 【解】　法一　(直接法)：設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)， 由題意，得OB2＋BC2＝OC2，如圖所示， 即x2＋y2＋[(x－1)2＋y2]＝1，即OA中點(diǎn)B的軌跡方程為(x－)2＋y2＝(去掉原點(diǎn))． 法二　(幾何法)：設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)， 由題意知CB⊥OA，OC的中點(diǎn)記為M(，0)， 則MB＝OC＝， 故B點(diǎn)的軌跡方程為(x－)2＋y2＝(去掉原點(diǎn))． 法三　(代入法)：設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(x1，y1)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)， 由題意得 即 又因?yàn)?x1－1)2＋y＝1， 所以(2x－1)2＋(2y)2＝1， 即(x－)2＋y2＝(去掉原點(diǎn))． 法四　(交點(diǎn)法)：設(shè)直線(xiàn)OA的方程為y＝kx， 當(dāng)k＝0時(shí)，B為(1,0)；當(dāng)k≠0時(shí)，直線(xiàn)BC的方程為： y＝－(x－1)，直線(xiàn)OA，BC的方程聯(lián)立消去k即得其交點(diǎn)軌跡方程：y2＋x(x－1)＝0，即(x－)2＋y2＝(x≠0,1)， 顯然B(1,0)滿(mǎn)足(x－)2＋y2＝， 故(x－)2＋y2＝(去掉原點(diǎn))為所求． 　(教材第16頁(yè)習(xí)題4.1第4題)據(jù)氣象臺(tái)預(yù)報(bào)，在A市正東方300 km的B處有一臺(tái)風(fēng)中心形成，并以每小時(shí)40 km的速度向西北方向移動(dòng)，在距臺(tái)風(fēng)中心250 km以?xún)?nèi)的地區(qū)將受其影響．問(wèn)：從現(xiàn)在起經(jīng)過(guò)多少時(shí)間，臺(tái)風(fēng)將影響A市，持續(xù)時(shí)間多長(zhǎng)？ 　(xx鄭州模擬)已知B村位于A村的正西方向1公里處，原計(jì)劃經(jīng)過(guò)B村沿著北偏東60的方向埋設(shè)一條地下管線(xiàn)m.但在A村的西北方向400米處，發(fā)現(xiàn)一古代文物遺址W.根據(jù)初步勘察的結(jié)果，文物管理部門(mén)將遺址W周?chē)?00米范圍劃為禁區(qū)．試問(wèn)：埋設(shè)地下管線(xiàn)m的計(jì)劃需要修改嗎？ 【命題意圖】　本題主要考查合理建立直角坐標(biāo)系，并能應(yīng)用其解決實(shí)際問(wèn)題的能力． 【解】　以A村為原點(diǎn)，直線(xiàn)BA為x軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系． 則點(diǎn)B坐標(biāo)為(－1 000,0)，點(diǎn)W坐標(biāo)為(－200，200)，由題意，管線(xiàn)m的斜率為k＝tan 30＝， 所以管線(xiàn)m所在的方程為y＝(x＋1 000)， 化簡(jiǎn)得x－3y＋1 000＝0， 即x－y＋1 000＝0. 點(diǎn)W到該直線(xiàn)m的距離為 d＝ ＝|500－100－100|＝100(5－－)． 因?yàn)?－－＞1，所以d＞100. 故管線(xiàn)m不會(huì)穿過(guò)禁區(qū)，故該計(jì)劃不需要修改． 1．已知點(diǎn)P(－1＋2m，－3－m)在第三象限，則m的取值范圍是________． 【解析】　∵第三象限點(diǎn)的坐標(biāo)特征是橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均小于0， ∴即∴－3＜m＜. 【答案】　(－3，) 2．點(diǎn)P(2，－3，－1)關(guān)于yOz坐標(biāo)平面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是________． 【解析】　∵P(x，y，z)關(guān)于平面yOz坐標(biāo)平面對(duì)稱(chēng)的為點(diǎn)P′(－x，y，z)， ∴點(diǎn)(2，－3，－1)關(guān)于yOz平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(－2，－3，－1)． 【答案】　(－2，－3，－1) 3．△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，△ABC的周長(zhǎng)為10，則A點(diǎn)的軌跡方程是________． 【解析】　∵BC＝4，∴AB＋AC＝10－BC＝6＞BC， ∴A的軌跡為橢圓除去B、C兩點(diǎn)，∴設(shè)橢圓方程為＋＝1，故2a＝6,2c＝4，即a＝3，c＝2，∴b2＝32－22＝5. 故軌跡方程為＋＝1(y≠0)． 【答案】?。?(y≠0) 4．點(diǎn)(－2，－3)關(guān)于直線(xiàn)3x＋4y＋5＝0對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______． 【解析】　設(shè)所求對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(x，y)，則 解得 所求對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為(，)． 【答案】　(，) 1．已知點(diǎn)Q(1,2)，求Q點(diǎn)關(guān)于M(3,4)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)． 【解】　設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)， 由題意知，M是PQ的中點(diǎn)， 因此∴∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5,6)． 