2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.1 空間幾何體 1.1.7 柱、錐、臺(tái)和球的體積教案 新人教B版必修2.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.1 空間幾何體 1.1.7 柱、錐、臺(tái)和球的體積教案 新人教B版必修2 教學(xué)分析 本節(jié)教材介紹了祖暅原理，并利用長(zhǎng)方體體積推導(dǎo)出了柱體的體積公式．利用柱體體積推導(dǎo)出了錐體和臺(tái)體的體積．直接給出了球的體積公式． 值得注意的是教學(xué)重點(diǎn)放在體積的計(jì)算和應(yīng)用，盡量在體積公式的推導(dǎo)上少“糾纏”． 三維目標(biāo) 1．掌握柱、錐、臺(tái)和球的體積公式，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力． 2．能夠利用體積公式解決有關(guān)應(yīng)用問(wèn)題，提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力． 重點(diǎn)難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)：體積的計(jì)算和應(yīng)用． 教學(xué)難點(diǎn)：體積公式的推導(dǎo)． 課時(shí)安排 1課時(shí) 導(dǎo)入新課 設(shè)計(jì)1.我們?cè)诔踔械膶W(xué)習(xí)中已經(jīng)會(huì)根據(jù)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高來(lái)計(jì)算長(zhǎng)方體的體積了，那么，棱柱、棱錐、棱臺(tái)以及圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積如何計(jì)算呢？ 設(shè)計(jì)2.被譽(yù)為世界七大奇跡之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲爾鐵塔落成前的四千多年的漫長(zhǎng)歲月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物．在四千多年前生產(chǎn)工具很落后的中古時(shí)代，埃及人是怎樣采集、搬運(yùn)數(shù)量如此之多，每塊又如此之重的巨石壘成如此宏偉的大金字塔的，真是一個(gè)十分難解的謎．胡夫大金字塔是一個(gè)正四棱錐外形的建筑，塔底邊長(zhǎng)230.4米，塔高146.6米，假如知道每塊石塊的體積，你能計(jì)算出建此金字塔用了多少石塊嗎？ 推進(jìn)新課 (1)回顧長(zhǎng)方體、正方體和圓柱的體積公式，你能將它們統(tǒng)一成一種形式嗎？并依次類比出柱體的體積公式？,(2)比較柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式：,V柱體＝Sh(S為底面積，h為柱體的高)；,V錐體＝ (S為底面積，h為錐體的高)；,V臺(tái)體＝ (S＋\r(SS′)＋S′)h(S′、S分別為上、下底面積，h為臺(tái)體的高).,你能發(fā)現(xiàn)三者之間的關(guān)系嗎？柱體、錐體是否可以看作“特殊”的臺(tái)體？其體積公式是否可以看作臺(tái)體體積公式的“特殊”形式？ 討論結(jié)果： (1)棱長(zhǎng)為a的正方體的體積V＝a3＝a2a＝Sh； 長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬和高分別為a、b、c，其體積為V＝abc＝(ab)c＝Sh； 底面半徑為r高為h的圓柱的體積是V＝πr2h＝Sh， 可以類比，一般的柱體的體積也是V＝Sh，其中S是底面面積，h為柱體的高． 圓錐的體積公式是V＝Sh(S為底面面積，h為高)，它是同底等高的圓柱的體積的. 棱錐的體積也是同底等高的棱柱體積的，即棱錐的體積V＝Sh(S為底面面積，h為高)． 由此可見(jiàn)，棱柱與圓柱的體積公式類似，都是底面面積乘高；棱錐與圓錐的體積公式類似，都是底面面積乘高的. 由于圓臺(tái)(棱臺(tái))是由圓錐(棱錐)截成的，因此可以利用兩個(gè)錐體的體積差，得到圓臺(tái)(棱臺(tái))的體積公式V＝(S′＋＋S)h，其中S′、S分別為上、下底面面積，h為圓臺(tái)(棱臺(tái))高． 注意：不要求推導(dǎo)公式，也不要求記憶． (2)柱體可以看作是上、下底面相同的臺(tái)體，錐體可以看作是有一個(gè)底面是一個(gè)點(diǎn)的臺(tái)體．因此柱體、錐體可以看作“特殊”的臺(tái)體．當(dāng)S′＝0時(shí)，臺(tái)體的體積公式變?yōu)殄F體的體積公式；當(dāng)S′＝S時(shí)，臺(tái)體的體積公式變?yōu)橹w的體積公式，因此，柱體、錐體的體積公式可以看作臺(tái)體體積公式的“特殊”形式． 