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2019-2020年高考數(shù)學一輪復習 7.5 圓的方程教案 ●知識梳理 1.圓的方程 （1）圓的標準方程 圓心為（a，b），半徑為r的圓的標準方程為（x－a）2+（y－b）2=r2. 說明：方程中有三個參量a、b、r，因此三個獨立條件可以確定一個圓. （2）圓的一般方程 二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0.（*） 將（*）式配方得（x+）2+（y+）2=. 當D2+E2－4F＞0時，方程（*）表示圓心（－，－），半徑r=的圓，把方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2－4F＞0）叫做圓的一般方程. 說明：（1）圓的一般方程體現(xiàn)了圓方程的代數(shù)特點： a.x2、y2項系數(shù)相等且不為零. b.沒有xy項. （2）當D2+E2－4F=0時，方程（*）表示點（－，－），當D2+E2－4F＜0時，方程（*）不表示任何圖形. （3）據(jù)條件列出關(guān)于D、E、F的三元一次方程組，可確定圓的一般方程. （3）圓的參數(shù)方程 ①圓心在O（0，0），半徑為r的圓的參數(shù)方程為 （θ為參數(shù)）. ① x=rcosθ， y=rsinθ ②圓心在O1（a，b），半徑為r的圓的參數(shù)方程為 （θ為參數(shù)）. ② x=a+rcosθ， y=b+rsinθ 說明：在①中消去θ得x2+y2=r2，在②中消去θ得（x－a）2+（y－b）2=r2，把這兩個方程相對于它們各自的參數(shù)方程又叫做普通方程. 2.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件 若上述二元二次方程表示圓，則有A=C≠0，B=0，這僅是二元二次方程表示圓的必要條件，不充分. 在A=C≠0，B=0時，二元二次方程化為x2+y2+x+y+=0， 僅當（）2+（）2－4＞0，即D2+E2－4AF＞0時表示圓. 故Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件是：①A=C≠0，②B=0，③D2+E2－4AF＞0. ●點擊雙基 1.方程x2+y2－2（t+3）x+2（1－4t2）y+16t4+9=0（t∈R）表示圓方程，則t的取值范圍是 A.－10，得7t2－6t－1<0，即－0），下列結(jié)論錯誤的是 A.當a2+b2=r2時，圓必過原點 B.當a=r時，圓與y軸相切 C.當b=r時，圓與x軸相切 D.當b0）為兩定點，動點P到A點的距離與到B點的距離的比為定值a（a>0），求P點的軌跡. 剖析：給曲線建立方程是解析幾何的兩個主要問題之一，其基本方法就是把幾何條件代數(shù)化；主要問題之二是根據(jù)方程研究曲線的形狀、性質(zhì)，即用代數(shù)的方法研究幾何問題. 解：設動點P的坐標為（x，y），由=a（a>0）得=a，化簡，得 （1－a2）x2+2c（1+a2）x+c2（1－a2）+（1－a2）y2=0. 當a=1時，方程化為x=0. 當a≠1時，方程化為（x－c）2+y2=（）2. 所以當a=1時，點P的軌跡為y軸； 當a≠1時，點P的軌跡是以點（c，0）為圓心，||為半徑的圓. 評述：本題主要考查直線、圓、曲線和方程等基本知識，考查運用解析幾何的方法解決問題的能力，對代數(shù)式的運算化簡能力有較高要求.同時也考查了分類討論這一數(shù)學思想. 【例2】 一圓與y軸相切，圓心在直線x－3y=0上，且直線y=x截圓所得弦長為2，求此圓的方程. 剖析： 利用圓的性質(zhì)：半弦、半徑和弦心距構(gòu)成的直角三角形. 解：因圓與y軸相切，且圓心在直線x－3y=0上，故設圓方程為（x－3b）2+（y－b）2=9b2. 