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2019-2020年高中數(shù)學 第一章 集合 1.2 集合之間的關系與運算 1.2.1 集合之間的關系教案 新人教B版必修1 教學分析　　　　　 課本從學生熟悉的集合出發(fā)，引入集合間的關系，同時，結合相關內(nèi)容介紹子集等概念．在安排這部分內(nèi)容時，課本注重體現(xiàn)邏輯思考的方法，如歸納等． 值得注意的問題：在集合間的關系教學中，建議重視使用Venn圖，這有助于學生通過體會直觀圖示來理解抽象概念；隨著學習的深入，集合符號越來越多，建議教學時引導學生區(qū)分一些容易混淆的關系和符號，例如∈與的區(qū)別． 三維目標　　　　　 1．理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集，能判斷給定集合間的關系，提高利用類比發(fā)現(xiàn)新結論的能力． 2．在具體情境中，了解空集的含義，掌握并能使用Venn圖表達集合的關系，加強學生從具體到抽象的思維能力，樹立數(shù)形結合的思想． 重點難點　　　　　 教學重點：理解集合間包含與相等的含義． 教學難點：屬于與包含之間的區(qū)別． 課時安排　　　　　 1課時 導入新課　　　　　 思路1.實數(shù)有相等、大小關系，如5＝5,5＜7,5＞3等等，類比實數(shù)之間的關系，你會想到集合之間有什么關系呢？(讓學生自由發(fā)言，教師不要急于作出判斷，而是繼續(xù)引導學生)欲知誰正確，讓我們一起來觀察、研探． 思路2.復習元素與集合的關系——屬于與不屬于的關系，填空：(1)0____N；(2)____Q；(3)－1.5____R. 類比實數(shù)的大小關系，如5＜7,2≤2，試想集合間是否有類似的“大小”關系呢？(答案：(1)∈；(2) ；(3)∈) 推進新課　　　　　 ③設C＝{x|x是兩條邊相等的三角形}，D＝{x|x是等腰三角形}； ④E＝{2，4，6}，F(xiàn)＝{6，4，2}.,你能發(fā)現(xiàn)兩個集合間有什么共同特點嗎？ (2)例子①中集合A是集合B的子集，例子④中集合E是集合F的子集，同樣是子集，有什么區(qū)別？ (3)結合例子④，類比實數(shù)中的結論：“若a≤b，且b≤a，則a＝b”，在集合中，你發(fā)現(xiàn)了什么結論？ (4)按升國旗時，每個班的同學都聚集在一起站在旗桿附近指定的區(qū)域內(nèi)，從樓頂向下看，每位同學是哪個班的，一目了然.試想一下，根據(jù)從樓頂向下看的，要想直觀表示集合，聯(lián)想集合還能用什么表示？ (5)試用Venn圖表示例子①中集合A和集合B. (6)已知AB，試用Venn圖表示集合A和B的關系． (7)與實數(shù)中的結論“若a≥b，且b≥c，則a≥c”相類比，在集合中，你能得出什么結論？ 活動：教師從以下方面引導學生： (1)觀察兩個集合間元素的特點．教師給出定義：一般地，如果集合A中的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，記作AB或BA.規(guī)定：空集是任何一個集合的子集． (2)從它們含有的元素間的關系來考慮．規(guī)定：如果AB，但存在x∈B，且xA，我們稱集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)． (3)實數(shù)中的“≤”類比集合中的． (4)把指定位置看成是由封閉曲線圍成的，學生看成集合中的元素，從樓頂看到的就是把集合中的元素放在封閉曲線內(nèi)．教師指出：為了直觀地表示集合間的關系，我們常用平面內(nèi)一條封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖稱為維恩(Venn)圖． (5)封閉曲線可以是矩形也可以是橢圓等等，沒有限制． (6)分類討論：當AB時，AB或A＝B. (7)類比子集． 討論結果：(1)①集合A中的元素都在集合B中；②集合A中的元素都在集合B中；③集合C中的元素都在集合D中；④集合E中的元素都在集合F中．