2019-2020年高中數(shù)學(xué)《任意角的三角函數(shù)》教案1 湘教版必修2.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《任意角的三角函數(shù)》教案1 湘教版必修2 教學(xué)目標(biāo) 1.使學(xué)生切實(shí)掌握任意角三角函數(shù)的定義. 2.使學(xué)生掌握三角函數(shù)的定義域及其確定方法. 3.使學(xué)生掌握三角函數(shù)值在各個(gè)象限內(nèi)的符號(hào). 4.使學(xué)生掌握誘導(dǎo)公式一. 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 教學(xué)難點(diǎn)為:任意角三角函數(shù)的定義.教學(xué)重點(diǎn)為:三角函數(shù)的定義;三角函數(shù)的定義域及其確定方法;三角函數(shù)值在各個(gè)象限內(nèi)的符號(hào)以及誘導(dǎo)公式一. 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì) 師:我們學(xué)過(guò)銳角的正弦、余弦、正切、余切中,∠A是銳角,∠C是直角,那么(板書(shū)) 師:經(jīng)過(guò)最近幾節(jié)課的學(xué)習(xí),我們知道角的概念已經(jīng)被推廣了,我們現(xiàn)在所說(shuō)的角可以任意大小的正角、負(fù)角和零角,那么任意的三角函數(shù)是怎么定義的呢?直角三角形顯然不能包含所有的角. 生:借助平面直角坐標(biāo)系來(lái)定義. 師:好的.這位同學(xué)可能預(yù)習(xí)了.任意角三角函數(shù)就是在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)定義的. 設(shè)角α是一個(gè)任意大小的角,我們以它的頂點(diǎn)為原點(diǎn),以它的始邊為x軸的正半軸Ox,建立直角坐標(biāo)系(圖2),在角α的終邊任取一點(diǎn)P,它的橫坐標(biāo)是x,縱坐標(biāo)是y,點(diǎn)P和原點(diǎn)O(0,0)的距離r= (r總是正的),然后把角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分別規(guī)定為(板書(shū)) 師:以前我們就知道,圖1中的四個(gè)比值的大小僅與角A的大小有關(guān),而與直角三角形的大小無(wú)關(guān);同樣,在圖2中,六個(gè)比值的大小也僅與角α的大小有關(guān),而與點(diǎn)P在角αα的終邊上的位置無(wú)關(guān). 師:下面咱們一起來(lái)看這六個(gè)三角函數(shù),自變量是什么?是x?是y?是r?還是角a?大家討論一下. 生:…… 師:通過(guò)大家的討論,咱們可以看出,只要角α確定了,就能在它的終邊上取點(diǎn),從而可確定x,y,計(jì)算出r的值,所以自變量應(yīng)是角α. 這些函數(shù)的函數(shù)值是什么呢? 生:兩個(gè)量的比值. 師:也就是說(shuō)是個(gè)實(shí)數(shù). 由于角的集合與實(shí)數(shù)之間可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,三角函數(shù)可以看成是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù),即 實(shí)數(shù)→ 角(其弧度數(shù)等于這個(gè)實(shí)數(shù)) → 三角函數(shù)值(實(shí)數(shù)) 也就是說(shuō),三角函數(shù)是以角(實(shí)數(shù))為自變量,以比值為函數(shù)值的函數(shù). 既然是研究函數(shù),那么就要從函數(shù)最主要的內(nèi)容——三要素入手,而其中又以定義域和對(duì)應(yīng)法則更重要,三角函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則我們可以由解析式中直接看出.下面我們研究各個(gè)函數(shù)的定義域. (這幾函數(shù)的定義域并不難求,只是務(wù)必使學(xué)生明確,函數(shù)的自變量是角.