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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用》教案5 新人教A版必修4 一、教材分析 1、本單元的教學(xué)內(nèi)容的范圍 1.1 任意角的概念與弧度制 1.1.1角的概念的推廣 1.1.2弧度制和弧度制與角度制的換算 1.2 任意角的三角函數(shù) 1.2.1三角函數(shù)的定義 1.2.2單位圓與三角函數(shù)線 1.2.3同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 1.2.4誘導(dǎo)公式 1.3 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 1.3.1正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì) 1.3.2余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì) 1.3.3已知三角函數(shù)求值 2．本單元的教學(xué)內(nèi)容在模塊內(nèi)容體系中的地位和作用 （1）三角函數(shù)在高中課程中的地位和作用 三角函數(shù)是基本初等函數(shù)之一，它是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，它的認(rèn)知基礎(chǔ)主要是幾何中圓的性質(zhì)、相似形的有關(guān)知識，在數(shù)學(xué)（Ⅰ）中建立的函數(shù)概念以及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的研究方法。主要的學(xué)習(xí)內(nèi)容是三角函數(shù)是概念、圖象和性質(zhì)，以及三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用；研究方法主要是代數(shù)變形和圖象分析。因此，三角函數(shù)的研究已經(jīng)初步把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來了。本章所介紹的知識，既是解決生產(chǎn)實際問題的工具，又是學(xué)習(xí)后繼內(nèi)容和高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，三角函數(shù)是數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)模型之一，是研究度量幾何的基礎(chǔ)，又是研究自然界周期變化規(guī)律最強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具。三角函數(shù)作為描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，與其他學(xué)科聯(lián)系緊密。 （2）本章知識結(jié)構(gòu) 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 任意角的三角函數(shù) 角度制與弧度制 任意角的概念 已知三角函數(shù)值求角 誘導(dǎo)公式 同角三角函數(shù)關(guān)系 扇形的弧長與面積 3．本單元的教學(xué)內(nèi)容總體教學(xué)目標(biāo) 1）知識和技能目標(biāo) （1）任意角、弧度 　　 了解任意角的概念和弧度制，能進(jìn)行弧度與角度的互化。 （2）三角函數(shù) ①借助單位圓理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義。 　 ② 借助單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式（，能畫出的圖象，了解三角函數(shù)的周期性。 　?、?借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在，正切函數(shù)在上的性質(zhì)（如單調(diào)性、最大和最小值、圖象與軸交點(diǎn)等）。 ④ 理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式： ⑤ 結(jié)合具體實例，了解的實際意義；能借助計算器或計算機(jī)畫出的圖象，觀察參數(shù)對函數(shù)圖象變化的影響。 ⑥會用三角函數(shù)解決一些簡單實際問題，體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型。 2）過程與方法目標(biāo) ①用運(yùn)動變化的觀點(diǎn)了解角的概念的推廣是解決現(xiàn)實生活和生產(chǎn)中實際問題的需要，通過對各種角的表示法的訓(xùn)練，提高分析、抽象、概括的能力。 ②正確理解三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量的函數(shù)，通過研究三角函數(shù)的性質(zhì)和圖象，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想方法。 ③通過圖象變換的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析、理解問題的能力；培養(yǎng)利用聯(lián)系、變化的辨證唯物主義觀點(diǎn)去分析問題的能力。 ④結(jié)合有關(guān)內(nèi)容（如角度與弧度的換算，已知角求它的三角函數(shù)值，已知三角函數(shù)值求角）進(jìn)行算法的基本訓(xùn)練，鼓勵學(xué)生運(yùn)用計算器，計算機(jī)求函數(shù)值，作函數(shù)圖象，探索和解決問題。 3）情感，態(tài)度和價值觀目標(biāo) ①通過對角的概念的推廣，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；理解并認(rèn)識角度制與弧度制是辨證統(tǒng)一的，不是孤立的、割裂的。 ②通過對同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的學(xué)習(xí)，揭示事物之間普遍聯(lián)系的規(guī)律，培養(yǎng)辨證唯物主義思想。 ③通過圖象變換的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)從特殊到一般，從具體到抽象的思維方法，從而達(dá)到從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的飛躍。 4．本單元的教學(xué)內(nèi)容重點(diǎn)和難點(diǎn)分析 ①本單元教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)：任意角三角函數(shù)的概念，同角三角函數(shù)的關(guān)系式，誘導(dǎo)公式，正弦函數(shù)的性質(zhì)與圖象，函數(shù)的圖象和正弦函數(shù)圖象的關(guān)系。 （2）本單元教學(xué)內(nèi)容的難點(diǎn)：弧度制和周期函數(shù)的概念，正弦型函數(shù)的圖象變換，綜合運(yùn)用公式進(jìn)行求值、化簡和證明等。 二、與本單元教學(xué)內(nèi)容相適應(yīng)的教學(xué)方法和教學(xué)方法概述 合理選用啟發(fā)式講授、探究性學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)等多種教學(xué)方法，結(jié)合教材特點(diǎn)、學(xué)生基礎(chǔ)確定切合教學(xué)實際的教法。 