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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 空間幾何體 板塊三 空間幾何體的表面積和體積完整講義（學(xué)生版） 典例分析 空間幾何體的表面積和體積計(jì)算 棱柱 【例1】 將一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方體，切成27個(gè)全等的小正方體，則表面積增加了 （ ） A． B． C． D． 【例2】 長(zhǎng)方體的全面積為，條棱長(zhǎng)度之和為，則長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線長(zhǎng)為（ ） A． B． C． D． 【例3】 一個(gè)長(zhǎng)方體共一個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別為，，，這個(gè)長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為_____. 【例4】 正三棱柱側(cè)面的一條對(duì)角線長(zhǎng)為2，且與底邊的夾角為角，則此三棱柱的體積為 （ ） A． B． C． D． 【例5】 （xx四川）已知正四棱柱的對(duì)角線的長(zhǎng)為，且對(duì)角線與底面所成角的余弦值為，則該正四棱柱的體積等于 ． 【例6】 長(zhǎng)方體中共點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為，，，分別過這三條棱中的一條及其對(duì)棱的對(duì)角面的面積分別記為，，，則（　　?。? A．　　　B．　　　　C．　　D． 【例7】 （xx陜西10）若正方體的棱長(zhǎng)為，則以該正方體各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的凸多面體的體積為（ ） A． B． C． D． 【例8】 底面是菱形的直棱柱，它的對(duì)角線的長(zhǎng)分別是9和15，高是5，求這個(gè)棱柱的側(cè)面積． 【例9】 （xx四川文12）若三棱柱的一個(gè)側(cè)面是邊長(zhǎng)為的正方形，另外兩個(gè)側(cè)面都是有一個(gè)內(nèi)角為的菱形，則該棱柱的體積等于（ ） A． B． C． D． 【例10】 在體積為的斜三棱柱中，是上的一點(diǎn)，的體積為3，則三棱錐的體積為（ ） A．1 B． C．2 D．3 【例11】 直三棱柱各側(cè)棱和底面邊長(zhǎng)均為，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)，連結(jié)，，，，則三棱錐的體積（ ） A． B． C． D． 【例12】 如圖，在三棱柱中，若，分別為，的中點(diǎn)，平面將三棱柱分成體積為，的兩部分，那么 ． 【例13】 （xx上海春季）有兩個(gè)相同的直三棱柱，高為，底面三角形的三邊長(zhǎng)分別為、、． 用它們拼成一個(gè)三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面積最小的是一個(gè)四棱柱，則的取值范圍是 ． 【例14】 平行六面體中，在從點(diǎn)出發(fā)的三條棱上分別取其中點(diǎn)，則棱錐的體積與平行六面體體積的比值為________． 【例15】 如圖，在長(zhǎng)方體中，，，，分別過，的兩個(gè)平行截面將長(zhǎng)方體分成三部分，其體積分別記為，，，若，則截面的面積為 ． 棱錐 【例16】 側(cè)面都是直角三角形的正三棱錐，若底面邊長(zhǎng)為，則三棱錐的全面積是多少？ 【例17】 側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)相等的正三棱錐稱為正四面體，則棱長(zhǎng)為的正四面體的體積是________； 【例18】 已知正三棱錐的側(cè)面積為18 cm，高為3cm． 求它的體積． 【例19】 已知正四棱錐底面正方形的邊長(zhǎng)為，高與斜高的夾角為，求正四棱錐的全面積與體積． 【例20】 正棱錐的高增為原來(lái)的倍，底面邊長(zhǎng)縮為原來(lái)的，那么體積（ ） A．縮為原來(lái)的 B．增為原來(lái)的倍 C．沒有變化 D．以上結(jié)論都不對(duì) 【例21】 （xx遼寧11）正六棱錐中，為的中點(diǎn)，則三棱錐與三棱錐體積之比為（ ） A． B． C． D． 