2019-2020年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 2.9函數(shù)模型及其應(yīng)用學(xué)案 理 蘇教版.doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 2.9函數(shù)模型及其應(yīng)用學(xué)案 理 蘇教版 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.能夠應(yīng)用函數(shù)知識(shí)構(gòu)造函數(shù)模型，解決簡(jiǎn)單的實(shí)際生活中的優(yōu)化問題.2.能利用函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系，解決一些簡(jiǎn)單問題． 自主梳理 1．幾種常見函數(shù)模型 (1)一次函數(shù)模型：y＝kx＋b(k、b為常數(shù)，k≠0)； (2)反比例函數(shù)模型：y＝＋b(k、b為常數(shù)，k≠0)； (3)二次函數(shù)模型：y＝ax2＋bx＋c(a、b、c為常數(shù)，a≠0)，二次函數(shù)模型是高中階段應(yīng)用最為廣泛的模型，在高考的應(yīng)用題考查中是最為常見的； (4)指數(shù)函數(shù)模型：y＝kax＋b(k、a、b為常數(shù)，k≠0，a>0且a≠1)； (5)對(duì)數(shù)函數(shù)模型：y＝mlogax＋n(m、n、a為常數(shù)，m≠0，a>0且a≠1)； (6)冪函數(shù)模型：y＝axn＋b(a、b、n為常數(shù)，a≠0，n≠0)； (7)分式函數(shù)模型：y＝x＋(k>0)； (8)分段函數(shù)模型． 2．解應(yīng)用題的方法和步驟 用框圖表示如下： 自我檢測(cè) 1． 某工廠八年來某種產(chǎn)品總產(chǎn)量C與時(shí)間t(年)的函數(shù)關(guān)系如圖所示，下列四種說法： ①前三年中產(chǎn)量增長(zhǎng)速度越來越快； ②前三年中產(chǎn)量增長(zhǎng)的速度越來越慢； ③第三年后，這種產(chǎn)品停止生產(chǎn)； ④第三年后，年產(chǎn)量保持不變． 其中說法正確的是________．(填上正確的序號(hào)) 2．(xx廣州模擬)計(jì)算機(jī)的價(jià)格大約每3年下降，那么今年花8 100元買的一臺(tái)計(jì)算機(jī)，9年后的價(jià)格大約是________元． 3．某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤(rùn)(單位：萬元)分別為L(zhǎng)1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x為銷售量(單位：輛)．若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤(rùn)為________． 4．(xx浙江)某地區(qū)居民生活用電分為高峰和低谷兩個(gè)時(shí)間段進(jìn)行分時(shí)計(jì)價(jià)．該地區(qū)的電網(wǎng)銷售電價(jià)表如下： 高峰時(shí)間段用電價(jià)格表 高峰月用電量 (單位：千瓦時(shí)) 高峰電價(jià) (單位：元/千瓦時(shí)) 50及以下的部分 0.568 超過50至200的部分 0.598 超過200的部分 0.668 低谷時(shí)間段用電價(jià)格表 低谷月用電量 (單位：千瓦時(shí)) 低谷電價(jià) (單位：元/千瓦時(shí)) 50及以下的部分 0.288 超過50至200的部分 0.318 超過200的部分 0.388 若某家庭5月份的高峰時(shí)間段用電量為200千瓦時(shí)，低谷時(shí)間段用電量為100千瓦時(shí)，則按這種計(jì)費(fèi)方式該家庭本月應(yīng)付的電費(fèi)為________元(用數(shù)字作答)． 5．一個(gè)人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小時(shí)25%的速度減少，為了保障交通安全，某地根據(jù)《道路交通安全法》規(guī)定：駕駛員血液中的酒精含量不得超過0.09 mg/mL，那么，一個(gè)喝了少量酒后的駕駛員，至少經(jīng)過________小時(shí)，才能開車？