三、本單元所需教學(xué)資源的概述 幾何畫板、Excel、scilab等輔助教學(xué)軟件、人教社網(wǎng)站，相關(guān)資料包（光盤、試題、等） 四、本單元學(xué)時建議 1.1 任意角的概念與弧度制 2課時 1.2 任意角的三角函數(shù) 7課時 1.3 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 6課時 本章小結(jié) 1課時 （共計16學(xué)時，僅供參考） 1.1.1 角的概念的推廣——任意角、終邊相同的角、象限角 教學(xué)目標(biāo) 『知識與技能』 1． 認(rèn)識角擴(kuò)充的必要性，了解任意角的概念，與過去學(xué)習(xí)過的一些容易混淆的概念相區(qū)分； 2． 能用集合和數(shù)學(xué)符號表示終邊相同的角，體會終邊相同角的周期性； 3． 能用集合和數(shù)學(xué)符號表示象限角； 4． 能用集合和數(shù)學(xué)符號表示終邊滿足一定條件的角. 『過程與方法』 1. 通過角的概念的擴(kuò)充，讓學(xué)生體會動態(tài)與靜態(tài)數(shù)學(xué)觀的差異，進(jìn)一步理解旋轉(zhuǎn)變換的作用； 2. 通過角合成的算法，終邊相同角的表示方法及其推廣讓學(xué)生體會在數(shù)學(xué)學(xué)科中，將概念的形式化、數(shù)量化的過程與方法，借此進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想、方法，這是本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容； 『情感、態(tài)度和價值觀』 通過掌握角合成的算法，終邊相同角的表示方法及其推廣的過程與方法，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的抽象化、形式化等學(xué)科特點(diǎn). 知識的重點(diǎn) 形成任意角（正角、負(fù)角、零角）、終邊相同的角、象限角的概念，掌握終邊相同的角的表示方法和判定方法 知識的難點(diǎn) 終邊相同的角的概念、其符號表示、集合表示 教學(xué)方法 本節(jié)教學(xué)方法采用教師引導(dǎo)下的討論法，通過多媒體課件在教師的帶領(lǐng)下，學(xué)生發(fā)現(xiàn)就概念、就方法的不足之處，進(jìn)而探索新的方法，形成新的概念，突出數(shù)形結(jié)合思想與方法在概念形成與形式化、數(shù)量化過程中的作用，是一節(jié)體現(xiàn)數(shù)學(xué)的邏輯性、思想性比較強(qiáng)的課. 教學(xué)過程 環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 師生互動 設(shè)計意圖 情境引入 復(fù)習(xí)靜態(tài)數(shù)學(xué)觀下，按圖形組合方式定義角. 復(fù)習(xí)動態(tài)的數(shù)學(xué)觀指導(dǎo)下，按“圖形（旋轉(zhuǎn)）變換”的方式定義角. 『提問』角是數(shù)學(xué)中最常見的基本圖形之一，按圖形組合的方式來看，角是由哪些基本的圖形組成的呢？ 『解答』有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角. 『提問』不加任何描述條件，兩條共端點(diǎn)的射線組成幾個角？這兩個角之間有什么關(guān)系？它們的取值范圍是多少？ 『解答』兩個，和為360，0～360（大于等于0且小于360）. 『提問』在圖上我們?nèi)绾螀^(qū)分這兩個角？ 『解答』標(biāo)示、添加描述條件等 『提示』『演示』 為了解決上述問題，我們看另一種定義方式.即，一條射線繞著它的端點(diǎn)從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一位置所形成的圖形叫做角. 『提問』兩種定義方式有什么異同之處？ 『解答』 角 組合式 旋轉(zhuǎn)式 邊 兩條射線 一條射線，另一邊是其經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變換的結(jié)果 頂點(diǎn) 公共端點(diǎn) 旋轉(zhuǎn)中心 個數(shù) 兩個 ？ 范圍 0～360 ？ 『思考』在旋轉(zhuǎn)式定義方式下，我們會產(chǎn)生這樣的質(zhì)疑： 1． 一次旋轉(zhuǎn)而得的角有幾個？ 2． 兩條射線一次組合產(chǎn)生的兩個角，如何用旋轉(zhuǎn)的方式表示？ 3． 當(dāng)旋轉(zhuǎn)超過一周時，如何描述旋轉(zhuǎn)量？ 發(fā)現(xiàn)靜態(tài)數(shù)學(xué)觀下，按“圖形組合”的方式定義角的概念有很大的局限性. 比較兩種角的定義，發(fā)現(xiàn)差異，為角的概念的推廣做準(zhǔn)備 概念形成 任意角的概念 按照逆時針方向旋轉(zhuǎn)而成的角叫做正角； 按照順時針方向旋轉(zhuǎn)而成的角叫做負(fù)角； 當(dāng)射線沒有旋轉(zhuǎn)時，叫做零角. 在畫圖時，常用帶箭頭的弧來表示旋轉(zhuǎn)的方向和旋轉(zhuǎn)的絕對量.旋轉(zhuǎn)生成的角，又常叫做轉(zhuǎn)角. 任意角的圖示方法 如圖(課本圖1－1)，射線OA繞端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB的位置所成的角，記作∠AOB，其中OA叫做∠AOB的始邊，OB叫做∠AOB的終邊.以O(shè)B為始邊，OA為終邊的角記作∠BOA. 顯然，當(dāng)我們用旋轉(zhuǎn)的方式定義角時，原有的角的范圍必須被擴(kuò)充. 一． 任意角的概念 我們用旋轉(zhuǎn)變換的觀點(diǎn)來擴(kuò)充角的概念，即解決旋轉(zhuǎn)變換的三個要素（旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量）對角的概念有什么影響？ （1） 旋轉(zhuǎn)方向：旋轉(zhuǎn)變換的方向分為逆時針和順時針兩種，這是一對意義相反的量，根據(jù)以往的經(jīng)驗，我們可以把一對意義相反的量用正負(fù)數(shù)來表示，那么質(zhì)疑一中提到的問題就可以解決了； （2） 旋轉(zhuǎn)量：當(dāng)旋轉(zhuǎn)超過一周時，旋轉(zhuǎn)量即超過360，角度的絕對值可大于360.這樣質(zhì)疑二中的問題就可以解決了； （3） 旋轉(zhuǎn)中心：作為角的頂點(diǎn). 『板書』『畫圖』 按照逆時針方向旋轉(zhuǎn)而成的角叫做正角； 按照順時針方向旋轉(zhuǎn)而成的角叫做負(fù)角； 當(dāng)射線沒有旋轉(zhuǎn)時，叫做零角. 在畫圖時，常用帶箭頭的弧來表示旋轉(zhuǎn)的方向和旋轉(zhuǎn)的絕對量.旋轉(zhuǎn)生成的角，又常叫做轉(zhuǎn)角. 如圖(課本圖1－1)，射線OA繞端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB的位置所成的角，記作∠AOB，其中OA叫做∠AOB的始邊，OB叫做∠AOB的終邊.以O(shè)B為始邊，OA為終邊的角記作∠BOA. 例：∠AOB＝120，∠BOA＝－120. 以旋轉(zhuǎn)變換的要素為線索，發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)式定義是如何擴(kuò)充角的概念的 應(yīng)用舉例 『例題』如圖（課本圖1－2），射線’OA繞端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的絕對量超過了周角，按照圖中箭頭所指的方向和弧線表示的周數(shù)，可以表示角的度數(shù). 『練習(xí)』讀角練習(xí) 教師講解，學(xué)生練習(xí) 在實踐中鞏固所學(xué)概念 概念應(yīng)用 角的合成與運(yùn)算問題 各角和的旋轉(zhuǎn)量等于各角旋轉(zhuǎn)量的和. 二． 