又因為直線y=x截圓得弦長為2，則有（）2+（）2=9b2， 解得b=1.故所求圓方程為 （x－3）2+（y－1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9. 評述：在解決求圓的方程這類問題時，應當注意以下幾點：（1）確定圓方程首先明確是標準方程還是一般方程；（2）根據(jù)幾何關(guān)系（如本例的相切、弦長等）建立方程求得a、b、r或D、E、F；（3）待定系數(shù)法的應用，解答中要盡量減少未知量的個數(shù). 【例3】 已知⊙O的半徑為3，直線l與⊙O相切，一動圓與l相切，并與⊙O相交的公共弦恰為⊙O的直徑，求動圓圓心的軌跡方程. 剖析：問題中的幾何性質(zhì)十分突出，切線、直徑、垂直、圓心，如何利用這些幾何性質(zhì)呢？ 解：取過O點且與l平行的直線為x軸，過O點且垂直于l的直線為y軸，建立直角坐標系. 設動圓圓心為M（x，y）， ⊙O與⊙M的公共弦為AB，⊙M與l切于點C，則|MA|=|MC|. ∵AB為⊙O的直徑，∴MO垂直平分AB于O. 由勾股定理得|MA|2=|MO|2+|AO|2=x2+y2+9，而|MC|=|y+3|，∴=|y+3|. 化簡得x2=6y，這就是動圓圓心的軌跡方程. 評述：求軌跡的步驟是“建系，設點，找關(guān)系式，除瑕點”. ●闖關(guān)訓練 夯實基礎(chǔ) 1.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）表示的曲線關(guān)于x+y=0成軸對稱圖形，則 A.D+E=0B. B.D+F=0 C.E+F=0 D. D+E+F=0 解析：曲線關(guān)于x+y=0成軸對稱圖形，即圓心在x+y=0上. 答案：A 2.（xx年全國Ⅱ，8）在坐標平面內(nèi)，與點A（1，2）距離為1，且與點B（3，1）距離為2的直線共有 A.1條 B.2條 C.3條 D.4條 解析：分別以A、B為圓心，以1、2為半徑作圓，兩圓的公切線有兩條，即為所求. 答案：B 3.（xx年黃岡市調(diào)研題）圓x2+y2+x－6y+3=0上兩點P、Q關(guān)于直線kx－y+4=0對稱，則k=____________. 解析：圓心（－，3）在直線上，代入kx－y+4=0，得k=2. 答案：2 4.（xx年全國卷Ⅲ，16）設P為圓x2+y2=1上的動點，則點P到直線3x－4y－10=0的 距離的最小值為____________. 解析：圓心（0，0）到直線3x－4y－10=0的距離d==2. 再由d－r=2－1=1，知最小距離為1. 答案：1 5.（xx年啟東市調(diào)研題）設O為坐標原點，曲線x2+y2+2x－6y+1=0上有兩點P、Q，滿足關(guān)于直線x+my+4=0對稱，又滿足=0. （1）求m的值； （2）求直線PQ的方程. 解：（1）曲線方程為（x+1）2+（y－3）2=9表示圓心為（－1，3），半徑為3的圓. ∵點P、Q在圓上且關(guān)于直線x+my+4=0對稱， ∴圓心（－1，3）在直線上.代入得m=－1. （2）∵直線PQ與直線y=x+4垂直， ∴設P（x1，y1）、Q（x2，y2），PQ方程為y=－x+b. 將直線y=－x+b代入圓方程，得2x2+2（4－b）x+b2－6b+1=0. Δ=4（4－b）2－42（b2－6b+1）>0，得2－3，所以M2在圓C外. （理）已知動圓M：x2+y2－2mx－2ny+m2－1=0與圓N：x2+y2+2x+2y－2=0交于A、B兩點，且這兩點平分圓N的圓周. （1）求動圓M的圓心的軌跡方程； （2）求半徑最小時圓M的方程. 解：（1）如圖所示（坐標系省略了），圓心N（－1，－1）為弦AB的中點，在Rt△AMN中， |AM|2=|AN|2+|MN|2， ∴（m+1）2=－2（n+2）（*） 故動圓圓心M的軌跡方程為（x+1）2=－2（y+2）. （2）由（*）式，知（m+1）2=－2（n+2）≥0，于是有n≤－2. 