2．設(shè)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(3，－1)，B(8,2)，C(4,6)，求△ABC的面積． 【解】　如圖，作直線(xiàn)l：y＝－1，過(guò)點(diǎn)B、C向l引垂線(xiàn)，垂足分別為B1、C1，則△ABC的面積為 S＝S△AC1C＋S梯形C C1B1B－S△AB1B＝17＋(7＋3)4－53＝16. 3．已知點(diǎn)P(0,4)，求P點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)l：3x－y－1＝0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)． 【解】　設(shè)P點(diǎn)關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(a，b)，由題意得 即 解之得 ∴P點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為(3,3)． 4．已知一條長(zhǎng)為6的線(xiàn)段兩端點(diǎn)A，B分別在x，y軸上滑動(dòng)，點(diǎn)M在線(xiàn)段AB上，且AM∶MB＝1∶2，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．  【解】　如圖，設(shè)A(xA,0)，B(0，yB)，M(x，y)，∵AB＝6， ∴＝6，即x＋y＝36，① 又∵AM∶MB＝1∶2， ∴x＝，y＝， 即 代入①得x2＋9y2＝36， 即x2＋4y2＝16. 得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x2＋4y2＝16. 5．設(shè)點(diǎn)P是矩形ABCD所在平面上任意一點(diǎn)，試用解析法證明：PA2＋PC2＝PB2＋PD2. 【證明】　如圖，以(矩形的)頂點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，邊AB、AD所在直線(xiàn)分別為x軸與y軸建立平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)B(b,0)、D(0，d)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(b，d)．又設(shè)P(x，y)， 則PA2＋PC2＝x2＋y2＋(x－b)2＋(y－d)2， PB2＋PD2＝(x－b)2＋y2＋x2＋(y－d)2. 比較兩式，可知PA2＋PC2＝PB2＋PD2. 6．有相距1 400 m的A、B兩個(gè)觀察站，在A站聽(tīng)到爆炸聲的時(shí)間比在B站聽(tīng)到時(shí)間早4 s．已知當(dāng)時(shí)聲音速度為340 m/s，試求爆炸點(diǎn)所在的曲線(xiàn)． 【解】　由題知：爆炸點(diǎn)P到B的距離比到A的距離多3404＝1 360米． 即PB－PA＝1 360＜1 400，PB＞PA. 故P在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)上，且離A近的一支． 以A、B兩點(diǎn)所在直線(xiàn)為x軸，AB的垂直平分線(xiàn)為y軸，建立直角坐標(biāo)系，由題意得，2a＝1 360,2c＝1 400，故a＝680，c＝700，b2＝7002－6802＝27 600，故爆炸點(diǎn)所在曲線(xiàn)為－＝1(x＜0)． 7．在黃巖島海域執(zhí)行漁政執(zhí)法的漁政310船發(fā)現(xiàn)一艘不明船只從離小島O正東方向80海里的B處，沿東西方向向O島駛來(lái)．指揮部立即命令在島嶼O正北方向40海里的A處的我船沿直線(xiàn)前往攔截，以東西方向?yàn)閤軸，南北方向?yàn)閥軸，島嶼O為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系并標(biāo)出A，B兩點(diǎn)，若兩船行駛的速度相同，在上述 坐標(biāo)系中標(biāo)出我船最快攔住不明船只的位置，并求出該點(diǎn)的坐標(biāo)． 【解】　A，B兩點(diǎn)如圖所示，A(0,40)，B(80,0)， ∴OA＝40(海里)，OB＝80(海里)． 我船直行到點(diǎn)C與不明船只相遇， 設(shè)C(x,0)， ∴OC＝x，BC＝OB－OC＝80－x. ∵兩船速度相同， ∴AC＝BC＝80－x. 在Rt△AOC中，OA2＋OC2＝AC2，即402＋x2＝(80－x)2，解得x＝30. ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(30,0)． 教師備選 8．學(xué)?？萍夹〗M在計(jì)算機(jī)上模擬航天器變軌返回試驗(yàn)．設(shè)計(jì)方案如圖，航天器運(yùn)行(按順時(shí)針?lè)较?的軌跡方程為＋＝1，變軌(即航天器運(yùn)行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€(xiàn))后返回的軌跡是以y軸為對(duì)稱(chēng)軸，M(0，)為頂點(diǎn)的拋物線(xiàn)的實(shí)線(xiàn)部分，降落點(diǎn)為D(8,0)．觀測(cè)點(diǎn)A(4,0)，B(6,0)． (1)求航天器變軌后的運(yùn)行軌跡所在的曲線(xiàn)方程； (2)試問(wèn)：當(dāng)航天器在x軸上方時(shí)，航天器離觀測(cè)點(diǎn)A、B分別為多遠(yuǎn)時(shí)，應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令？ 【解】　(1)設(shè)曲線(xiàn)方程為y＝ax2＋， ∵ 點(diǎn)D(8,0)在拋物線(xiàn)上，∴a＝－， ∴曲線(xiàn)方程為y＝－x2＋. (2)設(shè)變軌點(diǎn)為C(x，y)，根據(jù)題意可知 得4y2－7y－36＝0. y＝4或y＝－(舍去)， ∴y＝4. 