角的合成與運(yùn)算 『例題』課本P4 『小結(jié)』各角和的旋轉(zhuǎn)量等于各角旋轉(zhuǎn)量的和. 根據(jù)已有的定義，我們可以發(fā)現(xiàn)：如果把度數(shù)相同的角看成是一個角，那么角和實數(shù)之間可以形成一一對應(yīng)的關(guān)系. 于是，角的合成可以用實數(shù)運(yùn)算來表示. 『練習(xí)』 1． 課本P7.練習(xí)A.5題 2． 課本P6練習(xí)A.2題（3） 讓學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用 概念形成 如果當(dāng)角與角的始邊重合時，它們的終邊也重合，那么我們稱角與角是終邊相同的角. 一般地，如果是終邊相同的角，那么我們記 ， 當(dāng)k＝0時，兩個角相同. 終邊相同的角的集合形式： 設(shè)表示任意角，所有與終邊相同的角，包括本身構(gòu)成一個集合，這個集合可記為 如果我們固定角的始邊，因其終邊可以任意旋轉(zhuǎn)，故而可以構(gòu)成任意度數(shù)的角，而通過觀察我們可以發(fā)現(xiàn)，這些角中有很多角的邊是重合的. 因此我們定義： 三． 終邊相同的角 1． 定義 如果當(dāng)角與角的始邊重合時，它們的終邊也重合，那么我們稱角與角是終邊相同的角. 2． 表示方法 『思考』終邊相同的角度數(shù)相等么？反之，度數(shù)相等的角終邊相同么？ 『解答』終邊相同的角度數(shù)不一定相等；而度數(shù)相等的角終邊一定相同？ 『思考』終邊相同的兩個角的度數(shù)有什么關(guān)系？ 『解答』終邊相同的兩個角的位置關(guān)系是——兩邊重合，數(shù)量關(guān)系是——差是360的整數(shù)倍. 『思考』設(shè)是終邊相同的兩個角，如何用符號語言表示其數(shù)量關(guān)系？ 『解答』，通過變形可以得到 『小結(jié)』一般地，如果是終邊相同的角，那么我們記 ， 當(dāng)k＝0時，兩個角相同. 『說明』 我們來總結(jié)一下，如何把終邊相同的角的圖形變換特性轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系形式的. 從角的旋轉(zhuǎn)式定義看，終邊相同角的本質(zhì)特征是：每旋轉(zhuǎn)360的整數(shù)倍后兩角重合. 旋轉(zhuǎn)初值 整數(shù)k 形式化 旋轉(zhuǎn)次數(shù) 強(qiáng)調(diào)建立坐標(biāo)系的方法 360 單位旋轉(zhuǎn)量 3． 終邊相同的角的集合 設(shè)表示任意角，所有與終邊相同的角，包括本身構(gòu)成一個集合，這個集合可記為 . 集合中的每一個元素都與的終邊相同，當(dāng)k＝0時，對應(yīng)元素為. 定義終邊相同的角 引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)終邊相同的角的表示方法 借助終邊相同的角的表示方法，研究旋轉(zhuǎn)變換的數(shù)量表示形式，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想與方法 應(yīng)用舉例 1．寫出與下列各角終邊相同的角的集合S，并在0～360內(nèi)找出與它們終邊相同的角. （1）－150 （2）650 （3）－95015’ 2．課本P6.例4 教師講解，學(xué)生練習(xí) 在實踐中鞏固所學(xué)概念 概念推廣 從終邊相同的角的符號表示方法推出符號表示終邊滿足一定條件的角的方法 例如， ，表示角每次旋轉(zhuǎn)180，角與角的終邊關(guān)于原點(diǎn)對稱. 表示角每次旋轉(zhuǎn)90，角與角的終邊關(guān)于坐標(biāo)軸對稱. ※角與角－的終邊關(guān)于x軸對稱等. 四．符號表示終邊滿足一定條件的角 『例題』已知，角＝45，角的終邊與角的終邊關(guān)于原點(diǎn)對稱，寫出角的集合S. 『解答』 『思考』比較與角終邊相同的角的集合，你能發(fā)現(xiàn)什么？ 『討論』 『小結(jié)』在中，表示旋轉(zhuǎn)初值，整數(shù)k表示旋轉(zhuǎn)次數(shù)，360表示單位旋轉(zhuǎn)量.改變這些常數(shù)，表示不同的旋轉(zhuǎn)過程.例如，表示角每次旋轉(zhuǎn)180，角與角的終邊關(guān)于原點(diǎn)對稱. 『思考』類似地請你自己做一些探究. 『結(jié)論』表示角每次旋轉(zhuǎn)90，角與角的終邊關(guān)于坐標(biāo)軸對稱. ※角與角－的終邊關(guān)于x軸對稱等. 終邊相同的角的表示方法的推廣，即旋轉(zhuǎn)變換的數(shù)量表示形式、數(shù)形結(jié)合的思想與方法的練習(xí)，這是本節(jié)的提升點(diǎn) 重點(diǎn)在于讓學(xué)生建立起圖形變換可以通過數(shù)量關(guān)系式加以描述的觀念，并掌握具體方法 用探究所得的思想和方法解決新問題 應(yīng)用舉例 『例題』課本P5.例3； 『練習(xí)』 1． 寫出終邊在y軸上的角的集合；（課本P7.練習(xí)B.1） 2． 寫出終邊在一、三象限角平分線上的角的集合.（課本P7.練習(xí)B.2） 3． 課本P7.練習(xí)B.3 教師講解，學(xué)生練習(xí) 在實踐中鞏固所學(xué)概念 概念推廣 平面內(nèi)任意一個角都可以通過移動，使角的頂點(diǎn)和平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，角的始邊和x軸的正半軸重合，這時，角的終邊在第幾象限，就把這個角叫做第幾象限的角. 五．象限角的概念 今后我們通常在平面直角坐標(biāo)系中討論角. 『定義』 平面內(nèi)任意一個角都可以通過移動，使角的頂點(diǎn)和平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，角的始邊和x軸的正半軸重合，這時，角的終邊在第幾象限，就把這個角叫做第幾象限的角. 將任意角等概念與坐標(biāo)系相結(jié)合，為三角函數(shù)做準(zhǔn)備 應(yīng)用舉例 『例題』 1． 課本P7.練習(xí)A.4 2． 課本P7.練習(xí)B.4 3． 如果用數(shù)軸上的點(diǎn)表示角度，象限角所對應(yīng)的點(diǎn)如何分布？ 4． 新學(xué)案P1.例題2 教師講解，學(xué)生練習(xí) 第3題，進(jìn)一步明確終邊相同的角的周期性，為三角函數(shù)做準(zhǔn)備 總結(jié)回顧 1、 任意角的概念 2、 角的合成與運(yùn)算 3、 終邊相同的角的表示方法 4、 終邊滿足一定條件的角的表示方法 5、 象限角的概念與表示方法 教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧，簡單繪制本節(jié)課的知識脈絡(luò)圖 本節(jié)課概念眾多，通過梳理脈絡(luò)，幫助學(xué)生鞏固知識 作業(yè) 新學(xué)案 A組、B組 下節(jié)課通過測驗檢查作業(yè)落實情況 課后練習(xí)，鞏固所學(xué) 備注 本節(jié)所選例題超過課時限制，宜在實際操作中加以選擇 1.1.2弧度制和弧度制與角度制的換算 一、教學(xué)目標(biāo)： 1．知識目標(biāo)： （1）1弧度的角的定義；（2）弧度制的定義；（3）弧度與角度的換算；（4）角的集合與實數(shù)集R之間建立的一一對應(yīng)關(guān)系；（5）弧度制下的弧長公式、扇形面積公式。 2．能力目標(biāo)： （1）理解弧度的意義，能正確地進(jìn)行角度與弧度的換算，熟記特殊角的弧度數(shù)；（2）了解角的集合與實數(shù)集R之間可以建立起一一對應(yīng)關(guān)系；（3）掌握弧度制下的弧長公式，扇形的面積公式；（4）會利用弧度解決某些實際問題。 3．