可以發(fā)現(xiàn)：對于任意兩個集合A、B有下列關系：集合A中的元素都在集合B中，或集合B中的元素都在集合A中． (2)例子①中AB，但有一個元素4∈B，且4A，而例子②中集合E和集合F中的元素完全相同． (3)若AB，且BA，則A＝B. (4)可以把集合中元素寫在一個封閉曲線的內(nèi)部來表示集合． (5)如圖甲所示表示集合A，如圖乙所示表示集合B. (6)如下圖所示． (7)若AB，BC，則AC；若AB，BC，則AC. 思路1 例1 寫出集合A＝{1,2,3}的所有子集和真子集． 分析：如何一個不漏地寫出集合{1,2,3}的所有子集呢？我們采用下面的步驟： (1)因為空集是所有集合的子集，所以首先寫出； (2)寫出所有由一個元素構成的子集：{1}，{2}，{3}； (3)寫出所有由兩個元素構成的子集：{1,2}，{1,3}，{2,3}； (4)寫出所有由三個元素構成的子集：{1,2,3}． 解：集合A的所有子集是：，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}． 在上述子集中，除去集合A本身，即{1,2,3}，剩下的都是A的真子集． 點評：本題主要考查子集和真子集的概念，以及分類討論的思想．通常按子集中所含元素的個數(shù)來寫出一個集合的所有子集，這樣可以避免重復和遺漏． 思考：集合A中含有n個元素，那么集合A有多少個子集？多少個真子集？ 解：當n＝0時，即空集的子集為，即子集的個數(shù)是1＝20；當n＝1時，即含有一個元素的集合如{a}的子集為，{a}，即子集的個數(shù)是2＝21；當n＝2時，即含有兩個元素的集合如{a，b}的子集為，{a}，，{a，b}，即子集的個數(shù)是4＝22…… 集合A中含有n個元素，那么集合A有2n個子集，由于一個集合不是其本身的真子集，所以集合A有(2n－1)個真子集. 變式訓練 　已知集合P＝{1,2}，那么滿足QP的集合Q的個數(shù)是(　　) A．4　　　　　　B．3　　　　　　C．2　　　　　　D．1 解析：集合P＝{1,2}含有2個元素，其子集有22＝4個， 又集合QP，所以集合Q有4個． 答案：A 例2 說出下列每對集合之間的關系： (1)A＝{1,2,3,4,5}，B＝{1,3,5}； (2)P＝{x|x2＝1}，Q＝{x||x|＝1}； (3)C＝{x|x是奇數(shù)}，D＝{x|x是整數(shù)}． 解：(1)BA；(2)P＝Q；(3)CD. 點評：本題主要考查集合間的包含關系．其關鍵是首先明確兩集合中的元素具體是什么． 判斷兩個集合A、B之間是否有包含關系的步驟是：先明確集合A、B中的元素，再分析集合A、B中的元素之間的關系，得：當集合A中的元素都屬于集合B時，有AB；當集合A中的元素都屬于集合B，當集合B中至少有一個元素不屬于集合A時，有AB；當集合A中的元素都屬于集合B，并且集合B中的元素也都屬于集合A時，有A＝B；當集合A中至少有一個元素不屬于集合B，并且集合B中至少有一個元素也不屬于集合A時，有AB，且BA，即集合A、B互不包含. 變式訓練 　某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品在重量和長度上都合格時，該產(chǎn)品才合格．若用A表示合格產(chǎn)品的集合，B表示重量合格的產(chǎn)品的集合，C表示長度合格的產(chǎn)品的集合．已知集合A、B、C均不是空集． (1)則下列包含關系哪些成立？ AB，BA，AC，CA. (2)試用Venn圖表示集合A、B、C間的關系． 活動：學生思考集合間的關系以及Venn圖的表示形式．當集合A中的元素都屬于集合B時，則AB成立，否則AB不成立．用相同的方法判斷其他包含關系是否成立．教師提示學生以下兩點： (1)重量合格的產(chǎn)品不一定是合格產(chǎn)品，但合格的產(chǎn)品一定重量合格； 長度合格的產(chǎn)品不一定是合格產(chǎn)品，但合格的產(chǎn)品一定長度合格． (2)根據(jù)集合A、B、C間的關系來畫出Venn圖. 