而圓M半徑r=≥， ∴當r=時，n=－2，m=－1，所求圓的方程為（x+1）2+（y+2）2=5. 探究創(chuàng)新 9.（xx年黃岡市調(diào)研考試題）如圖，在平面斜坐標系xOy中，∠xOy=60，平面上任一點P關(guān)于斜坐標系的斜坐標是這樣定義的： 若=xe1+ye2（其中e1、e2分別為與x軸、y軸同方向的單位向量），則P點斜坐標為（x，y）. （1）若P點斜坐標為（2，－2），求P到O的距離|PO|； （2）求以O為圓心，1為半徑的圓在斜坐標系xOy中的方程. 解：（1）∵P點斜坐標為（2，－2）， ∴=2e1－2e2.∴||2=（2e1－2e2）2=8－8e1e2=8－8cos60=4. ∴||=2，即|OP|=2. （2）設圓上動點M的斜坐標為（x，y），則=xe1+ye2. ∴（xe1+ye2）2=1.∴x2+y2+2xye1e2=1.∴x2+y2+xy=1. 故所求方程為x2+y2+xy=1. ●思悟小結(jié) 1.不論圓的標準方程還是一般方程，都有三個字母（a、b、r或D、E、F）的值需要確定，因此需要三個獨立的條件.利用待定系數(shù)法得到關(guān)于a、b、r（或D、E、F）的三個方程組成的方程組，解之得到待定字母系數(shù)的值. 2.求圓的方程的一般步驟： （1）選用圓的方程兩種形式中的一種（若知圓上三個點的坐標，通常選用一般方程；若給出圓心的特殊位置或圓心與兩坐標間的關(guān)系，通常選用標準方程）； （2）根據(jù)所給條件，列出關(guān)于D、E、F或a、b、r的方程組； （3）解方程組，求出D、E、F或a、b、r的值，并把它們代入所設的方程中，得到所求圓的方程. 3.解析幾何中與圓有關(guān)的問題，應充分運用圓的幾何性質(zhì)幫助解題. ●教師下載中心 教學點睛 1.在二元二次方程中x2和y2的系數(shù)相等并且沒有x、y項只是表示圓的必要條件而不是充分條件. 2.如果問題中給出了圓心兩坐標之間的關(guān)系或圓心的特殊位置時，一般用標準方程.如果給出圓上的三個點的坐標，一般用一般方程. 3.在一般方程中，當D2+E2－4F=0時，方程表示一個點（－，－），當D2+E2－4F<0時，無軌跡. 4.在解決與圓有關(guān)的問題時，要充分利用圓的特殊幾何性質(zhì)，這樣會使問題簡單化. 5.數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程的思想在解決圓的有關(guān)問題時經(jīng)常運用，應熟練掌握. 拓展題例 【例1】 圓x2+y2=1內(nèi)有一定點A（，0），圓上有兩點P、Q，若∠PAQ=90，求過點P和Q的兩條切線的交點M的軌跡方程. 分析：先求出PQ中點E的軌跡方程為x2+y2－x－=0. 再求切點弦PQ所在直線的方程. 解：設P（x1，y1），Q（x2，y2），則過P、Q的切線方程分別是 x1x+y1y=1，x2x+y2y=1. 又M（m，n）在這兩條切線上，有mx1+ny1=1，mx2+ny2=1， ∵P、Q兩點的坐標滿足方程mx+ny=1，又兩點確定唯一一條直線， ∴PQ所在直線的方程是mx+ny=1. 又∵E為直線OM與PQ之交點，解方程組 mx+ny=1 y=x x=，y=. 將（，）代入中點E的軌跡方程得x2+y2+x－=0. 這就是要求的過P、Q兩點的切線交點M的軌跡方程. 【例2】 如圖，過原點的動直線交圓x2+（y－1）2=1于點Q，在直線OQ上取點P，使P到直線y=2的距離等于|PQ|，求動直線繞原點轉(zhuǎn)一周時P點的軌跡方程. 解：設P（x，y），圓O1：x2+（y－1）2=1與直線y=2切于點A，連結(jié)AQ，易知|AQ|=|AR|=|x|， 又|PQ|=|PR|=2－y， ∴在Rt△OQA中，|OA|2=|AQ|2+|OQ|2， 即22=|x|2+［－（2－y）］2， 化簡整理得x2（x2+y2－4）=0， ∴x=0或x2+y2=4為所求的軌跡方程.