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2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第03講 函數(shù)的基本性質(zhì)教案 新人教版
一.課標(biāo)要求
1.通過(guò)已學(xué)過(guò)的函數(shù)特別是二次函數(shù),理解函數(shù)的單調(diào)性、最大(?。┲导捌鋷缀我饬x;
2.結(jié)合具體函數(shù),了解奇偶性的含義;
二.命題走向
從近幾年來(lái)看,函數(shù)性質(zhì)是高考命題的主線索,不論是何種函數(shù),必須與函數(shù)性質(zhì)相關(guān)聯(lián),因此在復(fù)習(xí)中,針對(duì)不同的函數(shù)類別及綜合情況,歸納出一定的復(fù)習(xí)線索。
預(yù)測(cè)xx年高考的出題思路是:通過(guò)研究函數(shù)的定義域、值域,進(jìn)而研究函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性以及最值。
預(yù)測(cè)明年的對(duì)本講的考察是:
(1)考察函數(shù)性質(zhì)的選擇題1個(gè)或1個(gè)填空題,還可能結(jié)合導(dǎo)數(shù)出研究函數(shù)性質(zhì)的大題;
(2)以中等難度、題型新穎的試題綜合考察函數(shù)的性質(zhì),以組合形式、一題多角度考察函數(shù)性質(zhì)預(yù)計(jì)成為新的熱點(diǎn)。
三.要點(diǎn)精講
1.奇偶性
(1)定義:如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(-x)=-f(x),則稱f(x)為奇函數(shù);如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(-x)=f(x),則稱f(x)為偶函數(shù)。
如果函數(shù)f(x)不具有上述性質(zhì),則f(x)不具有奇偶性.如果函數(shù)同時(shí)具有上述兩條性質(zhì),則f(x)既是奇函數(shù),又是偶函數(shù)。
注意:
函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性,函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì);
由函數(shù)的奇偶性定義可知,函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件是,對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,則-x也一定是定義域內(nèi)的一個(gè)自變量(即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)。
(2)利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟:
首先確定函數(shù)的定義域,并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;
確定f(-x)與f(x)的關(guān)系;
作出相應(yīng)結(jié)論:
若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,則f(x)是偶函數(shù);
若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,則f(x)是奇函數(shù)。
(3)簡(jiǎn)單性質(zhì):
①圖象的對(duì)稱性質(zhì):一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;
②設(shè),的定義域分別是,那么在它們的公共定義域上:
奇+奇=奇,奇奇=偶,偶+偶=偶,偶偶=偶,奇偶=奇
2.單調(diào)性
(1)定義:一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮, 如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1,x2,當(dāng)x1
f(x2)),那么就說(shuō)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)(減函數(shù));
注意:
函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì),是函數(shù)的局部性質(zhì);
必須是對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1,x2;當(dāng)x10與a <0兩類討論,
①當(dāng)a >0時(shí),
,∴當(dāng)a >0時(shí),f(x)為奇函數(shù);
既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).