解： (1)包含關系成立的有：AB，AC. (2)集合A、B、C間的關系用Venn圖表示，如下圖所示. 例3 判定下列集合A與B的關系： (1)A＝{x|x是12的約數(shù)}，B＝{x|x是36的約數(shù)}； (2)A＝{x|x＞3}，B＝{x|x＞5}； (3)A＝{x|x是矩形}，B＝{x|x是有一個角為直角的平行四邊形}． 解：(1)因為x是12的約數(shù)x是36的約數(shù)，所以AB； (2)因為x＞5x＞3，所以BA； (3)因為x是矩形x是有一個角為直角的平行四邊形，所以A＝B. 點評：A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，則如果p(x) q(x)，則A＝B；反之，如果A＝B，則p(x) q(x). 變式訓練 本節(jié)練習A　4 思路2 例1 已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}．若BA，則實數(shù)m＝________. 活動：先讓學生思考BA的含義，根據(jù)BA，知集合B中的元素都屬于集合A，集合元素的互異性，列出方程求實數(shù)m的值．因為BA，所以3∈A，m2∈A.對m2的值分類討論． 解析：∵BA，∴3∈A，m2∈A.∴m2＝－1(舍去)或m2＝2m－1.解得m＝1.∴m＝1. 答案：1 點評：本題主要考查集合和子集的概念，以及集合元素的互異性．本題容易出現(xiàn)m2＝3，其原因是忽視了集合元素的互異性．避免此類錯誤的方法是解得m的值后，再代入驗證． 討論兩集合之間關系時，通常依據(jù)相關的定義，觀察這兩個集合元素的關系，轉(zhuǎn)化為解方程或解不等式. 變式訓練 　已知集合M＝{x|2－x＜0}，集合N＝{x|ax＝1}，若NM，求實數(shù)a的取值范圍． 分析：集合N是關于x的方程ax＝1的解集，集合M＝{x|x＞2}≠，由于NM，則N＝或N≠，要對集合N是否為空集分類討論． 解：由題意得M＝{x|x＞2}≠，則N＝或N≠． 當N＝時，關于x的方程ax＝1中無解，則有a＝0； 當N≠時，關于x的方程ax＝1中有解，則a≠0，此時x＝. 又∵NM，∴∈M.∴＞2.∴0＜a＜. 綜上所得，實數(shù)a的取值范圍是a＝0或0＜a＜， 即實數(shù)a的取值范圍是{a|0≤a＜}. 例2 (1)分別寫出下列集合的子集及其個數(shù)：，{a}，{a，b}，{a，b，c}． (2)由(1)你發(fā)現(xiàn)集合M中含有n個元素，則集合M有多少個子集？ 活動：學生思考子集的含義，并試著寫出子集．(1)按子集中所含元素的個數(shù)分類寫出子集；(2)由(1)總結當n＝0，n＝1，n＝2，n＝3時子集的個數(shù)規(guī)律，歸納猜想出結論． 解：(1) 的子集有：，即有1個子集； {a}的子集有：、{a}，即{a}有2個子集； {a，b}的子集有：、{a}、、{a，b}，即{a，b}有4個子集； {a，b，c}的子集有：、{a}、、{c}、{a，b}、{a，c}、{b，c}、{a，b，c}，即{a，b，c}有8個子集． (2)由(1)可得：當n＝0時，有1＝20個子集； 當n＝1時，集合M有2＝21個子集； 當n＝2時，集合M有4＝22個子集； 當n＝3時，集合M有8＝23個子集． 因此，含有n個元素的集合M有2n個子集． 點評：本題主要考查子集的概念以及分類討論和歸納推理的能力．集合M中含有n個元素，則集合M有2n個子集，有2n－1個真子集，記住這個結論，可以提高解題速度．寫一個集合的子集時，按子集中元素的個數(shù)來寫不易發(fā)生重復和遺漏現(xiàn)象. 變式訓練 　已知集合A{2,3,7}，且A中至多有一個奇數(shù)，則這樣的集合A有… (　　) A．3個　　　　　　　　　B．4個 C．5個 D．6個 解析：對集合A所含元素的個數(shù)分類討論． A＝或{2}或{3}或{7}或{2,3}或{2,7}共有6個． 答案：D 1．判斷正誤： (1)空集沒有子集．(　　) (2)空集是任何一個集合的真子集．