(精確到1小時(shí)) 探究點(diǎn)一 一次函數(shù)、二次函數(shù)模型 例1 某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本y(萬元)與年產(chǎn)量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似地表示為y＝－48x＋8 000，已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為210噸． (1)求年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低，并求最低成本； (2)若每噸產(chǎn)品平均出廠價(jià)為40萬元，那么當(dāng)年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？ 變式遷移1 (xx江蘇啟東中學(xué)模擬)即將開工的上海與周邊城市的城際列車鐵路線將大大緩解交通的壓力，加速城市之間的流通．根據(jù)測(cè)算，如果一列火車每次拖4節(jié)車廂，每天能來回16次；如果每次拖7節(jié)車廂，則每天能來回10次．每天來回次數(shù)是每次拖掛車廂個(gè)數(shù)的一次函數(shù)，每節(jié)車廂一次能載客110人，試問每次應(yīng)拖掛多少節(jié)車廂才能使每天營(yíng)運(yùn)人數(shù)最多？并求出每天最多的營(yíng)運(yùn)人數(shù)．(注：營(yíng)運(yùn)人數(shù)指火車運(yùn)送的人數(shù))． 探究點(diǎn)二 分段函數(shù)模型 例2 據(jù)氣象中心觀察和預(yù)測(cè)：發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動(dòng)，其移動(dòng)速度v(km/h)與時(shí)間t(h)的函數(shù)圖象如圖所示，過線段OC上一點(diǎn)T(t,0)作橫軸的垂線l，梯形OABC在直線l左側(cè)部分的面積即為t(h)內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過的路程s(km)． (1)當(dāng)t＝4時(shí)，求s的值； (2)將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示出來； (3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，試判斷這場(chǎng)沙塵暴是否會(huì)侵襲到N城，如果會(huì)，在沙塵暴發(fā)生后多長(zhǎng)時(shí)間它將侵襲到N城？如果不會(huì)，請(qǐng)說明理由． 變式遷移2 某市居民自來水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：每戶每月用水不超過4噸時(shí)，每噸為1.80元，當(dāng)用水超過4噸時(shí)，超過部分每噸3.00元．某月甲、乙兩戶共交水費(fèi)y元，已知甲、乙兩戶該月用水量分別為5x,3x(噸)． (1)求y關(guān)于x的函數(shù)； (2)若甲、乙兩戶該月共交水費(fèi)26.4元，分別求出甲、乙兩戶該月的用水量和水費(fèi)． 探究點(diǎn)三 指數(shù)函數(shù)模型 例3 諾貝爾獎(jiǎng)發(fā)放方式為：每年一發(fā)，把獎(jiǎng)金總額平均分成6份，獎(jiǎng)勵(lì)給分別在6項(xiàng)(物理、化學(xué)、文學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、生理學(xué)和醫(yī)學(xué)、和平)為人類作出最有益貢獻(xiàn)的人，每年發(fā)放獎(jiǎng)金的總金額是基金在該年度所獲利息的一半，另一半利息作基金總額，以便保證獎(jiǎng)金數(shù)逐年增加．假設(shè)基金平均年利率為r＝6.24%.資料顯示：1999年諾貝爾獎(jiǎng)發(fā)放后基金總額約為19 800萬美元．設(shè)f(x)表示第x(x∈N*)年諾貝爾獎(jiǎng)發(fā)放后的基金總額(1999年記為f(1)，2000年記為f(2)，…，依次類推)． (1)用f(1)表示f(2)與f(3)，并根據(jù)所求結(jié)果歸納出函數(shù)f(x)的表達(dá)式； (2)試根據(jù)f(x)的表達(dá)式判斷網(wǎng)上一則新聞“xx年度諾貝爾獎(jiǎng)各項(xiàng)獎(jiǎng)金高達(dá)150萬美元”是否為真，并說明理由． (參考數(shù)據(jù)：1.031 29＝1.32) 變式遷移3 現(xiàn)有某種細(xì)胞100個(gè)，其中有占總數(shù)的細(xì)胞每小時(shí)分裂一次，即由1個(gè)細(xì)胞分裂成2個(gè)細(xì)胞，按這種規(guī)律發(fā)展下去，經(jīng)過多少小時(shí)，細(xì)胞總數(shù)可以超過1010個(gè)？ (參考數(shù)據(jù)：lg 3＝0.477，lg 2＝0.301) 1．