定義域由學(xué)生一一做答,教師最后在黑板上列表總結(jié).) 師:我們已經(jīng)知道了三角函數(shù)的定義,下面我們就該應(yīng)用定義解題了.請(qǐng)看例1.(板書(shū)) 例1 已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,-3),求α的六個(gè)三角函數(shù)值. 師:要求六個(gè)三角函數(shù)值,我們需要知道哪些量? 生:x,y,r. 師:我們是必須知道這三個(gè)量,還是知道其中兩個(gè)量就行了? 生:只需知道其中的兩個(gè)量. 師:例1中是否有咱們所需要的兩個(gè)量? 生:有.x=2,y=-3. 師:好的.這道題就由你來(lái)解,你說(shuō)我往黑板上寫(xiě).(板書(shū)) 解 師:由三角函數(shù)的定義,我們知道,已知角α終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)就可以求六個(gè)三角函數(shù)值,若已知條件是某角的度數(shù)或弧度數(shù),那么這個(gè)角的終邊位置也是唯一確定的,其三角函數(shù)值也應(yīng)是唯一的.這類(lèi)題目應(yīng)怎樣求它的各個(gè)三角函數(shù)值呢?下面看例2.(板書(shū)) 例2 求下例各角的六個(gè)三角函數(shù)值. 師:咱們先看角0的六個(gè)三角函數(shù)值怎么求. 生:沒(méi)想好. 師:你覺(jué)得為什么不好求呢? 生:題目里沒(méi)給出x,y的值. 師:x,y的值與所給出的角有什么關(guān)系? 生:x,y是角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo). 師:角的終邊上的哪點(diǎn)? 生:可以任意選取. 師:那當(dāng)然要使所取點(diǎn)的坐越簡(jiǎn)單越好了,你打算取哪點(diǎn)? 生:取(1,0)點(diǎn). 師:現(xiàn)在這道題目你會(huì)做了嗎? 生:會(huì)了. 師:你說(shuō)我來(lái)寫(xiě)在黑板上.(板書(shū)) 解 在角0的終邊上取一點(diǎn)(1,0),所以x=1,y=0,r=x2+y2=1因此 師:這道從題會(huì)做了,下面的兩道小題也就不成問(wèn)題了.大家都在筆記本上準(zhǔn)備一下,一會(huì)兒,我叫幾個(gè)同學(xué)說(shuō)一下你們的答案. (2)在角π的終邊上任取一點(diǎn)(-1,0),x=-1,y=0,r=1,sin π=0,cos=-1,tan π=0 cot πα不存在,sce π=-1 ,csc πα不存在; (3)在角的終邊上任取一點(diǎn)(0,-1),x=0,y=-1,r=1,sin =-1,cos=0,tan不存在,cot=0,sec不存在,csc=-1. 師:下一個(gè)問(wèn)題是確定一下各三角函數(shù)值在每個(gè)象限的符號(hào). 我們知道,當(dāng)角的概念被推廣后,我們常常把角放到平面直角坐標(biāo)系中討論,當(dāng)角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,角的始邊落在x軸的正半軸上時(shí),角的終邊落在第幾象限,就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角.現(xiàn)在,我們又學(xué)習(xí)了三角函數(shù),若一類(lèi)三角函數(shù)值在同一個(gè)象限的符號(hào)是一致的,那我們既可以根據(jù)角所在象限確定出相應(yīng)的三角函數(shù)的符號(hào),又可以利用三角函數(shù)的符號(hào)確定出角所在的象限了. 下面咱們先看正弦函數(shù)的函數(shù)值在各個(gè)限內(nèi)的符號(hào).(請(qǐng)好學(xué)生回答) 生:對(duì)于sin α,當(dāng)角α在第一象限內(nèi)時(shí),它的符號(hào)是正的,當(dāng)角α在第二象限時(shí),…… 師:等等,你所說(shuō)的第一條結(jié)論正確,你能不能把你的解題方法具體地告訴我們?(盡量突出這節(jié)課的主要內(nèi)容.) 