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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.2.1向量的加法練習(xí)（含解析）蘇教版必修4 情景：請看如下問題： (1)如圖(1)，某人從A到B，再從B按原來的方向到C，則兩次位移的和＋應(yīng)該是________． (2)如圖(2)，飛機(jī)從A到B，再改變方向從B到C，則兩次位移的和＋應(yīng)該是________． (3)如圖(3)，船的速度是，水流速度是，則兩個速度的和＋應(yīng)該是________． 思考：從(1)(2)(3)的解答，你發(fā)現(xiàn)了一個什么規(guī)律？ 1．已知向量a、b在平面內(nèi)________，作＝a，＝b，則叫做a與b的和，記作________，即______________，求兩個向量和的運(yùn)算，叫做____________，上述方法稱為向量加法的________． 答案：是非零向量　a＋b　a＋b＝＋＝　向量的加法　三角形法則 2．以同一點(diǎn)A為起點(diǎn)的兩個已知向量a、b為________作?ABCD，則以________________就是a與b的和，這種方法叫做向量加法的________． 答案：鄰邊　A為起點(diǎn)的對角線　平行四邊形法則 3．a(chǎn)＋b＝__________；(a＋b)＋c＝__________； a＋0________＝________． 答案：b＋a　a＋(b＋c)　0a　a 4．向量的加法的幾何意義是______________________________． 答案：滿足平行四邊形法則和三角形法則 向量的加法 1．向量加法的定義． 已知向量a和b(如上圖)，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作＝a，＝b，則叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝＋＝. 求兩個向量和的運(yùn)算叫做向量的加法． 對于零向量和任一向量a，有a＋00a＝a. 對于相反向量，有a＋(－a)＝(－a)＋a＝0. 2．向量加法運(yùn)算律． 向量的加法滿足交換律和結(jié)合律，即 a＋b＝b＋a，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 3．向量加法運(yùn)算的幾何意義． (1)向量加法的三角形法則． 根據(jù)向量加法的定義得出的求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則． 對三角形法則的理解： 我們知道，向量加法的三角形法則是： 若a＝，b＝，則a＋b＝＋＝(如右圖所示)． 向量加法的三角形法則的式子內(nèi)容是：兩個向量(均指用兩個字母表示的向量)相加，則表示第一個向量終點(diǎn)的字母與表示第二個向量起點(diǎn)的字母必須相同(否則無法相加)，這樣兩個向量的和向量是以第一個向量的起點(diǎn)的字母為起點(diǎn)，以第二個向量的終點(diǎn)的字母為終點(diǎn)的向量． 位移的合成可以看做是向量加法三角形法則的物理模型(力的合成可以看做向量加法平行四邊形的物理模型)． (2)向量加法的平行四邊形法則． 如右圖，以同一點(diǎn)O為起點(diǎn)的兩個已知向量a、b為鄰邊作平行四邊形，則以O(shè)為起點(diǎn)的對角線就是a與b的和．我們把這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則． 1．在四邊形ABCD中，＝＋，則(　　) A．ABCD一定為矩形 B．ABCD一定為菱形 C．ABCD一定為正方形 D．ABCD一定為平行四邊形 答案：D 2．下列結(jié)論中，不正確的是(　　) A．0＋a＝a B.＋＝2 C．對于任意向量a，b，|a＋b|≥0 D．對于任意向量a，b，||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b| 答案：B 3．在矩形ABCD中，等于_____________________________． 答案：＋ 或＋ 或＋4．如右圖，已知四邊形ABCD是梯形，AB∥CD，E、F、G、H分別是AD、BC、AB、CD的中點(diǎn)，則等于________． 答案：＋ 5．(＋)＋(＋)＋化簡后等于________． 答案： 6.＋＋＋＋＝________． 答案：0 7．已知△ABC是正三角形，則在下列各等式中不成立的是(　　) A．|＋|＝|＋| B．|＋|＝|＋| C．|＋|＝|＋| D．|＋＋|＝|＋＋| 解析：作出正三角形ABC，AD、CE分別是三角形的中線，利用平行四邊形法則： |＋|＝2||，|＋|＝2||. 又∵△ABC為正三角形，∴||＝||.故C項(xiàng)正確．A、D兩項(xiàng)直接利用三角形法則判斷也是正確的，只有B項(xiàng)不正確． 答案：B 8．如圖，已知△ABC是直角三角形且∠A＝90.則在下列各結(jié)論中，正確的結(jié)論個數(shù)為________． ①|(zhì)＋|＝|| ②|＋|＝|| ③|＋|＝|| ④||2＋||2＝||2 解析：以、為鄰邊作平行四邊形ABDC，則ABDC為矩形，而矩形的對角線相等，故①③均正確，另外兩個可直接求解也是正確的． 答案：4個 9．向量a、b滿足|a|＝6，|b|＝10，則|a＋b|的最大值是________，最小值是________． (1) 解析：當(dāng)a、b不共線時，如圖(1)，作＝a，＝b，則＝a＋b.由向量加法的幾何意義知|a＋b|＜|a|＋|b|＝16. 當(dāng)a、b共線同向時，如圖(2)，作＝a，＝b，＝a＋b，由向量加法的幾何意義可知||＝|a＋b|＝|a|＋|b|＝16. (2) 當(dāng)a、b共線反向時：如圖(3)所示，作＝a，＝b，則＝a＋b，由向量加法的幾何意義可知|a＋b|＝|b|－|a|＝10－6＝4， ∴|a＋b|的最大值為16，最小值為4. (3) 本題也可以直接利用||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|求解． 答案：16　4 10．如圖所示，用兩根繩子把重為10 N的物體W吊在水平桿AB上，∠ACW＝150，∠BCW＝120，求A和B處所受力的大小(繩子的重量忽略不計)． 解析：設(shè)，分別表示A，B處所受的力，10 N的重力用表示， 則＋＝. 因?yàn)椤螮CG＝180－150＝30， ∠FCG＝180－120＝60， 所以||＝||cos 30＝10＝5(N)， ||＝||cos 60＝10＝5(N)． 故A和B處所受力的大小分別為5 N，5 N. 11．如圖，△ABC中，∠BAC＝90，AD⊥BC于點(diǎn)D，求證： ||2＝|＋|2＋|＋|2. 解析：如圖，由于∠BAC＝90，AD⊥BC，因此，若以DB，DA為鄰邊作矩形ADBE，則 ||＝||，且＋＝. 所以|＋|2＝||2＝||2. 同理|＋|2＝||2， 所以|＋|2＋|＋|2＝||2＋||2＝||2， 即||2＝|＋|2＋|＋|2. 12．如下圖：平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，P為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，求證：＋＋＋＝4. 證明：＝＋，① ＝＋，② ＝＋，③ ＝＋，④ ∵O為平行四邊形ABCD對角線的交點(diǎn)， ∴＝＝－，＝＝－. ①＋②＋③＋④，得4＝＋＋＋＋(＋)＋(＋)＝＋＋＋＋00， ∴＋＋＋＝4.