柱體和錐體可以看作由臺(tái)體變化得到，柱體可以看作是上、下底面相同的臺(tái)體，錐體可以看作是有一個(gè)底面是一個(gè)點(diǎn)的臺(tái)體，因此很容易得出它們之間的體積關(guān)系，如下圖： 思路1 例1如下圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD—A′B′C′D′中，用截面截下一個(gè)棱錐C—A′DD′，求棱錐C—A′DD′的體積與剩余部分的體積之比． 解：已知長(zhǎng)方體可以看成直四棱柱ADD′A′—BCC′B′，設(shè)它的底面ADD′A′面積為S，高為h，則它的體積為V＝Sh. 因?yàn)槔忮FC—A′DD′的底面面積為S，高是h，所以棱錐C—A′DD′的體積VC—A′DD′＝Sh＝Sh. 余下的體積是Sh－Sh＝Sh. 所以棱錐C—A′DD′的體積與剩余部分的體積之比為1∶5. 變式訓(xùn)練 已知一正四棱臺(tái)的上底邊長(zhǎng)為4 cm，下底邊長(zhǎng)為8 cm，高為3 cm.求其體積． 解：V＝(S上＋S下＋)h＝(42＋82＋)3＝112(cm3)． 即正四棱臺(tái)的體積為112 cm3. 例2有一堆相同規(guī)格的六角螺帽毛坯(下圖)，共重5.8 kg.已知螺帽的底面六邊形邊長(zhǎng)是12 mm，高是10 mm，內(nèi)孔直徑是10 mm，這一堆螺帽約有多少個(gè)(鐵的密度是7.8 g/cm3，π≈3.14)? 解：六角螺帽毛坯的體積是一個(gè)正六棱柱的體積和一個(gè)圓柱的體積的差． 因?yàn)閂正六棱柱＝612(12sin60)10＝312210≈3.74103(mm3)， V圓柱＝3.14(102)210≈0.785103(mm3)， 所以一個(gè)螺帽的體積V＝3.74103－0.785103≈2.96103(mm3)＝2.96(cm3)． 因此約有5.8103(7.82.96)≈2.5102(個(gè))． 答：這堆螺帽約有250個(gè)． 變式訓(xùn)練 埃及胡夫金字塔大約建于公元前2580年，其形狀為正四棱錐．金字塔高146.6 m，底面邊長(zhǎng)230.4 m．問(wèn)這座金字塔的側(cè)面積和體積各是多少？ 解：如下圖，AC為高，BC為底面的邊心距，則AC＝146.6，BC＝115.2，底面周長(zhǎng)c＝4230.4. S側(cè)面積＝cAB＝4230.4≈85 916.2(m2)， V＝SAC＝230.42146.6≈2 594 046.0(m3)． 答：金字塔的側(cè)面積約是85 916.2 m2，體積約是2 594 046.0 m3. 思路2 例3如下圖所示，一個(gè)空間幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖為全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角邊長(zhǎng)為1，那么這個(gè)幾何體的體積為( ) A．1 B. C. D. 活動(dòng)：讓學(xué)生將三視圖還原為實(shí)物圖，討論和交流該幾何體的結(jié)構(gòu)特征． 解析：根據(jù)三視圖，可知該幾何體是三棱錐，下圖所示為該三棱錐的直觀圖，并且側(cè)棱PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC.則該三棱錐的高是PA，底面三角形是直角三角形，所以這個(gè)幾何體的體積為V＝S△ABCPA＝1＝. 答案：D 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查幾何體的三視圖和體積．給出幾何體的三視圖，求該幾何體的體積或面積時(shí)，首先根據(jù)三視圖確定該幾何體的結(jié)構(gòu)特征，再利用公式求得．此類題目成為新課標(biāo)高考的熱點(diǎn)，應(yīng)引起重視． 變式訓(xùn)練 1．如果一個(gè)空間幾何體的主視圖與左視圖均為全等的等邊三角形，俯視圖為一個(gè)半徑為1的圓及其圓心，那么這個(gè)幾何體的體積為( ) A. B. C.π D. 解析：由三視圖知該幾何體是圓錐，且軸截面是等邊三角形，其邊長(zhǎng)等于底面直徑2，則圓錐的高是軸截面等邊三角形的高為，所以這個(gè)幾何體的體積為V＝π12＝. 答案：A 2.已知某幾何體的俯視圖是如下圖所示的矩形，正視圖(或稱主視圖)是一個(gè)底邊長(zhǎng)為8、高為4的等腰三角形，側(cè)視圖(或稱左視圖)是一個(gè)底邊長(zhǎng)為6、高為4的等腰三角形． (1)求該幾何體的體積V； (2)求該幾何體的側(cè)面積S. 解：由三視圖可知該幾何體是一個(gè)底面邊長(zhǎng)分別為6、8的矩形，高為4的四棱錐．設(shè)底面矩形為ABCD.如下圖所示，AB＝8，BC＝6，高VO＝4. (1)V＝(86)4＝64. (2)設(shè)四棱錐側(cè)面VAD、VBC是全等的等腰三角形，側(cè)面VAB、VCD也是全等的等腰三角形， 在△VBC中，BC邊上的高為h1＝＝＝4， 在△VAB中，AB邊上的高為h2＝＝＝5. 