生:根據(jù)三角函數(shù)的定義,sin α=,當(dāng)角a是第一象限角時(shí),也就是說(shuō),角α的終邊落在第一象限內(nèi),而第一象限內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)都是正的,所以sin α>0. 師:解題思路非常清楚,就是下結(jié)論前的敘述顯得有點(diǎn)匆忙,不夠確切.咱們看這樣說(shuō)是不是更好些?前邊的就用他的說(shuō)法,接著說(shuō),第一象限內(nèi)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為正數(shù),也就是y>0,而r=,也一定大于零,所以得出結(jié)論,sin α>0,符號(hào)為“+”. 師:這個(gè)結(jié)論一經(jīng)推出,其余問(wèn)題我們也就都會(huì)解決了.下面我們?cè)侔呀锹湓诘诙?、第三?四象限內(nèi),將正弦函數(shù)的函數(shù)值的符號(hào)確定一下. 生:正弦函數(shù)sin α=yr,當(dāng)角a在第二象限時(shí),sin α的符號(hào)為“+”;當(dāng)角α在第三象限時(shí),sin α的符號(hào)為“-”;當(dāng)角α在第四象時(shí),sin α的符號(hào)也為“-”. 師:完全正確.由于r=>0,所以我們可以看出,sinπ的符號(hào)與誰(shuí)的符號(hào)一致? 生:與y的符號(hào)一致. 師:好的.現(xiàn)在正弦函數(shù)的問(wèn)題咱們已經(jīng)解決了,下面該確定余弦函數(shù)的函數(shù)值在各個(gè)象限內(nèi)的符號(hào)了.我想,得出正確結(jié)論已經(jīng)不是什么難事了.只是如果請(qǐng)你說(shuō),你能敘述得完整 嗎?另外,你還有沒(méi)有別的辦法解決這個(gè)問(wèn)題? 生:余弦函數(shù)cos α=xr,我們知道r=>0,它的值永遠(yuǎn)是正的,所以cos a的符號(hào)是由x確定的,而且與x的符號(hào)相同.x是角α所在象限內(nèi)的點(diǎn)的橫坐標(biāo),所以當(dāng)角a在第一象限內(nèi)時(shí),cos α的符號(hào)為“+”,當(dāng)角α在第二或第三象限時(shí),cos a的符號(hào)為“-”,而當(dāng)角α在第四象限時(shí),cos α的符號(hào)為“+”. 師:回答得很好.各個(gè)量之間的關(guān)系都說(shuō)得非常清楚、準(zhǔn)確. 生:還可以簡(jiǎn)單地記為:余弦函數(shù)值的符號(hào)與x的符號(hào)一致. 師:也對(duì).只是這個(gè)結(jié)論前的一些推理咱們必須清楚. 正切函數(shù)tan α=在各個(gè)象限內(nèi)的符號(hào)又是怎樣的? 生:對(duì)于第一、三象限內(nèi)的角,正切值為正的,因?yàn)榇藭r(shí)x,y同號(hào);對(duì)于第二、四象限內(nèi)的角,正切值為負(fù)的,因?yàn)榇藭r(shí)x,y異號(hào). 師:完全正確.我們研究清楚了正弦、余弦、正切函數(shù)的函數(shù)值在各個(gè)象限內(nèi)的符號(hào),剩下的三個(gè)三角函數(shù)的函數(shù)值在各個(gè)象限內(nèi)的符號(hào)就好確定了.為什么? 生:因?yàn)橛嗲兄?)與正切值()互為倒數(shù),所以它們的符號(hào)一致,同理,正割值()與余弦值()的符號(hào)一致,而余割值()與正弦值()的符號(hào)一致. 師:很好.為了便于記憶,我們不妨把剛才的結(jié)論總結(jié)于坐標(biāo)系中,看看這種直觀(guān)、形象的方式是否適合于你?(板書(shū)) 師:現(xiàn)在我們知道了三角函數(shù)的數(shù)值是由角的終邊的位置決定的.顯然,當(dāng)兩個(gè)角相差 360的整數(shù)倍時(shí),它們倆的終邊相同,所以它們的同一個(gè)三角函數(shù)的值相等.由此得到一組公式(公式一). (板書(shū)) 師:這組公式使我們可以把任意角的三角函數(shù)值的問(wèn)題,轉(zhuǎn)化為0~360(或0~2π)間的角的三角函數(shù)值的問(wèn)題.