點(diǎn)評(píng):判斷函數(shù)的奇偶性是比較基本的問(wèn)題,難度不大,解決問(wèn)題時(shí)應(yīng)先考察函數(shù)的定義域,若函數(shù)的解析式能化簡(jiǎn),一般應(yīng)考慮先化簡(jiǎn),但化簡(jiǎn)必須是等價(jià)變換過(guò)程(要保證定義域不變)。
例2.(xx天津文.16)設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)內(nèi)有定義,下列函數(shù):①y=-|f(x)|;②y=xf(x2);③y=-f(-x);④y=f(x)-f(-x)。
必為奇函數(shù)的有_____(要求填寫正確答案的序號(hào))
答案:②④;解析:y=(-x)f[(-x)2]=-xf(x2)=-y;y=f(-x)-f(x)=-y。
點(diǎn)評(píng):該題考察了判斷抽象函數(shù)奇偶性的問(wèn)題。對(duì)學(xué)生邏輯思維能力有較高的要求。
題型二:奇偶性的應(yīng)用
例3.(xx上海春,4)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),若當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=log3(1+x),則f(-2)=____ _。
答案:-1;解:因?yàn)閤≥0時(shí),f(x)=log3(1+x),又f(x)為奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),設(shè)x<0,所以f(x)=-f(-x)=-f(1-x),所以f(-2)=-log33=-1。
點(diǎn)評(píng):該題考察函數(shù)奇偶性的應(yīng)用。解題思路是利用函數(shù)的奇偶性得到函數(shù)在對(duì)稱區(qū)域上函數(shù)的取值。
例4.已知定義在R上的函數(shù)y= f(x)滿足f(2+x)= f(2-x),且f(x)是偶函數(shù),當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)=2x-1,求x∈[-4,0]時(shí)f(x)的表達(dá)式。
解:由條件可以看出,應(yīng)將區(qū)間[-4,0]分成兩段考慮:
①若x∈[-2,0],-x∈[0,2],
∵f(x)為偶函數(shù),
∴當(dāng)x∈[-2,0]時(shí),f(x)= f(-x)=-2x-1,
②若x∈[-4,-2,
∴4+ x∈[0,2,
∵f(2+x)+ f(2-x),
∴f(x)= f(4-x),
∴f(x)= f(-x)= f[4-(-x)]= f(4+x)=2(x+4)-1=2x+7;
綜上,
點(diǎn)評(píng):結(jié)合函數(shù)的數(shù)字特征,借助函數(shù)的奇偶性,處理函數(shù)的解析式。
題型三:判斷證明函數(shù)的單調(diào)性
例5.(xx天津,19)設(shè),是上的偶函數(shù)。
(1)求的值;(2)證明在上為增函數(shù)。
解:(1)依題意,對(duì)一切,有,即。
∴對(duì)一切成立,則,∴,
∵,∴。
(2)(定義法)設(shè),則
,
由,得,,
∴,
即,∴在上為增函數(shù)。
(導(dǎo)數(shù)法)∵,
∴
∴在上為增函數(shù)
點(diǎn)評(píng):本題用了兩種方法:定義法和導(dǎo)數(shù)法,相比之下導(dǎo)數(shù)法比定義法更為簡(jiǎn)潔。
例6.已知f(x)是定義在R上的增函數(shù),對(duì)x∈R有f(x)>0,且f(5)=1,設(shè)F(x)= f(x)+,討論F (x)的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論。
解:這是抽角函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題,應(yīng)該用單調(diào)性定義解決。
在R上任取x1、x2,設(shè)x110時(shí)f(x)>1;
① 若x1x1>5,則f(x2)>f(x1)>1 ,
∴f(x1)f(x2)>1,
∴>0,
∴ F(x2)> F (x1);
綜上,F(xiàn) (x)在(-∞,5)為減函數(shù),在(5,+∞)為增函數(shù)。
點(diǎn)評(píng):該題屬于判斷抽象函數(shù)的單調(diào)性。抽象函數(shù)問(wèn)題是函數(shù)學(xué)習(xí)中一類比較特殊的問(wèn)題,其基本能力是變量代換、換元等,應(yīng)熟練掌握它們的這些特點(diǎn)。
題型四:函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
例7.(xx春季北京、安徽,12)設(shè)函數(shù)f(x)=(a>b>0),求f(x)的單調(diào)區(qū)間,并證明f(x)在其單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性。
.解:在定義域內(nèi)任取x1<x2,
∴f(x1)-f(x2)=
,
∵a>b>0,∴b-a<0,x1-x2<0,
只有當(dāng)x1<x2<-b或-b<x1<x2時(shí)函數(shù)才單調(diào).
當(dāng)x1<x2<-b或-b<x1<x2時(shí)f(x1)-f(x2)>0.