(　　) (3)任一集合必有兩個或兩個以上子集．(　　) (4)若BA，那么凡不屬于集合A的元素，則必不屬于B.(　　) 分析：關于判斷題應確實把握好概念的實質(zhì)． 解：該題的4個命題，只有(4)是正確的，其余全錯． 對于(1)、(2)來講，由規(guī)定：空集是任何一個集合的子集，且是任一非空集合的真子集． 對于(3)來講，可舉反例，空集這一個集合就只有自身一個子集． 對于(4)來講，當x∈B時必有x∈A，則xA時也必有xB. 2．集合A＝{x|－1＜x＜3，x∈Z}，寫出A的真子集． 分析：區(qū)分子集與真子集的概念，空集是任一非空集合的真子集，一個含有n個元素的集合的子集有2n個，真子集有2n－1個，則該題先找該集合元素，后找真子集． 解：因－1＜x＜3，x∈Z，故x＝0,1,2， 即A＝{x|－1＜x＜3，x∈Z}＝{0,1,2}． 真子集有、{1}、{2}、{0}、{0,1}、{0,2}、{1,2}，共7個． 3．(1)下列命題正確的是(　　) A．無限集的真子集是有限集 B．任何一個集合必定有兩個子集 C．自然數(shù)集是整數(shù)集的真子集 D．{1}是質(zhì)數(shù)集的真子集 (2)以下五個式子中，錯誤的個數(shù)為(　　) ①{1}∈{0,1,2}?、趝1，－3}＝{－3,1}?、踸0,1,2}{1,0,2}?、堋蕒0,1,2}?、荨蕒0} A．5 B．2 C．3 D．4 (3)M＝{x|3＜x＜4}，a＝π，則下列關系正確的是(　　) A．a(chǎn)M B．a(chǎn)M C．{a}∈M D．{a}M 解析：(1)該題要在四個選項中找到符合條件的選項，必須對概念把握準確，無限集的真子集有可能是無限集，如N是R的真子集，排除A；由于只有一個子集，即它本身，排除B；由于1不是質(zhì)數(shù)，排除D. (2)該題涉及到的是元素與集合，集合與集合的關系． ①應是{1}{0,1,2}，④應是{0,1,2}，⑤應是{0}． 故錯誤的有①④⑤. (3)M＝{x|3＜x＜4}，a＝π. 因3＜a＜4，故a是M的一個元素． {a}是{x|3＜x＜4}的子集，那么{a}M. 答案：(1)C　(2)C　(3)D 4．判斷如下集合A與B之間有怎樣的包含或相等關系． (1)A＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}； (2)A＝{x|x＝2m，m∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}． 解：(1)因A＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}，故A、B都是由奇數(shù)構成的，即A＝B. (2)因A＝{x|x＝2m，m∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}， 又x＝4n＝22n， 在x＝2m中，m可以取奇數(shù)，也可以取偶數(shù)；而在x＝4n中，2n只能是偶數(shù)． 故集合A、B的元素都是偶數(shù)，但B中元素是由A中部分元素構成，則有BA. 5．已知集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，Q＝{x|ax＋1＝0}滿足QP，求a所取的一切值． 解：因P＝{x|x2＋x－6＝0}＝{2，－3}， 當a＝0時，Q＝{x|ax＋1＝0}＝，QP成立． 又當a≠0時，Q＝{x|ax＋1＝0}＝{－}， 要QP成立，則有－＝2或－＝－3，a＝－或a＝. 綜上所述，a＝0或a＝－或a＝. 點評：這類題目給的條件中含有字母，一般需分類討論．本題易漏掉a＝0，ax＋1＝0無解，即Q為空集的情況，而當Q＝時，滿足QP. 6．已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋4＝0}，B＝{x∈R|(x＋1)(x2＋3x－4)＝0}，要使APB，求滿足條件的集合P. 