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2019-2020年高中數(shù)學 第3章 1第2課時 函數(shù)的極值課時作業(yè) 北師大版選修2-2
一、選擇題
1．函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a，b)，導函數(shù)f′(x)在(a，b)內的圖像如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內的極小值有( )
A．1個 B．2個
C．3個 D．4個
[答案] A
[解析] 若導函數(shù)f′(x)在某點兩側的符號為“左負右正”，則該點為極小值點，由圖像可知極小值點只有一個．
2．函數(shù)y＝x3－3x＋2的極大值為m，極小值為n，則m＋n為( )
A．0 B．1 C．2 D．4
[答案] D
[解析] 令y′＝3x2－3＝0?x＝1或x＝－1，經(jīng)分析知f(－1)為函數(shù)y＝x3－3x＋2的極大值，f(1)為函數(shù)y＝x3－3x＋2的極小值，故m＋n＝f(－1)＋f(1)＝4.
3．函數(shù)y＝x4－x3的極值點的個數(shù)為( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] B
[解析] y′＝x3－x2＝x2(x－1)，由y′＝0得x1＝0，x2＝1.
當x變化時，y′，y的變化情況如下表
x
(－∞，0)
0
(0,1)
1
(1，＋∞)
y′
－
0
－
0
＋
y
無極值
極小值
故選B.
4．關于函數(shù)的極值，下列說法正確的是( )
A．導數(shù)為零的點一定是函數(shù)的極值點
B．函數(shù)的極小值一定小于它的極大值
C．f(x)在定義域內最多只能有一個極大值、一個極小值
D．若f(x)在(a，b)內有極值，那么f(x)在(a，b)內不是單調函數(shù)
[答案] D
[解析] 對于f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)的極值點，故A不正確．極小值也可能大于極大值，故B錯，C顯然不對．
5．(xx西川中學高二期中)已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有極大值和極小值，則a的取值范圍是( )
A．－1
6 D．a(chǎn)<－1或a>2
[答案] C
[解析] f ′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，
∵f(x)有極大值與極小值，
∴f ′(x)＝0有兩不等實根，
∴Δ＝4a2－12(a＋6)>0，∴a<－3或a>6.
二、填空題
6．函數(shù)f(x)＝2x3－3x2的極大值等于________，極小值等于________．
[答案] 0?。?
[解析] f′(x)＝6x(x－1)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝1.
當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下：
x
(－∞，0)
0
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
極大值
極小值
所以當x＝0時有極大值f(0)＝0，當x＝1時有極小值f(1)＝－1.
7．函數(shù)f(x)＝x－lnx的極小值等于________．
[答案] 1
[解析] f′(x)＝1－，令f′(x)＝0，則x＝1，
當x變化時，f(x)與f′(x)的變化如下表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
極小值
∴f(x)的極小值是f(1)＝1.
8．若函數(shù)f(x)＝在x＝1處取極值，則a＝____.
[答案] 3
[解析] f′(x)＝，f′(1)＝＝0?a＝3.
三、解答題
9．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在點x0處取得極小值－5，其導函數(shù)y＝f′(x)的圖像經(jīng)過點(0,0)，(2,0)，
(1)求a，b的值；
(2)求x0及函數(shù)f(x)的表達式．
[解析] (1)由題設可得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
∵f′(x)的圖像過點(0,0)，(2,0)，
∴
解之得：a＝－3，b＝0.
(2)由f′(x)＝3x2－6x＞0，得x＞2或x＜0；
∴當在(－∞，0)上，f′(x)＞0.在(0,2)上f′(x)＜0，在(2，＋∞)上f′(x)＞0，
故f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)上遞增，在(0,2)上遞減，
因此f(x)在x＝2處取得極小值，所以x0＝2，
由f(2)＝－5，得c＝－1，
∴f(x)＝x3－3x2－1.
10.設函數(shù)f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)．
(1)若曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處與直線y＝8相切，求a，b的值；
(2)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間與極值點．
[分析] 考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，極值點的性質，以及分類討論思想．
[解析] (1)f′(x)＝3x2－3A．
因為曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處與直線y＝8相切，
所以即解得a＝4，b＝24.
(2)f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)．
當a<0時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上單調
遞增，此時函數(shù)f(x)沒有極值點．
當a>0時，由f′(x)＝0得x＝.
當x∈(－∞，－)時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調遞增；
當x∈(－，)時，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調遞減；
當x∈(，＋∞)時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調遞增．
f(x)的增區(qū)間(－∞，－)，(，＋∞)，減區(qū)間(－，)，
此時x＝－是f(x)的極大值點，x＝是f(x)的極小值點.