得x＝6或x＝－6(舍去)． ∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為(6,4)，AC＝2，BC＝4. 所以當(dāng)航天器離觀測(cè)點(diǎn)A、B的距離分別為2、4時(shí)，應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令．  4．1.2極坐標(biāo)系 課標(biāo)解讀 1.了解極坐標(biāo)系． 2.會(huì)在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫(huà)點(diǎn)的位置． 3.體會(huì)在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中刻畫(huà)點(diǎn)的位置的區(qū)別. 1．極坐標(biāo)系 (1)在平面上取一個(gè)定點(diǎn)O，自點(diǎn)O引一條射線(xiàn)Ox，同時(shí)確定一個(gè)長(zhǎng)度單位和計(jì)算角度的正方向(通常取逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎较?，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系．其中，點(diǎn)O稱(chēng)為極點(diǎn)，射線(xiàn)Ox稱(chēng)為極軸． (2)設(shè)M是平面上任一點(diǎn)，ρ表示OM的長(zhǎng)度，θ表示以射線(xiàn)Ox為始邊，射線(xiàn)OM為終邊所成的角．那么，每一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)(ρ，θ)確定一個(gè)點(diǎn)的位置． ρ稱(chēng)為點(diǎn)M的極徑，θ稱(chēng)為點(diǎn)M的極角．有序?qū)崝?shù)對(duì)(ρ，θ)稱(chēng)為點(diǎn)M的極坐標(biāo)．約定ρ＝0時(shí)，極角θ可取任意角． (3)如果(ρ，θ)是點(diǎn)M的極坐標(biāo)，那么(ρ，θ＋2kπ)或(－ρ，θ＋(2k＋1)π)(k∈Z)都可以看成點(diǎn)M的極坐標(biāo)． 2．極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，且在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位(如圖4－1－2所示)，平面內(nèi)任一點(diǎn)M的直角坐標(biāo)(x，y)與極坐標(biāo)(ρ，θ)可以互換， 圖4－1－2 公式是：或 通常情況下，將點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)時(shí)，取ρ≥0,0≤θ＜2π. 1．建立極坐標(biāo)系需要哪幾個(gè)要素？ 【提示】　建立極坐標(biāo)系的要素是：(1)極點(diǎn)；(2)極軸；(3)長(zhǎng)度單位；(4)角度單位和它的正方向，四者缺一不可． 2．為什么點(diǎn)的極坐標(biāo)不惟一？ 【提示】　根據(jù)我們學(xué)過(guò)的任意角的概念：一是終邊相同的角有無(wú)數(shù)個(gè)，它們相差2π的整數(shù)倍，所以點(diǎn)(ρ，θ)還可以寫(xiě)成(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)；二是終邊在一條直線(xiàn)上且互為反向延長(zhǎng)線(xiàn)的兩角的關(guān)系，所以點(diǎn)(ρ，θ)的坐標(biāo)還可以寫(xiě)成(－ρ，θ＋2kπ＋π)(k∈Z)． 3．將直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)時(shí)如何確定ρ和θ的值？ 【提示】　由ρ2＝x2＋y2求ρ時(shí)，ρ不取負(fù)值；由tan θ＝(x≠0)確定θ時(shí)，根據(jù)點(diǎn)(x，y)所在的象限取得最小正角．當(dāng)x≠0時(shí)，θ角才能由tan θ＝按上述方法確定．當(dāng)x＝0時(shí)，tan θ沒(méi)有意義，這時(shí)又分三種情況：(1)當(dāng)x＝0，y＝0時(shí)，θ可取任何值；(2)當(dāng) x＝0，y＞0時(shí)，可取θ＝；(3)當(dāng)x＝0，y＜0時(shí)，可取θ＝. 極坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo) 　寫(xiě)出下圖中A、B、C、D、E、F、G各點(diǎn)的極坐標(biāo)(ρ＞0,0≤θ＜2π)． 圖4－1－3 【自主解答】　對(duì)每個(gè)點(diǎn)我們先看它的極徑的長(zhǎng)，再確定它的極角，因此這些點(diǎn)的極坐標(biāo)為A，B，C，D，E，F(xiàn)(3，π)，G. 已知邊長(zhǎng)為a的正六邊形ABCDEF，建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)的極坐標(biāo)． 【解】　以正六邊形中心O為極點(diǎn)，OC所在直線(xiàn)為極軸建立如圖所示的極坐標(biāo)系．由正六邊形性質(zhì)得： C(a,0)，D(a，)，E(a，)，F(xiàn)(a，π)，A(a，π)，B(a，π) 或C(a,0)，D(a，)， E(a，)，F(xiàn)(a，π)，A(a，－)，B(a，－). 極坐標(biāo)的對(duì)稱(chēng)性 　在極坐標(biāo)系中，求與點(diǎn)M(3，－)關(guān)于極軸所在的直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的極坐標(biāo)． 