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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式 第七課時(shí) 線性規(guī)劃教案（二） 蘇教版必修5 教學(xué)目標(biāo)： 使學(xué)生能夠應(yīng)用簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃解決生產(chǎn)實(shí)際中資源配置和降低資源消耗等問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型的能力。 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：數(shù)學(xué)模型的建立。 教學(xué)過(guò)程： 例1：某工廠有甲、乙兩種產(chǎn)品，按計(jì)劃每天各生產(chǎn)不少于15t，已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1t需煤9t，電力4kw，勞動(dòng)力3個(gè)（按工作日計(jì)算）；生產(chǎn)乙產(chǎn)品l t需煤4t，電力5kw，勞動(dòng)力10個(gè)；甲產(chǎn)品每噸價(jià)7萬(wàn)元，乙產(chǎn)品每噸價(jià)12萬(wàn)元；但每天用煤量不得超過(guò)300噸，電力不得超過(guò)200 kw，勞動(dòng)力只有300個(gè)，問(wèn)每天各生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品多少噸，才能既保證完成生產(chǎn)任務(wù)，又能為國(guó)家創(chuàng)造最多的財(cái)富。 分析：先設(shè)出每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為x t和y t，建立約束條件和目標(biāo)函數(shù)后，再利用圖形直觀解題。 解：設(shè)每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品x t，乙產(chǎn)品y t，總產(chǎn)量S t， 依題意約束條件為： 目標(biāo)函數(shù)為 S＝7x＋12y 約束條件表示的可行域是五條直線所圍成區(qū)域的內(nèi)部的點(diǎn)加上它的邊界上的點(diǎn)（如圖陰影部分） 現(xiàn)在就要在可行域上找出使S＝7x＋12y取最大值的點(diǎn)（x，y）。作直線S＝7x＋12y，隨著S取值的變化，得到一束平行直線，其縱截距為 ，可以看出，直線的縱截距越大，S值也越大。 從圖中可以看出，當(dāng)直線S＝7x＋12y經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線的縱截距最大，所以S也取最大值。 解方程組 得A（20，24），故當(dāng)x＝20，y＝24時(shí)， Smax＝720＋1224＝428（萬(wàn)元） 答：每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品20 t，乙產(chǎn)品24 t，這樣既保證完成任務(wù)，又能為國(guó)家創(chuàng)造最多的財(cái)富428萬(wàn)元。 評(píng)析：解決簡(jiǎn)單線性規(guī)劃應(yīng)用題的關(guān)鍵是：（1）找出線性約束條件和目標(biāo)函數(shù)；（2）準(zhǔn)確畫(huà)出可行域；（3）利用S的幾何意義，求出最優(yōu)解。 例2：一位農(nóng)民有田2畝，根據(jù)他的經(jīng)驗(yàn)：若種水稻，則每畝每期產(chǎn)量為400 kg；若種花生，則每畝每期產(chǎn)量為100 kg，但水稻成本較高，每畝每期需240元，而花生只要80元，且花生每 kg可賣(mài)5元，稻米每kg只賣(mài)3元，現(xiàn)在他只能湊足400元，問(wèn)這位農(nóng)民對(duì)兩種作物各種多少畝，才能得到最大利潤(rùn)？ 分析：最優(yōu)種值安排問(wèn)題就是求非負(fù)變量x、y滿足條件x＋y≤2和240x＋80y≤400時(shí)，利潤(rùn)P達(dá)到最大。 解：如圖所示，設(shè)水稻種x畝，花生種y畝， 則由題意得 而利潤(rùn)P＝（3400－240）x＋（5100－80）y ＝960x＋420y（目標(biāo)函數(shù)） 可聯(lián)立 得交點(diǎn)P（1.5，0.5） 故當(dāng)x＝1.5，y＝0.5時(shí)，Pmax＝9601.5＋4200.5＝1650 即水稻種1.5畝，花生種0.5畝時(shí)所得到利潤(rùn)最大。 例3：要將兩種大小不同的鋼板截成Ａ、Ｂ、Ｃ三種規(guī)格，每張鋼板可同時(shí)截得三種規(guī)格的小鋼板的塊數(shù)如下表所示： 　　 規(guī)格類(lèi)型 鋼板類(lèi)型 Ａ規(guī)格 Ｂ規(guī)格 Ｃ規(guī)格 第一種鋼板 ２ １ １ 第二種鋼板 １ ２ ３ 今需要A、B、C三種規(guī)格的成品分別為15、18、27塊，問(wèn)各截這兩種鋼板多少?gòu)埧傻盟枞N規(guī)格成品，且使所用鋼板張數(shù)最少？ 解：設(shè)需截第一種鋼板x張，第二種鋼板y張， 則 作出可行域（如右圖）：（陰影部分） 目標(biāo)函數(shù)為z＝x＋y 作出一組平行直線x＋y＝t，其中經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)且和原點(diǎn)距離最近的直線，經(jīng)過(guò)直線x＋3y＝27和直線2x＋y＝15的交點(diǎn)A（，），直線方程為x＋y＝. 由于和都不是整數(shù)，而最優(yōu)解（x，y）中，x，y必須都是整數(shù)，可行域內(nèi)點(diǎn)（，）不是最優(yōu)解. 經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的整點(diǎn)且與原點(diǎn)距離最近的直線是x＋y＝12，經(jīng)過(guò)的整點(diǎn)是B(3，9)和C(4，8)，它們都是最優(yōu)解. 答:要截得所需三種規(guī)格的鋼板,且使所截兩種鋼板的張數(shù)最少的方法有兩種:第一種截法是截第一種鋼板3張.第二種鋼板9張；第二種截法是截第一種鋼板4張、第二種鋼板8張.兩種方法都最少要截兩種鋼板共12張. 說(shuō)明：在例3中，線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解（，）不是實(shí)際問(wèn)題的最優(yōu)解，應(yīng)使學(xué)生注意到具有實(shí)際意義的x，y應(yīng)滿足x∈N，y∈N.故最優(yōu)解應(yīng)是整點(diǎn)坐標(biāo)。 小結(jié)：處理簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，需從題意中建立起目標(biāo)函數(shù)和相應(yīng)的約束條件，實(shí)際上就是建立數(shù)學(xué)模型。 練習(xí)： 課本P84 4，5 作業(yè)： 課本P88 5，6 教學(xué)后記：