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2019-2020年高中數(shù)學 第三章《基本不等式》教案1 新人教A版必修5 授課類型：新授課 【教學目標】 1．知識與技能：學會推導并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號“≥”取等號的條件是：當且僅當這兩個數(shù)相等； 2．過程與方法：通過實例探究抽象基本不等式； 3．情態(tài)與價值：通過本節(jié)的學習，體會數(shù)學來源于生活，提高學習數(shù)學的興趣 【教學重點】 應用數(shù)形結合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式的證明過程； 【教學難點】 基本不等式等號成立條件 【教學過程】 1.課題導入 基本不等式的幾何背景： 如圖是在北京召開的第24界國際數(shù)學家大會的會標，會標是根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表中國人民熱情好客。你能在這個圖案中找出一些相等關系或不等關系嗎？ 教師引導學生從面積的關系去找相等關系或不等關系。 2.講授新課 1．探究圖形中的不等關系 將圖中的“風車”抽象成如圖，在正方形ABCD中右個全等的直角三角形。設直角三角形的兩條直角邊長為a,b那么正方形的邊長為。這樣，4個直角三角形的面積的和是2ab，正方形的面積為。由于4個直角三角形的面積小于正方形的面積，我們就得到了一個不等式：。 當直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切危碼=b時，正方形EFGH縮為一個點，這時有。 2．得到結論：一般的，如果 3．思考證明：你能給出它的證明嗎？ 證明：因為 當 所以，，即 4．1）從幾何圖形的面積關系認識基本不等式 特別的，如果a>0,b>0,我們用分別代替a、b ，可得， 通常我們把上式寫作： 2）從不等式的性質(zhì)推導基本不等式 用分析法證明： 要證 (1) 只要證 a+b (2) 要證（2），只要證 a+b- 0 （3） 要證（3），只要證 （ - ） （4） 顯然，（4）是成立的。當且僅當a=b時，（4）中的等號成立。 3）理解基本不等式的幾何意義 探究：課本第110頁的“探究” 在右圖中，AB是圓的直徑，點C是AB上的一點，AC=a,BC=b。過點C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD。你能利用這個圖形得出基本不等式的幾何解釋嗎？ 易證Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣAＣB 即ＣD＝. 這個圓的半徑為，顯然，它大于或等于CD，即，其中當且僅當點C與圓心重合，即a＝b時，等號成立. 因此：基本不等式幾何意義是“半徑不小于半弦” 評述：1.如果把看作是正數(shù)a、b的等差中項，看作是正數(shù)a、b的等比中項，那么該定理可以敘述為：兩個正數(shù)的等差中項不小于它們的等比中項. 2.在數(shù)學中，我們稱為a、b的算術平均數(shù)，稱為a、b的幾何平均數(shù).本節(jié)定理還可敘述為：兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù). [補充例題] 例1 已知x、y都是正數(shù)，求證： (1)≥2； (2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3. 分析：在運用定理：時，注意條件a、b均為正數(shù)，結合不等式的性質(zhì)(把握好每條性質(zhì)成立的條件)，進行變形. 解：∵x，y都是正數(shù) ∴＞0，＞0，x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0 (1)＝2即≥2. (2)x＋y≥2＞0 x2＋y2≥2＞0 x3＋y3≥2＞0 ∴（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥222＝８x3y3 即（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3. 3.隨堂練習 1.已知a、b、c都是正數(shù)，求證 （a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc 分析：對于此類題目，選擇定理：（a＞0，b＞0）靈活變形，可求得結果. 解：∵a，b，c都是正數(shù) ∴a＋b≥2＞0 b＋c≥2＞0 c＋a≥2＞0 ∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥222＝８abc 即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc. 4.課時小結 本節(jié)課，我們學習了重要不等式a2＋b2≥2ab；兩正數(shù)a、b的算術平均數(shù)（），幾何平均數(shù)（）及它們的關系（≥）.它們成立的條件不同，前者只要求a、b都是實數(shù)，而后者要求a、b都是正數(shù).它們既是不等式變形的基本工具，又是求函數(shù)最值的重要工具(下一節(jié)我們將學習它們的應用).我們還可以用它們下面的等價變形來解決問題：ab≤，ab≤（）2. 5.評價設計 課本第113頁習題[A]組的第1題 【板書設計】