【自主解答】　極坐標(biāo)系中點(diǎn)M(ρ，θ)關(guān)于極軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的極坐標(biāo)為M′(ρ，2kπ－θ)(k∈Z)，利用這個(gè)規(guī)律可得對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)(3,2kπ＋)(k∈Z)． 在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為(3，)(限定ρ＞0，0≤θ＜2π)． (1)點(diǎn)A關(guān)于極軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的極坐標(biāo)是________； (2)點(diǎn)A關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的極坐標(biāo)是________． (3)點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)θ＝對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的極坐標(biāo)是________． 【解析】　通過(guò)作圖如圖可求解為 【答案】　(1)(3，)　(2)(3，)　(3)(3，) 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 　(1)把點(diǎn)M的極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)； (2)把點(diǎn)P的直角坐標(biāo)(，－)化成極坐標(biāo)(ρ＞0，0≤θ＜2π)． 【自主解答】　(1)x＝8cos＝－4，y＝8sin＝4，因此，點(diǎn)M的直角坐標(biāo)是(－4,4)． (2)ρ＝＝2， tan θ＝＝－， 又因?yàn)辄c(diǎn)P在第四象限且0≤θ≤2π，得θ＝.因此，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(2，)． (1)把點(diǎn)A的極坐標(biāo)(2，)化成直角坐標(biāo)； (2)把點(diǎn)P的直角坐標(biāo)(1，－)化成極坐標(biāo)(ρ＞0,0≤θ＜2π)． 【解】　(1)x＝2cos ＝－， y＝2sin ＝－1， 故點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為(－，－1)． (2)ρ＝＝2，tan θ＝＝－. 又因?yàn)辄c(diǎn)P在第四象限且0≤θ＜2π，得θ＝. 因此點(diǎn)P的極坐標(biāo)是(2，). 極坐標(biāo)系的應(yīng)用 　在極坐標(biāo)系中，已知A(3，－)，B(1，)，求A、B兩點(diǎn)之間的距離． 【思路探究】　將點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，在用兩點(diǎn)間距離公式求解． 【自主解答】　對(duì)于A(3，－)， x＝3cos(－)＝；y＝3sin(－)＝－， ∴A(，－)． 對(duì)于B(1，)，x＝1cos ＝－，y＝1sin ＝，∴B(－，)． ∵AB＝＝＝4， ∴A、B兩點(diǎn)之間的距離為4. 有些問(wèn)題在用極坐標(biāo)表示時(shí)沒(méi)有現(xiàn)成的解法，但在直角坐標(biāo)系中卻是一個(gè)常見(jiàn)的問(wèn)題．因此，換一個(gè)坐標(biāo)系，把極坐標(biāo)系中的元素?fù)Q成直角坐標(biāo)系中的元素，問(wèn)題就可以迎刃而解了．如果題目要求用極坐標(biāo)作答，那么解完再用極坐標(biāo)表示就行了． 在極坐標(biāo)系中，已知三點(diǎn)：A(4,0)、B(4，)、C(ρ，)． (1)求直線(xiàn)AB與極軸所成的角； (2)若A、B、C三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上，求ρ的值． 【解】　(1)點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為(4,0)，點(diǎn)B的直角坐標(biāo)為(0，－4)，直線(xiàn)AB在直角坐標(biāo)系中的方程為x－y＝4.故直線(xiàn)AB與x軸所成角為. (2)點(diǎn)C的直角坐標(biāo)為， 代入直線(xiàn)方程得 ρ－ρ＝4， 解得ρ＝＝4(＋1)． 　(教材第17頁(yè)習(xí)題4.1第6題)將下列各點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)： (，)，(6，－)，(－2，)，(5，π)，(4，－)， (－4，)． 　(xx鎮(zhèn)江模擬)已知下列各點(diǎn)的直角坐標(biāo)，求它們的極坐標(biāo)． (1)A(3，)；(2)B(－2，－2)； (3)C(0，－2)；(4)D(3,0)． 【命題意圖】　本題主要考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，屬基礎(chǔ)題． 【解】　(1)由題意可知：ρ＝＝2，tan θ＝，所以θ＝， 所以點(diǎn)A的極坐標(biāo)為(2，)． (2)ρ＝＝4，tan θ＝＝，又由于θ為第三象限角，故θ＝π，所以B點(diǎn)的極坐標(biāo)為(4，π)． (3)ρ＝＝2.θ為π，θ在y軸負(fù)半軸上，所以點(diǎn)C的極坐標(biāo)為(2，π)． (4)ρ＝＝3，tan θ＝＝0，故θ＝0. 所以D點(diǎn)的極坐標(biāo)為(3,0)． 1．點(diǎn)P(－2,2)的極坐標(biāo)(θ∈[0,2π))為_(kāi)_______． 【解析】　由ρ＝＝＝2， tan θ＝＝－1， ∵P點(diǎn)在第二象限內(nèi)， ∴θ＝， ∴ρ的極坐標(biāo)為(2，)． 【答案】　(2，) 2．