所以此幾何體的側(cè)面積S＝2(64＋85)＝40＋24. 點(diǎn)評(píng)：高考試題中對(duì)面積和體積的考查有三種方式：一是給出三視圖，求其面積或體積；二是與組合體有關(guān)的面積和體積的計(jì)算；三是在解答題中，作為最后一問(wèn)，求出幾何體的面積或體積． 3．（xx 山東省煙臺(tái)市高三期末統(tǒng)考，文6）已知一個(gè)全面積為24的正方體，內(nèi)有一個(gè)與每條棱都相切的球，則此球的體積為 ( ) A. B．4π C. D. 解析：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則6a2＝24，解得a＝2，又球與正方體的每條棱都相切，則正方體的截面對(duì)角線長(zhǎng)2等于球的直徑，則球的半徑是，則此球的體積為π()3＝π. 答案：D 點(diǎn)評(píng)：球與其他幾何體的簡(jiǎn)單組合體問(wèn)題，通常借助于球的截面來(lái)明確構(gòu)成組合體的幾何體的結(jié)構(gòu)特征及其聯(lián)系，本題利用正方體的面的對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑這一隱含條件使得問(wèn)題順利獲解． 1．三個(gè)球的半徑之比為1∶2∶3，那么最大球的表面積是其余兩個(gè)球的表面積之和的 ( ) A．1倍 B．2倍 C.倍 D.倍 解析：根據(jù)球的表面積等于其大圓面積的4倍，可設(shè)最小的一個(gè)半徑為r，則另兩個(gè)為2r、3r，所以各球的表面積分別為4πr2、16πr2、36πr2，＝(倍)． 答案：C 2．（xx天津高考，理12）一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長(zhǎng)分別為1,2,3，則此球的表面積為_(kāi)_________． 解析：長(zhǎng)方體的對(duì)角線為＝，則球的半徑為，則球的表面積為4π()2＝14π. 答案：14π 3．一個(gè)正方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，若該球的體積為4π，則該正方體的表面積為_(kāi)_________． 解析：4π＝R3，∴R＝(R為球的半徑)． ∴a＝2R＝2. ∴a＝2(a為正方體棱長(zhǎng))． ∴S表＝6a2＝24. 答案：24 4.如下圖所示，圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，求證： (1)球的體積等于圓柱體積的； (2)球的表面積等于圓柱的側(cè)面積． 活動(dòng)：學(xué)生思考圓柱和球的結(jié)構(gòu)特征，并展開(kāi)空間想象．教師可以使用信息技術(shù)幫助學(xué)生讀懂圖形． 證明：(1)設(shè)球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R，高為2R. 則有V球＝πR3，V圓柱＝πR22R＝2πR3， 所以V球＝V圓柱． (2)因?yàn)镾球＝4πR2，S圓柱側(cè)＝2πR2R＝4πR2，所以S球＝S圓柱側(cè)． 5．養(yǎng)路處建造圓錐形倉(cāng)庫(kù)用于貯藏食鹽(供融化高速公路上的積雪之用)，已建的倉(cāng)庫(kù)的底面直徑為12 m，高4 m．養(yǎng)路處擬建一個(gè)更大的圓錐形倉(cāng)庫(kù)，以存放更多食鹽．現(xiàn)有兩種方案：一是新建的倉(cāng)庫(kù)的底面直徑比原來(lái)大4 m(高不變)；二是高度增加4 m(底面直徑不變)． (1)分別計(jì)算按這兩種方案所建的倉(cāng)庫(kù)的體積； (2)分別計(jì)算按這兩種方案所建的倉(cāng)庫(kù)的側(cè)面積； (3)哪個(gè)方案更經(jīng)濟(jì)些？ 解：(1)如果按方案一，倉(cāng)庫(kù)的底面直徑變成16 m，則倉(cāng)庫(kù)的體積 V1＝Sh＝π()24＝π(m3)． 如果按方案二，倉(cāng)庫(kù)的高變成8 m，則倉(cāng)庫(kù)的體積V2＝Sh＝π()28＝π(m3)． (2)如果按方案一，倉(cāng)庫(kù)的底面直徑變成16 m，半徑為8 m．棱錐的母線長(zhǎng)為l＝＝4. 則倉(cāng)庫(kù)的表面積S1＝π84＝32π(m2)． 如果按方案二，倉(cāng)庫(kù)的高變成8 m，棱錐的母線長(zhǎng)為l＝＝10， 則倉(cāng)庫(kù)的側(cè)面積S2＝π610＝60π(m2)． (3)∵V2>V1，S2下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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