∴f(x)在(-b,+∞)上是單調(diào)減函數(shù),在(-∞,-b)上是單調(diào)減函數(shù).
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的基本知識(shí)。對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性的定義求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。
例8.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)已知若試確定的單調(diào)區(qū)間和單調(diào)性。
解:(1)函數(shù)的定義域?yàn)椋?
分解基本函數(shù)為、
顯然在上是單調(diào)遞減的,而在上分別是單調(diào)遞減和單調(diào)遞增的。根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)則:
所以函數(shù)在上分別單調(diào)遞增、單調(diào)遞減。
(2)解法一:函數(shù)的定義域?yàn)镽,
分解基本函數(shù)為和。
顯然在上是單調(diào)遞減的,上單調(diào)遞增;
而在上分別是單調(diào)遞增和單調(diào)遞減的。且,
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)則:
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為;單調(diào)減區(qū)間為。
解法二:,
,
令 ,得或,
令 ,或
∴單調(diào)增區(qū)間為;單調(diào)減區(qū)間為。
點(diǎn)評(píng):該題考察了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性。要記住“同向增、異向減”的規(guī)則。
題型五:?jiǎn)握{(diào)性的應(yīng)用
例9.已知偶函數(shù)f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),且f(2)=0,解不等式f[log2(x2+5x+4)]≥0。
解:∵f(2)=0,∴原不等式可化為f[log2(x2+5x+4)]≥f(2)。
又∵f(x)為偶函數(shù),且f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),
∴f(x)在(-∞,0)上為減函數(shù)且f(-2)=f(2)=0。
∴不等式可化為 log2(x2+5x+4)≥2 ?、?
或 log2(x2+5x+4)≤-2 ②
由①得x2+5x+4≥4,∴x≤-5或x≥0 ③
由②得0<x2+5x+4≤得
≤x<-4或-1<x≤ ④
由③④得原不等式的解集為
{x|x≤-5或≤x≤-4或-1<x≤或x≥0。
例10.已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f(x)在[0,+∞]上是增函數(shù),是否存在實(shí)數(shù)m,使f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)>f(0)對(duì)所有θ∈[0,]都成立?若存在,求出符合條件的所有實(shí)數(shù)m的范圍,若不存在,說(shuō)明理由。
解:∵f(x)是R上的奇函數(shù),且在[0,+∞]上是增函數(shù),
∴f(x)是R上的增函數(shù),于是不等式可等價(jià)地轉(zhuǎn)化為f(cos2θ-3)>f(2mcosθ-4m),
即cos2θ-3>2mcosθ-4m,即cos2θ-mcosθ+2m-2>0。
設(shè)t=cosθ,則問(wèn)題等價(jià)地轉(zhuǎn)化為函數(shù)
g(t)=t2-mt+2m-2=(t-)2-+2m-2在[0,1]上的值恒為正,又轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(t)在[0,1]上的最小值為正。
∴當(dāng)<0,即m<0時(shí),g(0)=2m-2>0m>1與m<0不符;
當(dāng)0≤≤1時(shí),即0≤m≤2時(shí),g(m)=-+2m-2>04-21,即m>2時(shí),g(1)=m-1>0m>1。
∴m>2
綜上,符合題目要求的m的值存在,其取值范圍是m>4-2。
另法(僅限當(dāng)m能夠解出的情況): cos2θ-mcosθ+2m-2>0對(duì)于θ∈[0,]恒成立,等價(jià)于m>(2-cos2θ)/(2-cosθ) 對(duì)于θ∈[0,]恒成立