在極坐標(biāo)系中，與(ρ，θ)關(guān)于極軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)是________． 【解析】　極徑為ρ，極角為θ，θ關(guān)于極軸對(duì)稱(chēng)的角為負(fù)角－θ，故所求的點(diǎn)為(ρ，－θ)． 【答案】　(ρ，－θ) 3．將極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)為_(kāi)_______． 【解析】　x＝ρcos θ＝2cosπ＝0，y＝ρsin θ＝2sinπ＝－2， 故直角坐標(biāo)為(0，－2)． 【答案】　(0，－2) 4．已知A，B的極坐標(biāo)分別是和，則A和B之間的距離等于________． 【解析】　由余弦定理得 AB＝ ＝ ＝＝ ＝. 【答案】　  1．在極坐標(biāo)系中，作出下列各點(diǎn)： A，B，C，D，E(4，0)，F(xiàn)(2.5，π)． 【解】　各點(diǎn)描點(diǎn)如下圖． 2．極坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的極坐標(biāo)是(3，)，求點(diǎn)A關(guān)于過(guò)極點(diǎn)且垂直于極軸的直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的極坐標(biāo)． 【解】　極坐標(biāo)系中的點(diǎn)(ρ，θ)關(guān)于過(guò)極點(diǎn)且垂直于極軸的直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的極坐標(biāo)為(ρ，(2k＋1)π－θ)(k∈Z)，利用此，即可寫(xiě)出其中一個(gè)為(3，)． 3．已知點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(－2，－)，若限定ρ＞0,0≤θ＜2π，求點(diǎn)M的極坐標(biāo)． 【解】　∵(－ρ，θ)與(ρ，θ＋π)表示同一點(diǎn)， ∴(－2，)與(2，)為同一點(diǎn)的極坐標(biāo)，故點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(2，)． 4．在極坐標(biāo)中，若等邊△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)是A、B(2，)，那么頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是多少？ 【解】　如右圖，由題設(shè)可知A、B兩點(diǎn)關(guān)于極點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，即O是AB的中點(diǎn)． 又AB＝4，△ABC為正三角形，OC＝2，∠AOC＝，C對(duì)應(yīng)的極角θ＝＋＝或θ＝－ ＝－，即C點(diǎn)極坐標(biāo)為或. 5．設(shè)有一顆彗星，圍繞地球沿一拋物線(xiàn)軌道運(yùn)行，地球恰好位于該拋物線(xiàn)軌道的焦點(diǎn)處，當(dāng)此彗星離地球?yàn)?0(萬(wàn)千米)時(shí)，經(jīng)過(guò)地球和彗星的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的軸的夾角為，試建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，寫(xiě)出彗星此時(shí)的極坐標(biāo)． 【解】　如圖所示，建立極坐標(biāo)系，使極點(diǎn)O位于拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)處，極軸Ox過(guò)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，由題設(shè)可得下列四種情形：(1)當(dāng)θ＝時(shí)，ρ＝30(萬(wàn)千米)；(2)當(dāng)θ＝時(shí)，ρ＝30(萬(wàn)千米)；(3)當(dāng)θ＝時(shí)，ρ＝30(萬(wàn)千米)；(4)當(dāng)θ＝時(shí)，ρ ＝30(萬(wàn)千米)． 彗星此時(shí)的極坐標(biāo)有四種情形：(30，)，(30，)，(30，)，(30，)． 6．已知A、B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別是(2，)、(4，)，求A、B兩點(diǎn)間的距離和△AOB的面積． 【解】　求兩點(diǎn)間的距離可用如下公式： AB＝ ＝＝2. S△AOB＝|ρ1ρ2sin(θ1－θ2)| ＝|24sin(－)|＝24＝4. 7．已知定點(diǎn)P(4，)． (1)將極點(diǎn)移至O′(2，)處極軸方向不變，求P點(diǎn)的新坐標(biāo)； (2)極點(diǎn)不變，將極軸順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)角，求P點(diǎn)的新坐標(biāo)． 【解】　(1)設(shè)P點(diǎn)新坐標(biāo)為(ρ，θ)，如圖所示，由題意可知OO′＝2，OP＝4，∠POx＝，∠O′Ox＝， ∴∠POO′＝. 在△POO′中，ρ2＝42＋(2)2－242cos ＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2. 又∵＝， ∴sin∠OPO′＝2＝， ∴∠OPO′＝. ∴∠OP′P＝π－－＝， ∴∠PP′x＝. ∴∠PO′x′＝. ∴P點(diǎn)的新坐標(biāo)為(2，)． (2)如圖，設(shè)P點(diǎn)新坐標(biāo)為(ρ，θ)， 則ρ＝4，θ＝＋＝. ∴P點(diǎn)的新坐標(biāo)為(4，)． 教師備選 8．已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的極坐標(biāo)分別是A(5，)，B(5，)，C(－4，)，試判斷△ABC的形狀，并求出它的面積． 