解答應(yīng)用問題的程序概括為“四步八字”，即(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型； (2)建模：將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型； (3)求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論； (4)還原：將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問題的意義． 2．考查函數(shù)模型的知識(shí)表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面： (1)利用函數(shù)模型的單調(diào)性比較數(shù)的大??； (2)比較幾種函數(shù)圖象的變化規(guī)律，證明不等式或求解不等式； (3)函數(shù)性質(zhì)與圖象相結(jié)合，運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”解答一些綜合問題． (滿分：90分) 一、填空題(每小題6分，共48分) 1．(xx南京模擬)擬定甲地到乙地通話m分鐘的電話費(fèi)f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)(單位：元)，其中m>0，[m]表示不大于m的最大整數(shù)(如[3.72])＝3，[4]＝4)，當(dāng)m∈[0.5,3.1]時(shí)，函數(shù)f(m)的值域是_______________． 2．國(guó)家規(guī)定個(gè)人稿費(fèi)納稅辦法是：不超過800元的不納稅；超過800元而不超過4 000元的按超過800元部分的14%納稅；超過4 000元的按全部稿酬的11%納稅．已知某人出版一本書，共納稅420元，這個(gè)人應(yīng)得稿費(fèi)(扣稅前)為________元． 3．(xx淮安模擬)生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費(fèi)用稱為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個(gè)月生產(chǎn)某種商品x萬件時(shí)的生產(chǎn)成本為C(x)＝x2＋2x＋20(萬元)．一萬件售價(jià)是20萬元，為獲取更大利潤(rùn)，該企業(yè)一個(gè)月應(yīng)生產(chǎn)該商品數(shù)量為________萬件． 4．據(jù)某校環(huán)保小組調(diào)查，某區(qū)垃圾量的年增長(zhǎng)率為b,xx年產(chǎn)生的垃圾量為a t，由此預(yù)測(cè)，該區(qū)下一年的垃圾量為__________t,xx年的垃圾量為__________t. 5．(xx金華十校3月聯(lián)考)有一批材料可以建成200 m長(zhǎng)的圍墻，如果用此批材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場(chǎng)地，中間用同樣材料隔成三個(gè)面積相等的矩形(如圖所示)，則圍成場(chǎng)地的最大面積為________(圍墻的厚度不計(jì))． 6．已知每生產(chǎn)100克餅干的原材料加工費(fèi)為1.8元．某食品加工廠對(duì)餅干采用兩種包裝，其包裝費(fèi)用、銷售價(jià)格如下表所示： 型號(hào) 小包裝 大包裝 重量 100克 300克 包裝費(fèi) 0.5元 0.7元 銷售價(jià)格 3.00元 8.4元 則下列說法中正確的是________(填序號(hào)) ①買小包裝實(shí)惠；②買大包裝實(shí)惠；③賣3小包比賣1大包盈利多；④賣1大包比賣3小包盈利多． 7．(xx蘇州調(diào)研)一水池有2個(gè)進(jìn)水口，1個(gè)出水口，進(jìn)出水速度如圖甲、乙所示．某天0點(diǎn)到6點(diǎn)，該水池的蓄水量如圖丙所示．(至少打開一個(gè)水口) 給出以下3個(gè)論斷： ①0點(diǎn)到3點(diǎn)只進(jìn)水不出水； ②3點(diǎn)到4點(diǎn)不進(jìn)水只出水； ③4點(diǎn)到6點(diǎn)不進(jìn)水不出水． 則一定正確的論斷序號(hào)是________． 8．(xx常州模擬)為了保證信息安全，傳輸必須使用加密方式，有一種方式其加密、解密原理如下： 明文密文密文明文 已知加密為y＝ax－2(x為明文、y為密文)，如果明文“3”通過加密后得到密文為“6”，再發(fā)送，接受方通過解密得到明文“3”，若接受方接到密文為“14”，則原發(fā)的明文是________． 二、解答題(共42分) 9．(14分)(xx湖南師大附中仿真)設(shè)某企業(yè)每月生產(chǎn)電機(jī)x臺(tái)，根據(jù)企業(yè)月度報(bào)表知，每月總產(chǎn)值m(萬元)與總支出n(萬元)近似地滿足下列關(guān)系：m＝x－，n＝－x2＋5x＋，當(dāng)m－n≥0時(shí)，稱不虧損企業(yè)；當(dāng)m－n<0時(shí)，稱虧損企業(yè)，且n－m為虧損額． (1)企業(yè)要成為不虧損企業(yè)，每月至少要生產(chǎn)多少臺(tái)電機(jī)？ (2)當(dāng)月總產(chǎn)值為多少時(shí)，企業(yè)虧損最嚴(yán)重，最大虧損額為多少？ 10．(14分)某單位用2 160萬元購(gòu)得一塊空地，計(jì)劃在該塊地上建造一棟至少10層、每層2 000平方米的樓房．經(jīng)測(cè)算，如果將樓房建為x(x≥10)層，則每平方米的平均建筑費(fèi)用為560＋48x(單位：元)．為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？(注：平均綜合費(fèi)用＝平均建筑費(fèi)用＋平均購(gòu)地費(fèi)用，平均購(gòu)地費(fèi)用＝) 11．(14分)某賓館有相同標(biāo)準(zhǔn)的床位100張，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)該賓館的床價(jià)(即每張床每天的租金)不超過10元時(shí)，床位可以全部租出，當(dāng)床位高于10元時(shí)，每提高1元，將有3張床位空閑．為了獲得較好的效益，該賓館要給床位一個(gè)合適的價(jià)格，條件是：①要方便結(jié)賬，床價(jià)應(yīng)為1元的整數(shù)倍；②該賓館每日的費(fèi)用支出為575元，床位出租的收入必須高于支出，而且高出得越多越好．若用x表示床價(jià)，用y表示該賓館一天出租床位的凈收入(即除去每日的費(fèi)用支出后的收入)． (1)把y表示成x的函數(shù)，并求出其定義域； (2)試確定該賓館將床位定價(jià)為多少時(shí)，既符合上面的兩個(gè)條件，又能使凈收入最多？ 答案 自我檢測(cè) 1．②③ 2．300 解析 由題意知，9年后價(jià)格為8 100()3＝300(元)． 3．45.6 解析 依題意，可設(shè)甲銷售x輛， 則乙銷售(15－x)輛， ∴總利潤(rùn)S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x) ＝－0.15x2＋3.06x＋30 (x≥0)． ∴當(dāng)x＝10時(shí)，Smax＝45.6(萬元)． 4．148.4 解析 高峰時(shí)段的電價(jià)由兩部分組成，前50千瓦時(shí)電價(jià)為500.568元，后150千瓦時(shí)為1500.598元．低谷時(shí)段的電價(jià)由兩部分組成，前50千瓦時(shí)電價(jià)為500.288元，后50千瓦時(shí)為500.318元，∴電價(jià)為500.568＋1500.598＋500.288＋500.318＝148.4(元)． 5．5 解析 設(shè)x小時(shí)后，血液中的酒精含量不超過0.09 mg/mL， 則有0.3x≤0.09，即x≤0.3. 估算或取對(duì)數(shù)計(jì)算，得5小時(shí)后，可以開車． 課堂活動(dòng)區(qū) 例1 解 (1)每噸平均成本為(萬元)． 則＝＋－48 ≥2－48＝32， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝200時(shí)取等號(hào)． ∴年產(chǎn)量為200噸時(shí)，每噸平均成本最低為32萬元． (2)設(shè)年獲得總利潤(rùn)為R(x)萬元， 則R(x)＝40x－y＝40x－＋48x－8 000 ＝－＋88x－8 000 ＝－(x－220)2＋1 680(0≤x≤210)． ∵R(x)在[0,210]上是增函數(shù)， ∴x＝210時(shí)，R(x)有最大值為－(210－220)2＋1 680＝1 660. ∴年產(chǎn)量為210噸時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)1 660萬元． 變式遷移1 解 設(shè)這列火車每天來回次數(shù)為t次，每次拖掛車廂n節(jié)，則設(shè)t＝kn＋b. 由解得 ∴t＝－2n＋24. 設(shè)每次拖掛n節(jié)車廂每天營(yíng)運(yùn)人數(shù)為y， 則y＝tn1102＝2(－220n2＋2 640n)， 當(dāng)n＝＝6時(shí)，總?cè)藬?shù)最多為15 840人． 答 每次應(yīng)拖掛6節(jié)車廂才能使每天的營(yíng)運(yùn)人數(shù)最多為15 840人． 例2 解 (1)由圖象可知： 當(dāng)t＝4時(shí)，v＝34＝12(km/h)， ∴s＝412＝24(km)． (2)當(dāng)0≤t≤10時(shí)，s＝t3t＝t2， 當(dāng)10下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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