解：由A＝{x∈R|x2－3x＋4＝0}＝， B＝{x∈R|(x＋1)(x2＋3x－4)＝0}＝{－1,1，－4}， 由APB知集合P非空，且其元素全屬于B，即P是B的非空子集，則滿足條件的集合P為{1}或{－1}或{－4}或{－1,1}或{－1，－4}或{1，－4}或{－1,1，－4}． 點評：要解決該題，必須確定滿足條件的集合P的元素，而做到這點，必須明確A、B，充分把握子集、真子集的概念，準確化簡集合是解決問題的首要條件． 7．集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}， (1)若BA，求實數(shù)m的取值范圍； (2)當x∈Z時，求A的非空真子集個數(shù)； (3)當x∈R時，沒有元素x使x∈A與x∈B同時成立，求實數(shù)m的取值范圍． 解：(1)當m＋1＞2m－1即m＜2時，B＝滿足BA. 當m＋1≤2m－1即m≥2時，要使BA成立，需可得2≤m≤3. 綜上所得實數(shù)m的取值范圍為m≤3. (2)當x∈Z時，A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}， ∴A的非空真子集個數(shù)為28－2＝254. (3)∵x∈R，且A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，又沒有元素x使x∈A與x∈B同時成立． 則①若B＝即m＋1＞2m－1，得m＜2時滿足條件； ②若B≠，則要滿足條件有：或解之，得m＞4. 綜上，有m＜2或m＞4. 點評：此問題解決要注意：不應忽略；找A中的元素；分類討論思想的運用． 問題：已知AB，且AC，B＝{0,1,2,3,4}，C＝{0,2,4,8}，則滿足上述條件的集合A共有多少個？ 活動：學生思考AB，且AC所表達的含義．AB說明集合A是集合B的子集，即集合A中元素屬于集合B，同理有集合A中元素屬于集合C.因此集合A中的元素是集合B和集合C的公共元素． 思路1：寫出由集合B和集合C的公共元素所組成的集合，得滿足條件的集合A； 思路2：分析題意，僅求滿足條件的集合A的個數(shù)，轉(zhuǎn)化為求集合B和集合C的公共元素所組成的集合的子集個數(shù)． 解法一：因AB，AC，B＝{0,1,2,3,4}，C＝{0,2,4,8}，由此，滿足AB，有：，{0}，{1}，{2}，{3}，{4}，{0,1}，{0,2}，{2,3}，{2,4}，{0,3}，{0,4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{3,4}，{0,2,4}，{0,1,2}，{0,1,3}，{0,1,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{2,3,4}，{0,3,4}，{0,1,2,3}，{1,2,3,4}，{0,1,3,4}，{0,2,3}，{1,3,4}，{0,1,2,4}，{0,2,3,4}，{0,1,2,3,4}，共25＝32(個)． 又滿足AC的集合A有，{0}，{2}，{4}，{8}，{0,2}，{0,4}，{0,8}，{2,4}，{2,8}，{4,8}，{0,2,4}，{0,2,8}，{0,4,8}，{2,4,8}，{0,2,4,8}，共24＝16(個)． 其中同時滿足AB，AC的有8個，即，{0}，{2}，{4}，{0,2}，{0,4}，{2,4}，{0,2,4}，實際上到此就可看出，上述解法太繁． 解法二：題目只求集合A的個數(shù)，而未讓說明A的具體元素，故可將問題等價轉(zhuǎn)化為B、C的公共元素組成集合的子集數(shù)是多少．顯然公共元素有0、2、4，組成集合的子集有23＝8(個)． 點評：有關集合間關系的問題，常用分類討論的思想來解決；關于集合的子集個數(shù)的結論要熟練掌握，其應用非常廣泛． 本節(jié)課學習了： ①子集、真子集、Venn圖等概念； ②能判斷存在子集關系的兩個集合誰是誰的子集，進一步確定其是否是真子集； ③清楚兩個集合包含關系的確定，主要靠其元素與集合關系來說明． 課本本節(jié)練習B　2、3、4. 