情感目標(biāo)： （1）使學(xué)生認(rèn)識到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者雖然單位不同，但是互相聯(lián)系的、辯證統(tǒng)一的，進(jìn)一步加強(qiáng)對辯證統(tǒng)一思想的理解；（2）使學(xué)生通過總結(jié)引入弧度制的好處，學(xué)會歸納、整理并認(rèn)識到任何新知識的學(xué)習(xí)都會為我們解決實際問題帶來方便，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。 二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)： 重點(diǎn)：弧度的意義，弧度與角度的換算方法； 難點(diǎn)：理解弧度制與角度制的區(qū)別。 三、教學(xué)方法： 通過幾何畫板多媒體課件的演示，給學(xué)生以直觀的形象，使學(xué)生進(jìn)一步理解弧度作為角的度量單位的可靠性和可行性。從特殊到一般，是人類認(rèn)識事物的一般規(guī)律，讓學(xué)生從某一個簡單的、特殊的情況開始著手，更利于教學(xué)的開展和學(xué)生思維的拓展，共同找出弧度與角度換算的方法。通過設(shè)置問題啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、歸納，使學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上更好地進(jìn)行合作交流。 四、教學(xué)過程： 教學(xué) 環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 師生互動 設(shè)計意圖 復(fù) 學(xué) 引 入 1． 復(fù)習(xí)上節(jié)課所學(xué)角的概念。 2． 初中所學(xué)的角度制。 師：上節(jié)課我們把角的概念進(jìn)行了擴(kuò)充，角分為幾類？（正角、負(fù)角、零角） 師：在初中幾何里，我們學(xué)習(xí)過角的度量，1度的角是怎樣定義的呢？ 答：周角的1/360為1度的角。 師：這種用角作單位來度量角的制度叫做角度制，今天我們來學(xué)習(xí)另一種在數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中常用的度量角的制度——弧度制。（板書課題） 共同回顧角度制，從而為下面角度制與弧度制的比較埋下伏筆。 概念 形成 概 念 形 成 1． 圓心角、弧長和半徑之間的關(guān)系： 在同心圓中，同一圓心角所對的弧與它所在圓的半徑的比值是一個常數(shù)，即 定值. 2． 定義：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad。這種以弧度為單位來度量角的制度叫做弧度制。注：今后在用弧度制表示角的時候，弧度二字或rad可以略去不寫。 3． 與角度制相比： (1)弧度制是以“弧度”為單位的度量角的單位制，角度制是以“度”為單位來度量角的單位制；（2）1弧度是弧長等于半徑長的弧所對的圓心角的大小，而1度是圓周的所對的圓心角的大??；（3）弧度制是十進(jìn)制，而角度制是六十進(jìn)制；（4）以弧度和度為單位的角，都是一個與半徑無關(guān)的定值。 4． 公式：，表示的是在半徑為的圓中，弧長為的弧所對的圓心角是 rad。 1． 角是由射線繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的，在旋轉(zhuǎn)的過程中射線上的必然形成一條圓弧，不同的點(diǎn)所形成的圓弧的長度是不同的，如圖所示，但都對應(yīng)同一個圓心角。 教師用多媒體演示，引導(dǎo)學(xué)生思考=定值，并與學(xué)生一起探究相等的原因：設(shè)，弧長為，半徑為，則，可以看出，等式右端不含半徑，表示弧長與半徑的比值跟半徑無關(guān)，只與的大小有關(guān)。 結(jié)論：可以用圓的半徑作單位去度量角。 2． 在給出弧度的定義之后，請同學(xué)們討論弧度制與角度制的區(qū)別和聯(lián)系，教師加以概括總結(jié)。 3． 用公式求圓心角時，應(yīng)強(qiáng)調(diào)其結(jié)果是圓心角的弧度數(shù)，并要求學(xué)生掌握此公式的變形形式：和。 1．邊演示邊說明，使學(xué)生通過圖像來獲取對新概念的直觀印象。 2．通過和學(xué)生一起探究，使學(xué)生明白新概念的由來，從而加深理解。 3．通過對比，讓學(xué)生對知識進(jìn)行類比、遷移和聯(lián)想，加深對概念的理解；通過分組討論，加強(qiáng)學(xué)生間的交流和合作，發(fā)揮他們學(xué)習(xí)的主動性。 4．由于在物理上計算角速度時要經(jīng)常用到此公式，因此要求學(xué)生掌握它及其兩個變形。 弧度制與角度制的換算 弧度制與角度制的換算 1． 用角度制和弧度制度量角，零角既是角，又是0 rad角，同一個非零角的度數(shù)和弧度數(shù)是不同的。 2． 周角的弧度數(shù)： rad 3． 換算公式： rad=, rad. 4．特殊角的角度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)表 5．角的集合與實數(shù)集R之間建立起一種一一對應(yīng)關(guān)系。 6．把角度值換算為弧度值的一個“算法”： （1）給變量和圓周率的近似值賦值； （2）如果角度值是以“度、分、秒”形式給出，先把化為以“度”為單位的10進(jìn)制表示； （3）計算，得出的結(jié)果賦給變量； （4）計算，賦值給變量。 1． 由上面的公式可以計算給定弧長和半徑的圓心角的弧度，請同學(xué)們考慮一下，人給一個角度時怎么換算成弧度呢？反過來又該怎么做呢？ 2． 先引導(dǎo)學(xué)生計算周角的弧度數(shù)，在此基礎(chǔ)上再來考慮換算問題，并和學(xué)生一起推導(dǎo)出兩個換算公式。補(bǔ)充負(fù)角所對應(yīng)的弧度數(shù)。 3． 通過學(xué)生的實際計算和運(yùn)用，讓學(xué)生熟練掌握特殊角的角度和弧度的對應(yīng)表。 4． 同學(xué)分組討論一下角的集合與實數(shù)集的對應(yīng)關(guān)系。 答：一一對應(yīng)。 問：在這兩種單位制下都是一一對應(yīng)嗎？ 由于每一個角都有唯一的一個實數(shù)（角度數(shù)或弧度數(shù)）與它對應(yīng)，反過來，每一個實數(shù)也都有唯一的一個角和它對應(yīng)，因此，無論用角度制還是弧度制，都能在角的集合與實數(shù)集R之間建立起一種一一對應(yīng)關(guān)系。 5．根據(jù)上面的公式，帶領(lǐng)學(xué)生寫出由角度換算為弧度的算法，讓學(xué)生自己寫出由弧度換算角度的算法。 1．讓學(xué)生意識到相互轉(zhuǎn)換得必要性和重要性，激發(fā)學(xué)生積極思考問題。 2．從特殊到一般，是人類認(rèn)識事物的一般規(guī)律，讓學(xué)生從某一個簡單的、特殊的情況開始著手，更利于教學(xué)的開展和學(xué)生思維的拓展。 3．觀察分析和小組討論相結(jié)合，進(jìn)一步加深學(xué)生對新知識的理解和掌握。 4．寫算法一方面訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維能力，另一方面也為后面學(xué)習(xí)算法打下基礎(chǔ)。 典型例題 例1 （1）把化成弧 度（精確到0.001）； （2）把化成弧度（精確到）。 例2 把化成度。 例3 扇形AOB中，所對的圓心角是，半徑是50米，求的長（精確到0.1米）。 例4 利用弧度制推導(dǎo)扇形面積公式其中是扇形的弧長，是扇形的半徑。 例1、例2學(xué)生板書，教師指導(dǎo)。 例3、例4教師講解并板書，在解題步驟的規(guī)范性上為學(xué)生做好榜樣。 關(guān)于例4，請學(xué)生思考：把扇形面積公式和三角形面積公式進(jìn)行類比，你會產(chǎn)生什么聯(lián)想？ 