一、選擇題
1．已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋c，其導函數(shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)f(x)的極小值是( )
A．a(chǎn)＋b＋c B．8a＋4b＋c
C．3a＋2b D．c
[答案] D
[解析] 由f′(x)的圖像可知x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)時，f′(x)<0；x∈(0,2)時，f′(x)>0
∴f(x)在(－∞，0)和(2，＋∞)上為減函數(shù)，在(0,2)上為增函數(shù)．
∴x＝0時，f(x)取到極小值為f(0)＝c.
2．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋3x＋2a，若不等式f(x)>0的解集為{x|10，所以y′＝0有兩個相異實根，故函數(shù)y＝xf(x)有兩個極值點．
3．下面四圖都是在同一坐標系中某三次函數(shù)及其導函數(shù)的圖像，其中一定不正確的序號是( )
A．①② B．③④
C．①③ D．①④
[答案] B
[解析] 對于③，f(x)在原點附近為增函數(shù)，∴f′(x)>0，而圖像中當x>0時，f′(x)<0，∴③一定不正確；對于④，同理，導函數(shù)開始應在x軸上方，④一定不正確，故選B.
4．若函數(shù)y＝x3－3ax＋a在(1,2)內有極小值，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A．14或a<1
[答案] B
[解析] y′＝3x2－3A．當a≤ 0，f′(x)≥0；
函數(shù)y＝x3－3ax＋a為單調函數(shù)，不合題意，舍去；
當a>0，y′＝3x2－3a＝0?x＝，不難分析當10時，
∵－≤cosx恒成立，∴－≤－1，∴a≤1，∴00；②f(0)f(1)<0；
③f(0)f(3)>0；④f(0)f(3)<0.
其中正確結論的序號是________．
[答案]?、冖?
[解析] 本題考查了導數(shù)工具有研究函數(shù)零點方面的應用
設g(x)＝x3－6x2＋9x＝0，則x1＝0，x2＝x3＝3，
其圖象如圖：
要使f(x)＝x3－6x2＋9x－abc有3個零點，須將g(x)的圖象向下平移，如圖所示：
又f′(x)＝3x2－12x＋9＝0時，
x1＝1，x2＝3，即得f(1)是極大值，f(3)是極小值．
∴由圖象可知f(0)f(1)<0，f(0)f(3)>0.
對于函數(shù)的零點問題要注意和對應方程的根及函數(shù)的圖象聯(lián)系起來，當一個函數(shù)不能直接畫出圖象時，要有求導的意識來探究一下函數(shù)的基本性質然后再畫草圖．
三、解答題
7.設f(x)＝alnx＋＋x＋1，其中a∈R，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線垂直于y軸．
(1)求a的值；
(2)求函數(shù)f(x)的極值．
[分析] (1)對f(x)求導，運用f′(1)＝0求出a的值，(2)由f′(x)＝0解得x值，結合函數(shù)定義域，討論在各區(qū)間上f′(x)的符號，從而確定極值．
[解析] (1)因f(x)＝alnx＋＋x＋1，故f′(x)＝－＋.
由于曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線垂直于y軸，故該切線斜率為0，即f′(1)＝0，從而a－＋＝0，解得a＝－1.
(2)由(1)知f(x)＝－lnx＋＋x＋1(x>0)，
f′(x)＝－－＋
＝
＝.
令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－(因x2＝－不在定義域內，舍去)．
當x∈(0,1)時，f′(x)<0，故f(x)在(0,1)上為減函數(shù)；
當x∈(1，＋∞)時，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)．
故f(x)在x＝1處取得極小值f(1)＝3.
[點評] 本題通過對導數(shù)的考查，解決了常見的斜率問
題，極值問題，題目簡單，方法常規(guī)，但本題容易忽視函數(shù)的定義域，從而導致出錯。
8.(xx山東省菏澤市期中)已知函數(shù)f(x)＝x2＋alnx.
(1)若a＝－1，求函數(shù)f(x)的極值，并指出是極大值還是極小值；
(2)若a＝1，求證：在區(qū)間[1，＋∞)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)＝x3的圖象的下方．
[解析] (1)由于函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，
當a＝－1時，f ′(x)＝x－＝，
令f ′(x)＝0得x＝1或x＝－1(舍去)，
當x∈(0,1)時，f ′(x)<0，因此函數(shù)f(x)在(0,1)上單調遞減，
當x∈(1，＋∞)時，f ′(x)>0，因此函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上單調遞增，
則x＝1是f(x)的極小值點，
所以f(x)在x＝1處取得極小值為f(1)＝.
(2)證明：設F(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋lnx－x3，
則F′(x)＝x＋－2x2＝
＝，
當x>1時，F(xiàn)′(x)<0，
故f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上單調遞減，
又F(1)＝－<0，
∴在區(qū)間[1，＋∞)上，F(xiàn)(x)<0恒成立，
即f(x)
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