∵當(dāng)θ∈[0,]時(shí),(2-cos2θ)/(2-cosθ) ≤4-2,∴m>4-2。
點(diǎn)評(píng):上面兩例子借助于函數(shù)的單調(diào)性處理了恒成立問(wèn)題和不等式的求解問(wèn)題。
題型六:最值問(wèn)題
例11.(xx全國(guó)理,21)設(shè)a為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R。
(1)討論f(x)的奇偶性;(2)求f(x)的最小值。
解:(1)當(dāng)a=0時(shí),函數(shù)f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x),此時(shí)f(x)為偶函數(shù)。
當(dāng)a≠0時(shí),f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,f(-a)≠f(a),f(-a)≠-f(a)。
此時(shí)函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)。
(2)①當(dāng)x≤a時(shí),函數(shù)f(x)=x2-x+a+1=(x-)2+a+。
若a≤,則函數(shù)f(x)在(-∞,a)上單調(diào)遞減,從而,函數(shù)f(x)在(-∞,a)上的最小值為f(a)=a2+1。
若a>,則函數(shù)f(x)在(-∞,a上的最小值為f()=+a,且f()≤
f(a)。
②當(dāng)x≥a時(shí),函數(shù)f(x)=x2+x-a+1=(x+)2-a+。
若a≤-,則函數(shù)f(x)在[a,+∞上的最小值為f(-)=-a,且f(-)≤f(a)。
若a>-,則函數(shù)f(x)在[a,+∞]上單調(diào)遞增,從而,函數(shù)f(x)在[a,+∞]上的最小值為f(a)=a2+1。
綜上,當(dāng)a≤-時(shí),函數(shù)f(x)的最小值是-a。
當(dāng)-<a≤時(shí),函數(shù)f(x)的最小值是a2+1。
當(dāng)a>時(shí),函數(shù)f(x)的最小值是a+。
點(diǎn)評(píng):函數(shù)奇偶性的討論問(wèn)題是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本問(wèn)題,如果平時(shí)注意知識(shí)的積累,對(duì)解此題會(huì)有較大幫助.因?yàn)閤∈R,f(0)=|a|+1≠0,由此排除f(x)是奇函數(shù)的可能性.運(yùn)用偶函數(shù)的定義分析可知,當(dāng)a=0時(shí),f(x)是偶函數(shù),第2題主要考查學(xué)生的分類討論思想、對(duì)稱思想。
例12.設(shè)m是實(shí)數(shù),記M={m|m>1},f(x)=log3(x2-4mx+4m2+m+)。
(1)證明:當(dāng)m∈M時(shí),f(x)對(duì)所有實(shí)數(shù)都有意義;反之,若f(x)對(duì)所有實(shí)數(shù)x都有意義,則m∈M;
(2)當(dāng)m∈M時(shí),求函數(shù)f(x)的最小值;
(3)求證:對(duì)每個(gè)m∈M,函數(shù)f(x)的最小值都不小于1。
(1)證明:先將f(x)變形:f(x)=log3[(x-2m)2+m+],
當(dāng)m∈M時(shí),m>1,∴(x-m)2+m+>0恒成立,
故f(x)的定義域?yàn)镽。
反之,若f(x)對(duì)所有實(shí)數(shù)x都有意義,則只須x2-4mx+4m2+m+>0。
令Δ<0,即16m2-4(4m2+m+)<0,解得m>1,故m∈M。
(2)解析:設(shè)u=x2-4mx+4m2+m+,
∵y=log3u是增函數(shù),
∴當(dāng)u最小時(shí),f(x)最小。
而u=(x-2m)2+m+,
顯然,當(dāng)x=m時(shí),u取最小值為m+,
此時(shí)f(2m)=log3(m+)為最小值。
(3)證明:當(dāng)m∈M時(shí),m+=(m-1)+ +1≥3,
當(dāng)且僅當(dāng)m=2時(shí)等號(hào)成立。
∴l(xiāng)og3(m+)≥log33=1。
點(diǎn)評(píng):該題屬于函數(shù)最值的綜合性問(wèn)題,考生需要結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)以及二次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行處理。
題型七:周期問(wèn)題
例13.若y=f(2x)的圖像關(guān)于直線和對(duì)稱,則f(x)的一個(gè)周期為( )