通過例1和例2 讓學(xué)生掌握弧度和角度換算的方法，例3 是弧長公式的應(yīng)用，例4是推導(dǎo)扇形面積公式，從而對相關(guān)問題的解決提供工具。 歸納小結(jié) 1．1弧度的角和弧度制的定義； 2．弧度與角度的換算； 3．弧度制下的弧長公式、扇形面積公式。 讓學(xué)生談?wù)劚竟?jié)課的收獲，教師歸納。 注重學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性，發(fā)表本節(jié)課的體驗和收獲。 布置作業(yè) 層次一：教材練習(xí)A，2，4，5。 層次二：教材練習(xí)B，4；習(xí)題1-1A，2。 層次一的題目要求所有學(xué)生完成，層次二的題目要求中等以上水平的學(xué)生完成。 通過分層作業(yè)，使不同層次的學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)課所學(xué)知識。 附錄（表格和圖）： 度 弧度 1．2．1（第一課時）任意角的三角函數(shù)的定義（一） 一、 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解并掌握任意角三角函數(shù)的定義. 2.理解三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量的函數(shù). 3.掌握正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域. 二、重點(diǎn)難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)：三角函數(shù)的定義和定義域。 教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)任意角三角函數(shù)定義求三角函數(shù)值 授課類型：新授課 課時安排：1課時 教 具：多媒體、實物投影儀 三、教學(xué)過程 教學(xué)環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 師生互動 設(shè)計意圖 復(fù)習(xí)引入 1.在初中我們學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)，它是以銳角為自變量，邊的比值為函數(shù)值的三角函數(shù): 教師提出問題：初中是如何定義角的？ 師:前面我們對角的概念進(jìn)行了擴(kuò)充,并學(xué)習(xí)了弧度制,知道角的集合與實數(shù)集是一一對應(yīng)的,在這個基礎(chǔ)上,今天我們來研究任意角的三角函數(shù). 溫故知新 概念形成 1．用坐標(biāo)形式表示出中所學(xué)的銳角三角函數(shù) 設(shè)點(diǎn)P（x,y）是銳角終邊上的任意一點(diǎn)，記OP=r(r≠0), 則，， 2．任意角的三角函數(shù) 設(shè)是一個任意角，在的終邊上任?。ó愑谠c(diǎn)的）一點(diǎn)P(x,y) 則P與原點(diǎn)的距離根據(jù)三角形的相似知識得到均為定值。 比值叫做的正弦, 記作： 比值叫做的余弦, 記作： 比值叫做的正切, 記作： (4)角的其它三種三角函數(shù) 比值叫做的余切, 記作： 比值叫做的正割, 記作： 比值叫做的余割, 記作： 1. 以坐標(biāo)原點(diǎn)為銳角的頂點(diǎn),以O(shè)x軸為角的始邊,則角的終邊落在直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi),若設(shè)點(diǎn)P(x,y)始終邊上的任意一點(diǎn),記OP=r(r≠0),試將角的三角函數(shù)用x,y,y表示出來. 學(xué)生作圖,教師在此過程中要引導(dǎo)學(xué)生在坐標(biāo)系中做出符合銳角三角函數(shù)定義要求的直角三角形.該過程中要適時指點(diǎn)學(xué)生,并加強(qiáng)學(xué)生與學(xué)生之間的討論與交流. 回答問題:教師通過多媒體將此過程展示給學(xué)生,明確坐標(biāo)與三角函數(shù)的關(guān)系. 2. 教師提出問題: 問題1：根據(jù)剛才我們在直角坐標(biāo)系中討論的銳角三角函數(shù)，你能給出任意角的三角函數(shù)定義嗎? 由學(xué)生討論回答. 問題2: 角的三角函數(shù)值不受終邊上的點(diǎn)P的位置的影響嗎？ 這是一個較有思考價值的問題,教師要注意正確地引導(dǎo)和必要地提示,銳角三角函數(shù)的大小僅與銳角的大小有關(guān),與直角三角形的大小無關(guān),類似地-… 問題3: 依據(jù)函數(shù)的定義，這幾個比值可以分別構(gòu)成函數(shù)嗎？若能構(gòu)成，他們的自變量是什么？x還是y？r還是？ 將初中定義的銳角三角函數(shù)放到坐標(biāo)系中的討論，指明研究函數(shù)問題的工具，完成從三角形到坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)化，為后面在直角坐標(biāo)系中定義任意角的三角函數(shù)搭建平臺。 2．通過對比，讓學(xué)生對知識進(jìn)行類比、遷移及聯(lián)想，樹立他們勇于探索的信心。通過討論，充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性 概念深化 1。角是“任意角”，當(dāng)β=2kπ+α(k∈Z)時，β與α的同名三角函數(shù)值應(yīng)該是相等的，即凡是終邊相同的角的三角函數(shù)值都相等。 2．定義中只說怎樣的比值叫做α的什么函數(shù)，并沒用說α的終邊在什么位置（終邊在坐標(biāo)軸上的除外），即函數(shù)的定義與α的終邊位置無關(guān)。實際上，如果終邊在坐標(biāo)軸上，上述定義同樣適用。 3．三角函數(shù)是以“比值”為函數(shù)值的函數(shù) 4．對于正弦函數(shù)sinα=，因為r>0所以恒有意義，即α取任意實數(shù)，恒有意義，也就是說sinα恒有意義，所以正弦函數(shù)的定義域R;類似地可寫出余弦函數(shù)的定義域；對于正切函數(shù)tanα=,因為x=0時，無意義，即tanα無意義，又當(dāng)且僅當(dāng)角α的終邊落在縱軸上時，才有x=0，所以當(dāng)α的終邊不在縱軸上時，恒有意義。 現(xiàn)將它們列表如下: 三角函數(shù) 定義域 sinα R cosα R tanα {α|α≠kπ+,k∈Z } 對于第1到第3點(diǎn)教師要點(diǎn)撥,學(xué)生思考.對于第4點(diǎn)教師提出問題:談到函數(shù),定義域要先行.在此,對三角函數(shù)的定義與要進(jìn)一步地明確,確定三角函數(shù)的定義域的依據(jù)就是任意角的三角函數(shù)的定義.三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù),如何去確定這些函數(shù)定義域?他們的定義域是什么? 由學(xué)生討論回答 1． 讓學(xué)生明確定義是對任意角而言的，OP是角的終邊，至于是轉(zhuǎn)了幾圈,安什么方向旋轉(zhuǎn)的不清楚,也只有這樣,才能說明角是任意的. 2． 使學(xué)生明確任意角的三角函數(shù)的定義與銳角三角函數(shù)的定義的聯(lián)系與區(qū)別:任意角的三角函數(shù)包含銳角三角函數(shù).實質(zhì)上銳角三角函數(shù)的定義與任意角的三角函數(shù)的定義是一致的,銳角三角函數(shù)是任意角三角函數(shù)的一種特例.所不同的是,銳角三角函數(shù)是以邊的比來定義的,任意角的三角函數(shù)是以坐標(biāo)與距離、坐標(biāo)與坐標(biāo)、距離與坐標(biāo)的比來定義的。 3． 讓學(xué)生掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義域。 