本節(jié)教學設計注重引導學生通過歸納來獲得新知，在實際教學中，要留給學生適當?shù)乃伎紩r間，使學生自己通過歸納得到正確結論．豐富學生的學習方式、改進學生的學習方法是高中數(shù)學課程追求的基本理念，學生的數(shù)學學習活動不能僅限于對概念、結論和技能的記憶、模仿和接受，獨立思考、自主探索、合作交流、閱讀自學等都應成為學生學習數(shù)學的重要方式． [備選例題] 例1 下面的Venn圖中反映的是四邊形、梯形、平行四邊形、菱形、正方形這五種幾何圖形之間的關系，問集合A、B、C、D、E分別是哪種圖形的集合？ 分析：結合Venn圖，利用平面幾何中梯形、平行四邊形、菱形、正方形的定義來確定． 解：梯形、平行四邊形、菱形、正方形都是四邊形，故A＝{四邊形}；梯形不是平行四邊形、菱形、正方形，而菱形、正方形是平行四邊形，故B＝{梯形}，C＝{平行四邊形}；正方形是菱形，故E＝{正方形}，即A＝{四邊形}，B＝{梯形}，C＝{平行四邊形}，D＝{菱形}，E＝{正方形}． 例2 設集合A＝{x||x|2－3|x|＋2＝0}，B＝{x|(a－2)x＝2}，則滿足BA的a的值共有(　　) A．2個 B．3個 C．4個 D．5個 解析：由已知得A＝{x||x|＝1或|x|＝2}＝{－2，－1,1,2}，集合B是關于x的方程(a－2)x＝2的解集，∵BA，∴B＝或B≠．當B＝時，關于x的方程(a－2)x＝2無解，∴a－2＝0.∴a＝2.當B≠時，關于x的方程(a－2)x＝2的解為x＝∈A， ∴＝－2或＝－1或＝1或＝2. 解得a＝1或0或4或3，綜上所得，a的值共有5個． 答案：D 例3 集合A＝{x|0≤x＜3且x∈N}的真子集的個數(shù)是(　　) A．16 B．8 C．7 D．4 解析：A＝{x|0≤x＜3且x∈N}＝{0,1,2}，則A的真子集有23－1＝7個． 答案：C 例4 已知集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|(x－1)(x－a)＝0}，試判斷集合B是不是集合A的子集？是否存在實數(shù)a使A＝B成立？ 分析：先在數(shù)軸上表示集合A，然后化簡集合B，由集合元素的互異性，可知此時應考慮a的取值是否為1，要使集合B成為集合A的子集，集合B的元素在數(shù)軸上的對應點必須在集合A對應的線段上，從而確定字母a的分類標準． 解：當a＝1時，B＝{1}，所以B是A的子集；當1＜a≤3時，B也是A的子集；當a＜1或a＞3時，B不是A的子集．綜上可知，當1≤a≤3時，B是A的子集． 由于集合B最多只有兩個元素，而集合A有無數(shù)個元素，故不存在實數(shù)a，使B＝A. 點評：分類討論思想，就是科學合理地劃分類別，通過“各個擊破”，再求整體解決(即先化整為零，再聚零為整)的策略思想．類別的劃分必須滿足互斥、無漏、最簡的要求，探索劃分的數(shù)量界限是分類討論的關鍵． [思考] (1)空集中沒有元素，怎么還是集合？ (2)符號“∈”和“”有什么區(qū)別？ 剖析：(1)疑點是總是對空集這個概念迷惑不解，并產(chǎn)生懷疑的想法．產(chǎn)生這種想法的原因是沒有了解建立空集這個概念的背景，其突破方法是通過實例來體會．例如，根據(jù)集合元素的性質(zhì)，方程的解能夠組成集合，這個集合叫做方程的解集．對于＝0，x2＋4＝0等方程來說，它們的解集中沒有元素．也就是說確實存在沒有任何元素的集合，那么如何用數(shù)學符號來刻畫沒有元素的集合呢？為此引進了空集的概念，把不含任何元素的集合叫做空集．這就是建立空集這個概念的背景．由此看出，空集的概念是一個規(guī)定．又例如，不等式|x|＜0的解集也是不含任何元素，就稱不等式|x|＜0的解集是空集． (2)難點是經(jīng)常把這兩個符號混淆，其突破方法是準確把握這兩個符號的含義及其應用范圍，并加以對比．符號∈只能適用于元素與集合之間，其左邊只能寫元素，其右邊只能寫集合，說明左邊的元素屬于右邊的集合，表示元素與集合之間的關系，如－1∈Z，Z；符號只能適用于集合與集合之間，其左右兩邊都必須寫集合，說明左邊的集合是右邊集合的子集，表示集合與集合之間的關系，如{1}{1,0}，{x|x＜0}．