A. B. C. D.
解:因?yàn)閥=f(2x)關(guān)于對(duì)稱,所以f(a+2x)=f(a-2x)。
所以f(2a-2x)=f[a+(a-2x)]=f[a-(a-2x)]=f(2x)。
同理,f(b+2x) =f(b-2x),
所以f(2b-2x)=f(2x),
所以f(2b-2a+2x)=f[2b-(2a-2x)]=f(2a-2x)=f(2x)。
所以f(2x)的一個(gè)周期為2b-2a,
故知f(x)的一個(gè)周期為4(b-a)。選項(xiàng)為D。
點(diǎn)評(píng):考察函數(shù)的對(duì)稱性以及周期性,類比三角函數(shù)中的周期變換和對(duì)稱性的解題規(guī)則處理即可。若函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a和x=b對(duì)稱(a≠b),則這個(gè)函數(shù)是周期函數(shù),其周期為2(b-a)。
例14.已知函數(shù)是定義在上的周期函數(shù),周期,函數(shù)是奇函數(shù)又知在上是一次函數(shù),在上是二次函數(shù),且在時(shí)函數(shù)取得最小值。
①證明:;
②求的解析式;
③求在上的解析式。
解:∵是以為周期的周期函數(shù),
∴,
又∵是奇函數(shù),
∴,
∴。
②當(dāng)時(shí),由題意可設(shè),
由得,
∴,
∴。
③∵是奇函數(shù),
∴,
又知在上是一次函數(shù),
∴可設(shè),而,
∴,∴當(dāng)時(shí),,
從而當(dāng)時(shí),,故時(shí),。
∴當(dāng)時(shí),有,
∴。
當(dāng)時(shí),,
∴
∴。
點(diǎn)評(píng):該題屬于普通函數(shù)周期性應(yīng)用的題目,周期性是函數(shù)的圖像特征,要將其轉(zhuǎn)化成數(shù)字特征。
五.思維總結(jié)
1.判斷函數(shù)的奇偶性,必須按照函數(shù)的奇偶性定義進(jìn)行,為了便于判斷,常應(yīng)用定義的等價(jià)形式:f(-x)= f(x)f(-x) f(x)=0;
2.對(duì)函數(shù)奇偶性定義的理解,不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)這兩個(gè)等式上,要明確對(duì)定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x)的實(shí)質(zhì)是:函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱這是函數(shù)具備奇偶性的必要條件。稍加推廣,可得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱的充要條件是對(duì)定義域內(nèi)的任意x,都有f(x+a)=f(a-x)成立函數(shù)的奇偶性是其相應(yīng)圖象的特殊的對(duì)稱性的反映;
3.若奇函數(shù)的定義域包含0,則f(0)=0,因此,“f(x)為奇函數(shù)”是"f(0)=0"的非充分非必要條件;
4.奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,因此根據(jù)圖象的對(duì)稱性可以判斷函數(shù)的奇偶性。
5.若存在常數(shù)T,使得f(x+T)=f(x)對(duì)f(x)定義域內(nèi)任意x恒成立,則稱T為函數(shù)f(x)的周期,一般所說(shuō)的周期是指函數(shù)的最小正周期周期函數(shù)的定義域一定是無(wú)限集。
6.單調(diào)性是函數(shù)學(xué)習(xí)中非常重要的內(nèi)容,應(yīng)用十分廣泛,由于新教材增加了“導(dǎo)數(shù)”的內(nèi)容,所以解決單調(diào)性問(wèn)題的能力得到了很大的提高,因此解決具體函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題,一般求導(dǎo)解決,而解決與抽象函數(shù)有關(guān)的單調(diào)性問(wèn)題一般需要用單調(diào)性定義解決。注意,關(guān)于復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的知識(shí)一般用于簡(jiǎn)單問(wèn)題的分析,嚴(yán)格的解答還是應(yīng)該運(yùn)用定義或求導(dǎo)解決。
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