應(yīng)用舉例 例1.已知角的終邊過點(diǎn)P(2,-3)，求的六個三角函數(shù)值. 例2.求下列各角的六個三角函數(shù)值 （1）0 （2）π （3） 學(xué)生板演，教師對學(xué)生在解題思路和規(guī)范性方面進(jìn)行指導(dǎo) 讓學(xué)生鞏固六種三角函數(shù)概念，感受三角函數(shù)的定義在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用。 歸納小結(jié) 1。知識：三角函數(shù)的定義及其定義域 2．?dāng)?shù)學(xué)思想方法：數(shù)形結(jié)合思想；類比法。 讓學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)學(xué)會反思，學(xué)會總結(jié)，重視數(shù)學(xué)思想方法在分析問題和解決問題中的作用 布置作業(yè) 層次一：教材練習(xí)A,1~3 層次二：教材習(xí)題1-2A,1,2 使學(xué)生進(jìn)一步鞏固和應(yīng)用所學(xué)知識 1．2．1（第二課時）任意角的三角函數(shù)的定義（二） 學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1.理解并掌握各種三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號. 2.理解并掌握終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等. 教學(xué)重點(diǎn)：三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號,終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等 教學(xué)難點(diǎn)：正確理解三角函數(shù)可看作以“實數(shù)”為自變量的函數(shù) 授課類型：新授課 課時安排：1課時 教 具：多媒體、實物投影儀 教學(xué)過程： 教學(xué)環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 師生互動 設(shè)計意圖 復(fù)習(xí)引入 任意角的三角函數(shù)定義 教師提出問題：任意角的三角函數(shù)是如何定義的？ 溫故知新，為新課引入埋下伏筆 概念的形成 1.設(shè)是一個任意角，在的終邊上任?。ó愑谠c(diǎn)的）一點(diǎn)P（x,y） 則P與原點(diǎn)的距離， 比值只與角的大小有關(guān). 2．三角函數(shù)是以“比值”為函數(shù)值的函數(shù)。 3．三角函數(shù)值的符號的討論 ①正弦值對于第一、二象限為正（），對于第三、四象限為負(fù)（）； ②余弦值對于第一、四象限為正（），對于第二、三象限為負(fù)（）； ③正切值對于第一、三象限為正（同號），對于第二、四象限為負(fù)（異號）． 教師提出問題：我們發(fā)現(xiàn)這三個比值中而x,y的正負(fù)是隨象限的變 化而不同，故三角函數(shù)的符號應(yīng)由象限確定請同學(xué)們探討一下三角函數(shù)值的符號是如何？ 問題2。你能否歸納出更易記憶的規(guī)律？ 學(xué)生甲：記憶法則： 第一象限全為正,二正三切四余弦. 學(xué)生乙： 為正 全正 為正 為正 學(xué)生丙： 教師點(diǎn)評： 由學(xué)生討論得出新的結(jié)論 應(yīng)用舉例 例1.確定下列三角函數(shù)值的符號 (1) cos260 (2) (3) tan(-67220’) (4) 例2.設(shè)sinθ<0且tanθ>0,確定θ是第幾象限的角。 例3填表：如表1 學(xué)生板演，教師對學(xué)生在解題思路和規(guī)范性方面進(jìn)行指導(dǎo) 讓學(xué)生鞏固六種三角函數(shù)的符號，感受三角函數(shù)的定義在三角函數(shù)符號中的作用。 鞏固特殊三角函數(shù)值 表1 a 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 弧度 課堂練習(xí) 1.確定下列各式的符號 (1)sin10cos240 (2)sin5+tan5 2. x取什么值時,有意義? 3. 若三角形的兩內(nèi)角a，b滿足sinacosb0，則此三角形必為……（） A銳角三角形 B鈍角三角形 C直角三角形 D以上三種情況都可能 4．若是第三象限角，則下列各式中不成立的是………………（） A: sina+cosa0 B: tana-sina0 C: cosa-cota0 D: cotacsca0 5．已知q是第三象限角且，問是第幾象限角？ 6．已知，則q為第幾象限角？ 分析:由角所在象限分別判斷兩個三角函數(shù)值的符號,再確定各式的符號 分析：因為正弦、余弦函數(shù)的定義域為R，故只要考慮正切函數(shù)的定義域和分式的分母不能為零. B B ∴必為第二象限角 必為第二象限角 學(xué)生板演，教師對學(xué)生在解題思路和規(guī)范性方面進(jìn)行指導(dǎo) 復(fù)習(xí)這兩節(jié)課有關(guān)的知識內(nèi)容 歸納小結(jié) 本節(jié)課我們重點(diǎn)討論了,三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號，確定函數(shù)值的符號，這個內(nèi)容是我們?nèi)蘸髮W(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。 讓學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)學(xué)會反思，學(xué)會總結(jié)，重視數(shù)學(xué)思想方法在分析問題和解決問題中的作用 布置作業(yè) 層次一：教材練習(xí)A,4教材練習(xí)B,3,4 層次二：教材練習(xí)B,5 使學(xué)生進(jìn)一步鞏固和應(yīng)用所學(xué)知識 1.2.2單位圓與三角函數(shù)線 一、教學(xué)目標(biāo) 1.知識目標(biāo)：單位圓、有向線段的概念；正弦線、余弦線、正切線。 2.能力目標(biāo)：理解并掌握單位圓、有向線段的概念，正確利用與單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角正弦、余弦、正切函數(shù)值表示出來，即用正弦線、余弦線、正切線表示出來。 3.情感目標(biāo)：通過三角函數(shù)的幾何表示，使學(xué)生進(jìn)一步加深對數(shù)形結(jié)合思想的理解，拓展思維空間。 二、重點(diǎn)與難點(diǎn) 重點(diǎn)正確地用三角函數(shù)線表示任意角的三角函數(shù)值。 難點(diǎn)正確地用與單位圓有關(guān)的三角函數(shù)線表示三角函數(shù)值。 三、教學(xué)方法 講授法 講清楚單位圓、有向線段的概念，本節(jié)內(nèi)容中的有向線段與坐標(biāo)軸是平行的，讓學(xué)生弄清楚線段的正負(fù)與坐標(biāo)軸正反方向之間的對應(yīng)，以及線段的數(shù)量與三角函數(shù)值之間的對應(yīng)。對理解正弦線、余弦線、正切線是突破難點(diǎn)的關(guān)鍵所在。 四、教學(xué)過程 教學(xué) 環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 師生互動 設(shè)計意圖 復(fù)習(xí)導(dǎo)入 上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的 定義以及三角函數(shù)在各象限內(nèi) 的符號。由三角函數(shù)的定義我 們知道對于角的各種三角 函數(shù)我們都用比值來表示，或 者說用數(shù)來表示。 