(板書(shū)) 例3 確定下列各三角函數(shù)值的符號(hào). (1)cos 250; (2)sin(-); (3)tan(-67210′) (教師邊分析邊板書(shū)) 解 (1)因?yàn)?50是第三象限的角,所以cos 250<0. (2)(由學(xué)生口述完成)因?yàn)椋堑谒南笙藿牵詓in (-)<0. (3)(由學(xué)生解) 因?yàn)閠an(-67210′)=tan(-2360+4750′)=tan 4750′,又因?yàn)?750′是第一象限角,所以tan (-67210′)>0. 師:下面咱們接著做例4.(板書(shū)) 例4 根據(jù)條件sin<0且tan>0,確定是第幾象限角. (教師邊講邊寫(xiě)) 解 為sin<0,所以在第三象限或第四象限,或的終邊落在y軸的負(fù)半軸上. 因?yàn)閠an>0.所以在第一象限或第三象限. 由于sin <0與tan>0同時(shí)成立,所以在第三象限. 師:下面咱們小結(jié)一下這節(jié)課,這節(jié)課的主要內(nèi)容是任意角三角函數(shù)的定義,通過(guò)對(duì)這一定義的學(xué)習(xí),我們掌握六個(gè)三角函數(shù)的定義域,要會(huì)利用定義,求出各三角函數(shù)在每個(gè)象限的符號(hào)并且記住各結(jié)論.要知道公式一的理論依據(jù)就是任意角三角函數(shù)的定義,當(dāng)然還要掌握公式一. 作業(yè):課本P138練習(xí)一第1,2,3,4,5,6題.其中第2,3題寫(xiě)在書(shū)上,其余的寫(xiě)在本上. 課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明 1.復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù). 2.講解任意角三角函數(shù)的定義. 3.用列表的形式總結(jié)出各個(gè)三角函數(shù)的定義域. 4.例1是三角函數(shù)定義的最簡(jiǎn)單、直接的應(yīng)用.例2是應(yīng)用任意角三角函數(shù)的定義解題. 5.利用三角函數(shù)的定義和各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào),確定各三角函數(shù)值在每個(gè)象限的符號(hào). 6.誘導(dǎo)公式一 7.例3和例4. 8.小結(jié)、作業(yè). 為什么要采取以上步驟呢?因?yàn)楸竟?jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)就是任意角三角函數(shù)的定義,而其余內(nèi)容均是關(guān)于任意角的函數(shù)的定義的應(yīng)用,所以對(duì)于這一定義,不僅安排了復(fù)習(xí)銳角的三角函數(shù),而且還安排了兩道應(yīng)用定義的例題,即例1和例2.此外,三角函數(shù)與學(xué)生們以往所學(xué)過(guò)的函數(shù)從形式上看區(qū)別很大,有的學(xué)生可能一時(shí)找不對(duì)自變量,所以,在講課時(shí)注意強(qiáng)調(diào)了三角函數(shù)的自變量是角,并在此基礎(chǔ)上,應(yīng)用新學(xué)的任意角三角函數(shù)的定義,求出各個(gè)三角函數(shù)的定義域. 應(yīng)用三角函數(shù)的定義,可判斷出三角函數(shù)在各個(gè)象限的符號(hào).對(duì)于這點(diǎn),教師覺(jué)得學(xué)生完全有能力自己完成,所以,這塊知識(shí)是以教師提問(wèn)學(xué)生回答,最后一起做總結(jié)的形式完成的. 誘導(dǎo)公式一,也是任意角三角函數(shù)定義的再次應(yīng)用,有了它,我們就可以把求任意角的三角函數(shù)值問(wèn)題,轉(zhuǎn)化為求0~360(或0~2π)間角的三角函數(shù)值的問(wèn)題了. 板書(shū)設(shè)計(jì)- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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