【解】　∵C(4，)，∠AOB＝－＝， 且AO＝BO， 所以△AOB是等邊三角形， AB＝5， BC＝ ＝， AC＝ ＝， ∵AC＝BC， ∴△ABC為等腰三角形， AB邊上的高為4＋5＝， ∴S△ABC＝5＝. 4．1.3球坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系 課標(biāo)解讀 1.球坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系的理解． 2.球坐標(biāo)、柱坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化. 1．球坐標(biāo)系與球坐標(biāo) (1)在空間任取一點(diǎn)O作為極點(diǎn)，從O點(diǎn)引兩條互相垂直的射線(xiàn)Ox和Oz作為極軸，再規(guī)定一個(gè)長(zhǎng)度單位和射線(xiàn)Ox繞Oz軸旋轉(zhuǎn)所成的角的正方向，這樣就建立了一個(gè)球坐標(biāo)系． (2)設(shè)P是空間一點(diǎn)，用r表示OP的長(zhǎng)度，θ表示以O(shè)z為始邊，OP為終邊的角，φ表示半平面xOz到半平面POz的角，則有序數(shù)組(r，θ，φ)就叫做點(diǎn)P的球坐標(biāo)，其中r≥0,0≤θ≤π，0≤φ＜2π. 圖4－1－4 2．直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)間的關(guān)系 若空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，Ox軸及Oz軸，分別與球坐標(biāo)系的極點(diǎn)、Ox軸及Oz軸重合，就可以得到空間中同一點(diǎn)P的直角坐標(biāo)(x，y，z)與球坐標(biāo)(r，θ，φ)之間的關(guān)系，如圖4－1－5所示． x2＋y2＋z2＝r2， x＝rsin_θcos_φ， y＝rsin_θsin_φ， z＝rcos_θ. 3．柱坐標(biāo)系 圖4－1－6 建立了空間直角坐標(biāo)系O－xyz后，設(shè)P為空間中任意一點(diǎn)，它在xOy平面上的射影為Q，用極坐標(biāo)(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示點(diǎn)Q在平面xOy上的極坐標(biāo)，這時(shí)點(diǎn)P的位置可以用有序數(shù)組(ρ，θ，z)(z∈R)表示，把建立上述對(duì)應(yīng)關(guān)系的坐標(biāo)系叫柱坐標(biāo)系，有序數(shù)組(ρ，θ，z)叫做點(diǎn)P的柱坐標(biāo)，記作P(ρ，θ，z)，其中ρ≥0,0≤θ＜2π，z∈R. 4．直角坐標(biāo)與柱坐標(biāo)之間的關(guān)系 1．空間直角坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系有何聯(lián)系和區(qū)別？ 【提示】　柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系都是以空間直角坐標(biāo)系為背景，柱坐標(biāo)系中一點(diǎn)在平面xOy內(nèi)的坐標(biāo)是極坐標(biāo)，豎坐標(biāo)和空間直角坐標(biāo)系的豎坐標(biāo)相同；球坐標(biāo)系中，則以一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離和兩個(gè)角(高低角、極角)刻畫(huà)點(diǎn)的位置． 空間直角坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系都是空間坐標(biāo)系，空間點(diǎn)的坐標(biāo)都是由三個(gè)數(shù)值的有序數(shù)組組成． 2．在空間的柱坐標(biāo)系中，方程ρ＝ρ0(ρ0為不等于0的常數(shù))，θ＝θ0，z＝z0分別表示什么圖形？ 【提示】　在極坐標(biāo)中，方程ρ＝ρ0(ρ0為不等于0的常數(shù))表示圓心在極點(diǎn)，半徑為ρ0的圓，方程θ＝θ0(θ0為常數(shù))表示與極軸成θ0角的射線(xiàn)．而在空間的柱坐標(biāo)系中，方程ρ＝ρ0表示中心軸為z軸，底半徑為ρ0的圓柱面，它是上述圓周沿z軸方向平行移動(dòng)而成的．方程θ＝θ0表示與zOx坐標(biāo)面成θ0角的半平面．方程z＝z0表示平行于xOy坐標(biāo)面的平面，如圖所示． 常把上述的圓柱面、半平面和平面稱(chēng)為柱坐標(biāo)系的三族坐標(biāo)面. 將點(diǎn)的柱坐標(biāo)或球坐標(biāo)化為直角坐標(biāo) 　(1)已知點(diǎn)M的球坐標(biāo)為，則點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為_(kāi)_______． (2)設(shè)點(diǎn)M的柱坐標(biāo)為(2，，7)，則點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為_(kāi)_______． 【自主解答】　(1)設(shè)M(x，y，z)， 則x＝2sin cos ＝－1， y＝2sin sin ＝1， z＝2cos ＝－. 即M點(diǎn)坐標(biāo)為(－1,1，－)． (2)設(shè)M(x，y，z)， 則x＝2cos ＝， y＝2sin ＝1，z＝7. 即M點(diǎn)坐標(biāo)為(，1,7)． 【答案】　(1)(－1,1，－)　(2)(，1,7) 　(1)已知點(diǎn)P的柱坐標(biāo)為(4，，8)，則它的直角坐標(biāo)為_(kāi)_______． (2)已知點(diǎn)P的球坐標(biāo)為(4，，)，則它的直角坐標(biāo)為_(kāi)_______． 