今天我們再來學(xué)習(xí)正弦、余弦、 正切函數(shù)的另一種表示方法--- 幾何表示法。先看日常生活中 的一個實例：觀覽車在轉(zhuǎn)動過 程中，座椅離地面的高度隨著 轉(zhuǎn)動角度的變化而變化，高度 與轉(zhuǎn)動角度的關(guān)系如何？ 生：三角函數(shù)的定義以及三角函數(shù)在 各象限內(nèi)的符號。 通過復(fù)習(xí)再用實 例導(dǎo)出今天要學(xué) 習(xí)的正弦、余弦、 正切函數(shù)的另一 種表示方法---幾 何表示法，即正 弦線、余弦線、 正切線. 預(yù)備知識 1. 單位圓概念 2. 有向線段概念 師：把半徑為1的圓叫做單位圓。 生：半徑為1中的“1”的單位是什 么 師：“半徑為1”中的“1”指的是1 個單位長，可以是1cm、1dm、1m、 1km等，都是1個單位長。即單位 圓的半徑是1（個單位長） 師：帶有方向的線段叫有向線段。 注：有向線段的數(shù)值由其長度大小和方向來決定。 單位圓概念的深刻把握。 正弦線、余弦線、正切線的定義 實例的解決 師： 邊作圖邊敘述 以觀覽車轉(zhuǎn)輪中心為原點(diǎn)，以水平線為軸，以轉(zhuǎn)輪半徑為1個單位長建立直角坐標(biāo)系。設(shè)點(diǎn)P為轉(zhuǎn)輪邊緣上一點(diǎn)（考慮點(diǎn)P在不同象限的情況），它表示轉(zhuǎn)椅的位置，記為角XOP 其中 生：利用單位圓有向線段概念及正弦函數(shù)的定義可知 把有向線段OM、ON、AT（即向量）分別叫做角的余弦線、正弦線和正切線。 師：當(dāng)點(diǎn)P在二、三、四象限的情況時，教師畫出圖，引導(dǎo)學(xué)生找正弦線、余弦線、正切線。 （2） （3） （4） 通過實例引出正弦線、余弦線、正切線的定義 正弦線、余弦線、正切線的應(yīng)用 1.分別作出、、的正弦線、余弦線、正切線。 2.比較大?。? 和 和 和 3.已知,求。 學(xué)生作答 正弦線、余弦線、正切線的強(qiáng)化訓(xùn)練。 歸納小結(jié) 給定任意一個角能在單位圓中作出它的正弦線、余弦線、正切線 師：三角函數(shù)線的位置 生：正弦線為的終邊與單位圓的交點(diǎn)到軸的垂直的有向線段；余弦線在軸上；正切線在過單位圓與軸正方向的交點(diǎn)的切線上。三條有向線段中兩條在單位圓內(nèi)，一條在單位圓外。 師：三角函數(shù)線的方向 生：正弦線由垂足指向的終邊與單位圓的交點(diǎn)；余弦線由原點(diǎn)有指向垂足；正切線由切點(diǎn)指向與終邊（或其反向延長線）的交點(diǎn)。 師：三角函數(shù)線的正負(fù)，即三條有向線段的正負(fù)。 生：凡與軸或軸同向的為正值，反向的為負(fù)值。 特殊情況： ①當(dāng)角的終邊在軸上時，點(diǎn)P與點(diǎn)M重合，點(diǎn)T與點(diǎn)A重合，這是正弦線與正切線都變成了一點(diǎn)，數(shù)量為零，而余弦線OM=1或-1。 ②當(dāng)角的終邊在軸上時，正弦線MP=1或-1余弦線變成了一點(diǎn)，它表示的數(shù)量為零，正切線不存在。 讓學(xué)生明確本節(jié)課的重點(diǎn)和要達(dá)到的要求。 布置作業(yè) 1.必修4:P21練習(xí)A、練習(xí)B。 2.課后思考題： 必修4：P21探索與研究 對本節(jié)內(nèi)容及時鞏固 1.2.3 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 教學(xué)目標(biāo)： ⒈理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，會用解方程組的通法求三角函數(shù)值； 2．培養(yǎng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決有關(guān)求值問題；培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性及思維的深化；在恒等式證明的教學(xué)過程中，注意培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力，從而提高邏輯推理能力． 3．通過對同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的學(xué)習(xí)，揭示事物間的普遍聯(lián)系規(guī)律，培養(yǎng)辨證唯物主義思想。 教學(xué)重點(diǎn)：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的推導(dǎo)及應(yīng)用(求值、化簡、恒等式證明) 教學(xué)難點(diǎn)：關(guān)系式在解題中的靈活運(yùn)用和對學(xué)生思維靈活性的培養(yǎng). 授課類型：新授課 課時安排：1課時 教 具：多媒體、實物投影儀 教學(xué)方法： 本節(jié)主要涉及到兩個公式，均由三角函數(shù)定義和勾股定理推出．在教學(xué)過程中，要注意引導(dǎo)學(xué)生理解每個公式，懂得公式的來龍去脈，并能靈活運(yùn)用。要給學(xué)生提供展示自己思路的平臺，營造自主探究解決問題的環(huán)境，把鼓勵帶進(jìn)課堂，把方法帶進(jìn)課堂，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用． 教學(xué)過程： 教學(xué) 環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 師生互動 設(shè)計意圖 復(fù) 習(xí) 引 入 復(fù)習(xí)單位圓和三角函數(shù)線；三角函數(shù)定義和勾股定理 教師提出問題，學(xué)生回答 推出 這兩個最基本的關(guān)系式。 關(guān) 系 式 的 深 化 理 解 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式： “同角”的概念與角的表達(dá)形式無關(guān)，如： 當(dāng)我們知道一個角的某一三角函數(shù)值時，利用這兩個三角函數(shù)關(guān)系式和三角函數(shù)定義，就可求出這個角的其余三角函數(shù)值。此外，還可用它們化簡三角函數(shù)式和證明三角恒等式。當(dāng)然，上述關(guān)系（公式）都必須在定義域允許的范圍內(nèi)成立 提問： 1．何謂“同角”？ 2．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的作用，它可以用來解決哪些問題？ 3．利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式解題的注意事項？ 更好地理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及功能。 應(yīng) 用 舉 例 例1 已知，并且是第二象限角，求的其他三角函數(shù)值． 分析：由平方關(guān)系可求cos的值，由已知條件和cos的值可以求tan的值，進(jìn)而用倒數(shù)關(guān)系求得cot的值． 解：∵sin2α+cos2α=1，是第二象限角 例2．已知，求sin、tan的值． 分析：∵cosα＜0　　∴是第二或第三象限角．因此要對所在象限分類． 當(dāng)是第二象限角時， 當(dāng)是第三象限時， 例3 已知 例4 化簡：. 例5化簡： 點(diǎn)評：三角函數(shù)化簡時，應(yīng)合理利用公式，明確化簡的基本要求，盡量化為最簡形式。 例6求證： （1） （2） （3） 分析：思路1．把左邊分子分母同乘以，再利用公式變形；思路2：把左邊分子、分母同乘以（1+sinx）先滿足右式分子的要求；思路3：用作差法，不管分母，只需將分子轉(zhuǎn)化為零；思路4：用作商法，但先要確定一邊不為零；思路5：利用公分母將原式的左邊和右邊轉(zhuǎn)化為同一種形式的結(jié)果；思路6：由乘積式轉(zhuǎn)化為比例式；思路7：用綜合法． 