棱臺(tái) 【例22】 正三棱臺(tái)中，已知，棱臺(tái)的側(cè)面積為，分別為上、下底面正三角形的中心，為棱臺(tái)的斜高，，求上底面的邊長(zhǎng)． 【例23】 已知三棱臺(tái)中，，高． ⑴求三棱錐的體積 ⑵求三棱錐的體積 ⑶求三棱錐的體積 【例24】 正四棱臺(tái)的斜高為4，側(cè)棱長(zhǎng)為5，側(cè)面積為64，求棱臺(tái)上、下底的邊長(zhǎng)． 【例25】 已知正六棱臺(tái)的上，下底面邊長(zhǎng)分別為和，高為，則其體積為_______． 圓柱 【例26】 軸截面是正方形的圓柱叫等邊圓柱．已知：等邊圓柱的底面半徑為r，求全面積． 圓錐 【例27】 軸截面是正三角形的圓錐叫等邊圓錐．已知：等邊圓錐底面半徑為r，求全面積． 【例28】 已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，且這個(gè)圓錐的體積為．求圓錐的表面積． 【例29】 將圓心角為，面積為的扇形，作為圓錐的側(cè)面，求圓錐的表面積和體積． 【例30】 如圖，圓錐形封閉容器，高為h，圓錐內(nèi)水面高為若將圓錐倒置后，圓錐內(nèi)水面高為 圓臺(tái) 【例31】 已知圓臺(tái)的上下底面半徑分別是、，且側(cè)面面積等于兩底面面積之和，求該圓臺(tái)的母線長(zhǎng)． 【例32】 圖中所示的圓及其外切正方形繞圖中由虛線表示的對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一周生成的幾何體稱為圓柱容球，求證：在圓柱容球中，球的體積是圓柱體積的，球的表面積也是圓柱全面積的． 旋轉(zhuǎn)體 【例33】 如圖所示，半徑為的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑所在直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周得到一幾何體，求該幾何體的表面積（其中）． 【例34】 如圖，在四邊形中，，，，，，求四邊形繞旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積及體積． 【例35】 如圖所示，已知等腰梯形的上底，下底，底角，現(xiàn)繞腰旋轉(zhuǎn)一周，求所得的旋轉(zhuǎn)體的體積． 【例36】 在中，，，（如圖所示），若將繞直線旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積是（ ） A． B． C． D． 球體 【例37】 球的體積與其表面積的數(shù)值相等，則球的半徑等于（ ） A． B．1 C．2 D．3 【例38】 一平面截一球得到直徑是的圓面，球心到這個(gè)平面的距離，求該球的表面積與體積． 【例39】 直徑為10cm的一個(gè)大金屬球，熔化后鑄成若干個(gè)直徑為2cm的小球，如果不計(jì)損耗，可鑄成這樣的小球的個(gè)數(shù)為（ ） A．5 B．15 C．25 D．125 【例40】 （09年西城區(qū)期末考試12）若，兩點(diǎn)在半徑為2的球面上，且以線段為直徑的小圓周長(zhǎng)為，則此球的表面積為___________，，兩點(diǎn)間的球面距離為__________． 【例41】 已知一個(gè)球的直徑為，一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為，如果它們的表面積相等，則（ ） A． 且 B． 且 C． 且 D． 且 【例42】 已知球的表面積為，球面上有、、三點(diǎn)．如果，，則球心到平面的距離為（ ） A． B． C． D． 【例43】 平面截球得到半徑是的圓面，球心到這個(gè)平面的距離是，則該球的表面積是（ ） A． B． C． D． 【例44】 （xx全國(guó)II）過球的一條半徑的中點(diǎn)，作垂直于該半徑的平面，則所得截面的面積與球的表面積的比為（ ） A． B． C． D． 【例45】 設(shè)、、、是球面上的四個(gè)點(diǎn)，且在同一平面內(nèi)，，球心到該平面的距離是球半徑的一半，則球的體積是（ ） A． B． C． D． 【例46】 把四個(gè)半徑都是1的球中的三個(gè)放在桌面上，使它兩兩外切，然后在它們上面放上第四個(gè)球，使它與前三個(gè)都相切，求第四個(gè)球的最高點(diǎn)與桌面的距離． 【例47】 球面上有三點(diǎn)，，組成這個(gè)球的一個(gè)截面的內(nèi)接三角形三個(gè)頂點(diǎn)，已知球的半徑為，且，兩點(diǎn)的球面距離為，，兩點(diǎn)及，兩點(diǎn)的球面距離均為，球心到這個(gè)截面的距離為，求球的表面積．