【解析】　(1)由變換公式得： x＝4cos ＝2， y＝4sin ＝2，z＝8. ∴點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(2,2，8)． (2)由變換公式得： x＝rsin θcos φ＝4sin cos ＝2， y＝rsin θsin φ＝4sin sin ＝2， z＝rcos θ＝4cos ＝－2. ∴它的直角坐標(biāo)為(2,2，－2)． 【答案】　(1)(2,2，8)　(2)(2,2，－2) 將點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為柱坐標(biāo)或球坐標(biāo) 　已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，如圖4－1－7建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz，Ax為極軸，求點(diǎn)C1的直角坐標(biāo)、柱坐標(biāo)以及球坐標(biāo)． 圖4－1－7 【思路探究】　解答本題根據(jù)空間直角坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系以及球坐標(biāo)系的意義和聯(lián)系計(jì)算即可． 【自主解答】　點(diǎn)C1的直角坐標(biāo)為(1,1,1)， 設(shè)點(diǎn)C1的柱坐標(biāo)為(ρ，θ，z)，球坐標(biāo)為(r，φ，θ)， 其中ρ≥0，r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π， 由公式 及 得 及 得及 結(jié)合圖形得θ＝，由cos φ＝得tan φ＝. ∴點(diǎn)C1的直角坐標(biāo)為(1,1,1)，柱坐標(biāo)為(，，1)，球坐標(biāo)為(，φ，)， 其中tan φ＝，0≤φ≤π. 化點(diǎn)M的直角坐標(biāo)(x，y，z)為柱坐標(biāo)(ρ，θ，z)或球坐標(biāo)(r，θ，φ)，需要對(duì)公式以及進(jìn)行逆向變換， 得到以及 提醒　在由三角函數(shù)值求角時(shí)，要先結(jié)合圖形確定角的范圍再求值． (1)設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(1,1,1)，求它在柱坐標(biāo)系中的坐標(biāo)． (2)設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(1,1，)，求它的球坐標(biāo)． 【解】　(1)設(shè)M的柱坐標(biāo)為(ρ，θ，z)，則有 解之得ρ＝，θ＝. 因此，點(diǎn)M的柱坐標(biāo)為. (2)由坐標(biāo)變換公式，可得 r＝＝＝2. 由rcos θ＝z＝， 得cos θ＝＝，θ＝. 又tan φ＝＝1，φ＝(M在第一象限)， 從而知M點(diǎn)的球坐標(biāo)為. 　(教材第17頁(yè)習(xí)題4.1第16題)建立適當(dāng)?shù)那蜃鴺?biāo)系或柱坐標(biāo)系表示棱長(zhǎng)為3的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)． 　(xx洛陽(yáng)模擬)結(jié)晶體的基本單位稱(chēng)為晶胞，如圖4－1－8(1)是食鹽晶胞的示意圖(可看成是八個(gè)棱長(zhǎng)為的小正方體堆積成的正方體)．圖形中的點(diǎn)代表鈉原子，如圖4－1－8(2)，建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz后，試寫(xiě)出下層鈉原子所在位置的球坐標(biāo)、柱坐標(biāo)． 　　　　 　(1)　　　　 　　(2) 圖4－1－8 【命題意圖】　本題以食鹽晶胞為載體，主要考查柱坐標(biāo)系及球坐標(biāo)系在確定空間點(diǎn)的位置中的應(yīng)用． 【解】　下層的原子全部在xOy平面上，它們所在位置的豎坐標(biāo)全是0，所以這五個(gè)鈉原子所在位置的球坐標(biāo)分別為(0,0,0)，(1，，0)，(，，)，(1，，)，(，，)； 它們的柱坐標(biāo)分別為(0,0,0)，(1,0,0)，(，，0)，(1，，0)，(，，0)．  1．已知點(diǎn)A的柱坐標(biāo)為(1,0,1)，則點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為_(kāi)_______． 【解析】　由點(diǎn)A的柱坐標(biāo)為(1,0,1)知，ρ＝1，θ＝0，z＝1，故x＝ρcos θ＝1，y＝ρsin θ＝0，z＝1，所以直角坐標(biāo)為(1,0,1)． 【答案】　(1,0,1) 2．設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(－1，－1，)，則它的球坐標(biāo)為_(kāi)_______． 【解析】　由坐標(biāo)變換公式，r＝＝2. cos θ＝＝，θ＝.∵tan φ＝＝1， ∴φ＝π. 故M的球坐標(biāo)為. 【答案】　 3．已知點(diǎn)P的柱坐標(biāo)為，點(diǎn)B的球坐標(biāo)為，這兩個(gè)點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)分別為_(kāi)_______． 【解析】　設(shè)P(x y，z)，則x＝cos＝1，y＝sin＝1，z＝5， ∴P(1,1,5)． 設(shè)B(x，y，z)，則x＝sin cos ＝＝，y＝sinsin＝＝， z＝cos ＝＝. 故B(，，)． 【答案】　P(1,1,5)，B(，，) 4．把A(4，，2)、B(3，，－2)兩點(diǎn)的柱坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，則兩點(diǎn)間的距離為_(kāi)_______． 【解析】　點(diǎn)A化為直角坐標(biāo)為A(2，2,2)，點(diǎn)B化為直角坐標(biāo)為B. AB2＝2＋2＋(2＋2)2＝12＋－6＋4＋－6＋16＝41－6(＋)． 所以AB＝. 