證法1：左邊=右邊， ∴原等式成立 證法2：左邊=＝ ＝右邊 證法3： ∵， ∴ 證法4：∵cosx≠0，∴1+sinx≠0，∴≠0， ∴ = ＝＝1， ∴． ∴左邊=右邊 ∴原等式成立． 證法6：∵＝＝＝ ∴． 證法7：∵， ∴= 例1可讓學(xué)生自己解決 例2可讓學(xué)生討論解決 學(xué)生獨(dú)立完成，并交流不同解法，比較優(yōu)劣。 提問：你怎樣理解化簡？ 證明恒等式有哪些途徑？ 由學(xué)生完成證明，展示不同證法，可能的證法除課本給出的以外，左側(cè)還給出了一些證法，供參考。 結(jié)合例6，由學(xué)生總結(jié)證明三角恒等式的常用方法。教師在證明思路和解題規(guī)范上給予指導(dǎo)。 例1是已知一個角的任一三角函數(shù)值可求出這個角的其余各三角函數(shù)值的簡單應(yīng)用。 體現(xiàn)分類討論的思想，比較與例1 的異同。 體現(xiàn)方程的思想 展示不同的解題方法，培養(yǎng)學(xué)生靈活應(yīng)用公式的能力和思辯的能力。 體會如何運(yùn)用公式化簡，明確化簡的目標(biāo)。 三角函數(shù)式的化簡是一種不指定答案的恒等變形，體現(xiàn)了由繁到簡的最基本解題原則。 通過討論探究，培養(yǎng)發(fā)散思維，提高綜合運(yùn)用知識思考、解決問題的能力。 體驗證明的過程就是通過化簡與消去等式兩邊差異來促成統(tǒng)一。 小 結(jié) 1． 理解同角的含義 2． 掌握公式及公式的變形 3． 靈活應(yīng)用公式解決簡單的求值、化簡和證明。 4． 本節(jié)課在思想方法上的收獲 師生共同完成 關(guān)注學(xué)生的自主體驗，總結(jié)反思本節(jié)課在知識、方法上的體驗、收獲。 作 業(yè) 層次一：課本P25 A組 層次二：課本P25 B組 鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容 1.2.4（第一課時） 誘導(dǎo)公式 教學(xué)目標(biāo)： 1． 借助單位圓的直觀性探索正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式，并掌握其應(yīng)用； 2． 經(jīng)歷由幾何特征發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系的學(xué)習(xí)過程，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的分析問題能力；通過獨(dú)立探討公式，培養(yǎng)抽象概括能力；了解對稱變換思想在研究數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用，初步形成用對稱變換思想思考問題的習(xí)慣。 3． 揭示事物間的普遍聯(lián)系規(guī)律，培養(yǎng)辨證唯物主義思想 教學(xué)重點(diǎn)：誘導(dǎo)公式(一)、（二）的探究、推導(dǎo)及利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行簡單的三角函數(shù)式的求值、化簡和恒等式的證明。 教學(xué)難點(diǎn)：在單位圓中對所討論角與a角終邊位置關(guān)系特點(diǎn)發(fā)現(xiàn)對稱性提出研究方法 教學(xué)方法與學(xué)習(xí)指導(dǎo)策略建議 這一部分知識的學(xué)習(xí)，建議主要以師生互動為主。多給學(xué)生一些感性認(rèn)識，通過討論、辨析獲得對知識更深層次的理解。 教學(xué)過程： 教學(xué) 環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 師生互動 設(shè)計意圖 復(fù) 習(xí) 引 入 復(fù)習(xí)三角函數(shù)的定義、單位圓與三角函數(shù)線 直角坐標(biāo)系中，的終邊相同，由三角函數(shù)的定義，它們的三角函數(shù)值相等，即公式（一）： 指出結(jié)構(gòu)特征和作用： 這組公式可以統(tǒng)一概括為的形式，其特征是：等號兩邊是同名函數(shù)，且符號都為正 由這組公式還可以看出，三角函數(shù)是“多對一”的單值對應(yīng)關(guān)系，明確了這一點(diǎn)，為今后學(xué)習(xí)函數(shù)的周期性打下基礎(chǔ) 誘導(dǎo)公式（一）的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化為0―360之間角的正弦、余弦、正切 例1 求下列各三角函數(shù)值： 教師運(yùn)用多媒體展示三角函數(shù)的定義、單位圓與三角函數(shù)線 共同探討公式（一）的結(jié)構(gòu)特征和作用 由教師提問，學(xué)生相互交流，教師糾正、完善。 由學(xué)生完成 如何求的三角函數(shù)值呢？ 共同回顧，為新課做準(zhǔn)備。 理性地把握公式 體會誘導(dǎo)公式的作用。 將問題一般化,轉(zhuǎn)化為探索與的三角函數(shù)間關(guān)系 概 念 形 成 與 深 化 引導(dǎo)學(xué)生利用單位圓和三角函數(shù)線從中心對稱圖形和軸對稱圖形這兩個重要的幾何性質(zhì)出發(fā)，探尋所求角與角終邊的位置關(guān)系，得到函數(shù)值之間關(guān)系。如圖，點(diǎn)P與點(diǎn)P關(guān)于x軸對稱．已知。 拓展延伸：如何利用對稱變換思想研究與的三角函數(shù)間關(guān)系？ 討論交流：談?wù)勀銓ρ芯空T導(dǎo)公式的思想方法的認(rèn)識。 給學(xué)生思考、研究的時間，由學(xué)生發(fā)現(xiàn)所求角與角終邊的位置關(guān)系，得到函數(shù)值之間關(guān)系。 鼓勵學(xué)生自主探究，教師做適當(dāng)點(diǎn)撥。 師生適當(dāng)討論交流，解決不了的問題可留做課后思考。 使學(xué)生理解旋轉(zhuǎn)的合成與對稱之間的關(guān)系 讓學(xué)生經(jīng)歷由幾何直觀發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系的學(xué)習(xí)過程，體驗如何把角的終邊具有的特定位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值之間的關(guān)系，了解對稱變換思想在研究數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用。 應(yīng) 用 舉 例 例2 求下列各三角函數(shù)值： （例題答案參考課本） 學(xué)生獨(dú)立完成，并交流解題心得。 解題關(guān)鍵是找出題中各角與銳角的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為求銳角的三角函數(shù)值。 歸 納 小 結(jié) 1．誘導(dǎo)公式溝通了任意角三角函數(shù)值與銳角三角函數(shù)值以及終邊有特殊位置關(guān)系的角的三角函數(shù)值之間的聯(lián)系．在求任意角的三角函數(shù)值，解決有關(guān)的三角變換等方面有重要的作用． 2．誘導(dǎo)公式（一）、（二）的內(nèi)容、 3．研究誘導(dǎo)公式的思想方法 師生共同總結(jié)、交流、完善 讓學(xué)生學(xué)會學(xué)會學(xué)習(xí)，養(yǎng)成自己歸納、總結(jié)的習(xí)慣，重視數(shù)學(xué)思想方法在分析解決問題中的應(yīng)用。 布 置 作 業(yè) 課本P27 A 學(xué)生獨(dú)立完成 鞏固所學(xué)知識、方法。 1.2.4 （第二課時）角與的三角函數(shù)關(guān)系 一、教學(xué)目標(biāo) 知識目標(biāo) 要求學(xué)生掌握誘導(dǎo)