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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第四課時 2.3從速度的倍數(shù)到數(shù)乘向量（一）教案 北師大版必修4 一、教學(xué)目標(biāo)：1.知識與技能：（1）要求學(xué)生掌握實數(shù)與向量積的定義及幾何意義.（2）了解數(shù)乘運算的運算律，理解向量共線的充要條件。（3）通過練習(xí)使學(xué)生對實數(shù)與積，兩個向量共線的充要條件有更深刻的理解，并能用來解決一些簡單的幾何問題。 2.過程與方法：教材利用同學(xué)們熟悉的物理知識引出實數(shù)與向量的積（強調(diào)：1．“?！迸c“方向”兩點) 2．三個運算定律（結(jié)合律，第一分配律，第二分配律）），在此基礎(chǔ)上得到數(shù)乘運算的幾何意義。為了幫助學(xué)生消化和鞏固相應(yīng)的知識，教材設(shè)置了幾個例題；通過講解例題，指導(dǎo)發(fā)現(xiàn)知識結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力和邏輯思維能力. 3.情感態(tài)度價值觀：通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們對實數(shù)與向量積有了較深的認(rèn)識，讓學(xué)生理解和領(lǐng)悟知識將各學(xué)科有機的聯(lián)系起來了，這樣有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，有助于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和勇于創(chuàng)新的精神. 二.教學(xué)重、難點： 重點:實數(shù)與向量積的定義及幾何意義.難點: 實數(shù)與向量積的幾何意義的理解. 三.學(xué)法與教法： (1)自主性學(xué)習(xí)+探究式學(xué)習(xí)法：(2)反饋練習(xí)法：以練習(xí)來檢驗知識的應(yīng)用情況，找出未掌握的內(nèi)容及其存在的差距. 四.教學(xué)過程 （一）、探究新知 1．思考: （引入新課）已知非零向量 作出++和(-)+(-)+(-) B A O C P Q M N ==++=3 ==(-)+(-)+(-)=-3 討論：① 3與方向相同且|3|=3||② -3與方向相反且|-3|=3|| 2．從而提出課題：實數(shù)與向量的積；實數(shù)λ與向量的積，記作：λ 定義：實數(shù)λ與向量的積是一個向量，記作：λ ①|(zhì)λ|=|λ||| ；②λ>0時λ與方向相同；λ<0時λ與方向相反；λ=0時λ=（請學(xué)生自己解釋其幾何意義） [展示投影]例題講評（學(xué)生先做，學(xué)生評，教師提示或適當(dāng)補充） 例1.（見P96例1）略 [展示投影] 思考：根據(jù)幾何意義，你能否驗證下列實數(shù)與向量的積的是否滿足下列運算定律（證明的過程可根據(jù)學(xué)生的實際水平?jīng)Q定） 結(jié)合律：λ(μ)=(λμ) ① 第一分配律：(λ+μ)=λ+μ ② 第二分配律：λ(+)=λ+λ ③ 結(jié)合律證明：如果λ=0，μ=0，=至少有一個成立，則①式成立 如果λ0，μ0，有：|λ(μ)|=|λ||μ|=|λ||μ||| |(λμ)|=|λμ|| |=|λ||μ||| ；∴|λ(μ)|=|(λμ)| 如果λ、μ同號，則①式兩端向量的方向都與同向；如果λ、μ異號，則①式兩端向量的方向都與反向。從而λ(μ)=(λμ) 第一分配律證明：如果λ=0，μ=0，=至少有一個成立，則②式顯然成立 如果λ0，μ0，當(dāng)λ、μ同號時，則λ和μ同向，∴|(λ+μ)|=|λ+μ|||=(|λ|+|μ|)||，|λ+μ|=|λ|+|μ|=|λ|||+|μ|||=(|λ|+|μ|)|| ∵λ、μ同號 ∴②兩邊向量方向都與同向。 即：|(λ+μ)|=|λ+μ| 當(dāng)λ、μ異號，當(dāng)λ>μ時 ②兩邊向量的方向都與λ同向當(dāng)λ<μ時 ②兩邊向量的方向都與μ同向。還可證：|(λ+μ)|=|λ+μ| ∴②式成立 第二分配律證明：如果=，=中至少有一個成立，或λ=0，λ=1則③式顯然成立 O A B B1 A1 當(dāng)，且λ0，λ1時1當(dāng)λ>0且λ1時在平面內(nèi)任取一點O， 作= = =λ =λ 則=+ λ+λ 由作法知：∥有OAB=OA1B1 ||=λ|| ∴λ ∴△OAB∽△OA1B1 ∴λ AOB= A1OB1 因此，O，B，B1在同一直線上，||=|λ| 與λ方向也相同 λ(+)=λ+λ 當(dāng)λ<0時 可類似證明：λ(+)=λ+λ A O B B1 A1 ∴ ③式成立 【探究新知】（師生共同分析向量共線的充要條件） 若有向量()、，實數(shù)λ，使=λ 則由實數(shù)與向量積的定義知：與為共線向量 若與共線()且||：||=μ，則當(dāng)與同向時=μ；當(dāng)與反向時=-μ 從而得：向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個非零實數(shù)λ，使=λ. [展示投影]例題講評（師生共同分析，學(xué)生動手做）P B A O 例2. （見P97例2）略 例3.（P97例3改編）如圖：，不共線，P點在AB上，求證：存在實數(shù) 使 （證明過程與P97例3完全類似；略） 思考：由本例你想到了什么？（用向量證明三點共線） （二）、鞏固深化，加強基礎(chǔ) 1.見P98練習(xí)1、2、3、4題. 2.如例3圖，，不共線，=t (tR)用，表示. 3．設(shè),是兩個不共線向量，已知=2+k, =+3, =2-, 若三點A, B, D共線，求k的值. 解：=-=(2-)-(+3)=-4 ∵A, B, D共線 ∴,共線 ∴存在λ使=λ 即2+k=λ(-4) ∴ ∴k=-8 （三）、課堂小結(jié)（學(xué)生總結(jié)，其它學(xué)生補充）①數(shù)乘向量的幾何意義理解.②向量與非零向量共線的條件是：有且只有一個非零實數(shù)λ，使=λ. （五）、作業(yè)：習(xí)題2.3 A組第4、5、6、7題． 六、課后反思：