【答案】　 1．把下列各點(diǎn)的球坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)： (1)M；(2)N； (3)P. 【解】　(1)設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(x，y，z)，M在xOy平面內(nèi)的射影為M′，則OM′＝2 sin＝2.于是x＝2cos＝1，y＝2sin＝，z＝2cos＝0. 故點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(1，，0)． (2)x＝5sincos＝0，y＝5sinsin＝， z＝5cos＝－， 點(diǎn)N的直角坐標(biāo)為. (3)x＝9sincos＝－， y＝9sinsin＝，z＝9cos＝－. ∴點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為. 2．把下列各點(diǎn)的柱坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)： (1)Q；(2)R； (3)S. 【解】　(1)x＝0，y＝5， 故點(diǎn)Q的直角坐標(biāo)為 Q(0,5，－2)． (2)x＝6cos＝－3，y＝6sin＝3， 故點(diǎn)R的直角坐標(biāo)為R(－3,3，4)． (3)x＝8cos＝－4，y＝8sin＝－4，故點(diǎn)S的直角坐標(biāo)為S(－4，－4，－3)． 3．已知長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1的邊長(zhǎng)為AB＝14，AD＝6，AA1＝10，以這個(gè)長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以射線(xiàn)AB、AD、AA1分別為x、y、z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求長(zhǎng)方體頂點(diǎn)C1的空間直角坐標(biāo)、柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)． 【解】　如圖，C1點(diǎn)的直角坐標(biāo)(x，y，z)分別對(duì)應(yīng)著CD、BC、CC1；C1點(diǎn)的柱坐標(biāo)(ρ，θ，z)分別對(duì)應(yīng)著CA、∠BAC、CC1；C1點(diǎn)的球坐標(biāo)(r，θ，φ)分別對(duì)應(yīng)著AC1、∠BAC、∠A1AC1. C1點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)為(14,6,10)，C1點(diǎn)的柱坐標(biāo)為(其中tan θ＝)， C1點(diǎn)的球坐標(biāo)為(2，φ，θ)(其中cos φ＝，tan θ＝)． 4．在球坐標(biāo)面內(nèi)，方程r＝1表示空間中的什么曲面？方程θ＝表示空間中的什么曲面？ 【解】　方程r＝1表示球心在原點(diǎn)的單位球面；方程θ＝表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)，半頂角為的圓錐面，中心軸為z軸． 5．在球坐標(biāo)系中，求兩點(diǎn)P，Q的距離． 【解】　將P，Q兩點(diǎn)球坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)： P：x＝3sincos＝， y＝3sinsin＝， z＝3cos＝， ∴P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為. Q：x＝3sincos＝－， y＝3sinsin＝，z＝3cos＝， ∴Q點(diǎn)的直角坐標(biāo)為 . ∴|PQ|＝ ＝，即P、Q的距離為. 6．建立適當(dāng)?shù)闹鴺?biāo)系，表示棱長(zhǎng)為3的正四面體各個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)． 【解】　以正四面體的一個(gè)頂點(diǎn)B為極點(diǎn)O，選取以O(shè)為端點(diǎn)且與BD垂直的射線(xiàn)Ox為極軸，在面BCD上建立極坐標(biāo)系．過(guò)O點(diǎn)與面BCD垂直的線(xiàn)為z軸． 過(guò)A作AA′垂直于平面BCD，垂足為A′，則 BA′＝＝，AA′＝＝， ∠A′Bx＝－＝， 則A(，，)，B(0,0,0)，C(3，，0)，D(3，，0)． 7．一個(gè)圓形體育館，自正東方向起，按逆時(shí)針?lè)较虻确譃槭鶄€(gè)扇形區(qū)域，順次記為一區(qū)，二區(qū)，…，十六區(qū)，我們?cè)O(shè)圓形體育場(chǎng)第一排與體育館中心的距離為200 m，每相鄰兩排的間距為1 m，每層看臺(tái)的高度為0.7 m，現(xiàn)在需要確定第九區(qū)第四排正中的位置A，請(qǐng)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，把點(diǎn)A的坐標(biāo)求出來(lái)． 【解】　以圓形體育館中心O為極點(diǎn)，選取以O(shè)為端點(diǎn)且過(guò)正東入口的射線(xiàn)Ox為極軸，在地面上建立極坐標(biāo)系，則點(diǎn)A與體育場(chǎng)中軸線(xiàn)Oz的距離為203 m，極軸Ox按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)＝，就是OA在地平面上的射影，A距地面的高度為2.8 m，因此點(diǎn)A的柱坐標(biāo)為(203，，2.8)． 教師備選 8．如圖建立球坐標(biāo)系，正四面體ABCD的邊長(zhǎng)為1，求A、B、C、D的球坐標(biāo)(其中O是△BCD的中心)． 【解】　∵O是△BCD的中心， ∴OC＝OD＝OB＝，AO＝. ∴C(，，0)，D(，，)， B(，，)，A(，0,0)．