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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 4.1 圓的方程教案 新人教A版必修2 三維目標(biāo)： 知識與技能：1、掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能根據(jù)圓心、半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 2、會用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 過程與方法：進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生能用解析法研究幾何問題的能力，滲透數(shù)形結(jié)合思想，通過圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決實際問題的學(xué)習(xí)，注意培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力。 情感態(tài)度與價值觀：通過運用圓的知識解決實際問題的學(xué)習(xí)，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和興趣。 教學(xué)重點：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 教學(xué)難點：會根據(jù)不同的已知條件，利用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 教學(xué)過程： 1、情境設(shè)置： 在直角坐標(biāo)系中，確定直線的基本要素是什么？圓作為平面幾何中的基本圖形，確定它的要素又是什么呢？什么叫圓？在平面直角坐標(biāo)系中，任何一條直線都可用一個二元一次方程來表示，那么，原是否也可用一個方程來表示呢？如果能，這個方程又有什么特征呢？ 探索研究： 2、探索研究： 確定圓的基本條件為圓心和半徑，設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為A(a,b)，半徑為r。（其中a、b、r都是常數(shù)，r>0）設(shè)M(x,y)為這個圓上任意一點，那么點M滿足的條件是（引導(dǎo)學(xué)生自己列出）P={M||MA|=r},由兩點間的距離公式讓學(xué)生寫出點M適合的條件 ① 化簡可得： ② 引導(dǎo)學(xué)生自己證明為圓的方程，得出結(jié)論。 方程②就是圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程，我們把它叫做圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 3、知識應(yīng)用與解題研究 例（1）：寫出圓心為半徑長等于5的圓的方程，并判斷點是否在這個圓上。 分析探求：可以從計算點到圓心的距離入手。 探究：點與圓的關(guān)系的判斷方法： （1）>，點在圓外 （2）=，點在圓上 （3）<，點在圓內(nèi) 例（2）： 的三個頂點的坐標(biāo)是求它的外接圓的方程 師生共同分析：從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 可知，要確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可用待定系數(shù)法確定三個參數(shù).（學(xué)生自己運算解決） 例(3):已知圓心為的圓經(jīng)過點和,且圓心在上,求圓心為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 師生共同分析: 如圖確定一個圓只需確定圓心位置與半徑大小.圓心為的圓經(jīng)過點和,由于圓心與A,B兩點的距離相等，所以圓心在險段AB的垂直平分線m上，又圓心在直線上，因此圓心是直線與直線m的交點，半徑長等于或。 （教師板書解題過程。） 總結(jié)歸納：（教師啟發(fā)，學(xué)生自己比較、歸納）比較例（2）、例(3)可得出外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種求法： ①、 根據(jù)題設(shè)條件，列出關(guān)于的方程組，解方程組得到得值，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 根據(jù)確定圓的要素，以及題設(shè)條件，分別求出圓心坐標(biāo)和半徑大小，然后再寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 練習(xí)：課本第1、3、4題 提煉小結(jié)： 1、 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 2、 點與圓的位置關(guān)系的判斷方法。 3、 根據(jù)已知條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法。 作業(yè)：課本習(xí)題4.1第2、3、4題 4.1.2圓的一般方程 三維目標(biāo)： 知識與技能?。骸?(1)在掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上，理解記憶圓的一般方程的代數(shù)特征，由圓的一般方程確定圓的圓心半徑．掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圓的條件． (2)能通過配方等手段，把圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．能用待定系數(shù)法求圓的方程。 (3):培養(yǎng)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問題的實際能力。 過程與方法：通過對方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圓的條件的探究，培養(yǎng)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問題的實際能力。 情感態(tài)度價值觀：滲透數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的整體素質(zhì)，激勵學(xué)生創(chuàng)新，勇于探索。 教學(xué)重點：圓的一般方程的代數(shù)特征，一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程間的互化，根據(jù)已知條件確定方程中的系數(shù)，D、E、F． 教學(xué)難點：對圓的一般方程的認(rèn)識、掌握和運用 教 具：多媒體、實物投影儀 教學(xué)過程： 課題引入： 問題：求過三點A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圓的方程。 利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決此問題顯然有些麻煩，得用直線的知識解決又有其簡單的局限性，那么這個問題有沒有其它的解決方法呢？帶著這個問題我們來共同研究圓的方程的另一種形式——圓的一般方程。 探索研究： 請同學(xué)們寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： (x－a)2＋(y－b)2=r2，圓心(a，b)，半徑r． 　　把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開，并整理： x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2=0． 取得 ① 這個方程是圓的方程． 反過來給出一個形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0的方程，它表示的曲線一定是圓嗎？ 把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0配方得 ② (配方過程由學(xué)生去完成)這個方程是不是表示圓？ (1)當(dāng)D2＋E2－4F＞0時，方程②表示（1）當(dāng)時，表示以（-，-）為圓心,為半徑的圓； （2）當(dāng)時，方程只有實數(shù)解，，即只表示一個點（-，-）; （3）當(dāng)時，方程沒有實數(shù)解，因而它不表示任何圖形 綜上所述，方程表示的曲線不一定是圓 只有當(dāng)時，它表示的曲線才是圓，我們把形如的表示圓的方程稱為圓的一般方程 我們來看圓的一般方程的特點：(啟發(fā)學(xué)生歸納) (1)①x2和y2的系數(shù)相同，不等于0． 　②沒有xy這樣的二次項． (2)圓的一般方程中有三個特定的系數(shù)D、E、F，因之只要求出這三個系數(shù)，圓的方程就確定了． (3)、與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征明顯，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則指出了圓心坐標(biāo)與半徑大小，幾何特征較明顯。 知識應(yīng)用與解題研究： 例1：判斷下列二元二次方程是否表示圓的方程？如果是，請求出圓的圓心及半徑。 學(xué)生自己分析探求解決途徑：①、用配方法將其變形化成圓的標(biāo)準(zhǔn)形式。②、運用圓的一般方程的判斷方法求解。但是，要注意對于來說，這里的 . 例2：求過三點A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圓的方程，并求這個圓的半徑長和圓心坐標(biāo)。 分析：據(jù)已知條件，很難直接寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，而圓的一般方程則需確定三個系數(shù)，而條件恰給出三點坐標(biāo)，不妨試著先寫出圓的一般方程 解：設(shè)所求的圓的方程為： ∵在圓上，所以它們的坐標(biāo)是方程的解.把它們的坐標(biāo)代入上面的方程，可以得到關(guān)于的三元一次方程組， 即 解此方程組，可得： ∴所求圓的方程為： ； 得圓心坐標(biāo)為（4，-3）. 或?qū)⒆筮吪浞交癁閳A的標(biāo)準(zhǔn)方程，,從而求出圓的半徑，圓心坐標(biāo)為(4,-3) 學(xué)生討論交流，歸納得出使用待定系數(shù)法的一般步驟： ①、 根據(jù)提議，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程； ②、 根據(jù)條件列出關(guān)于a、b、r或D、E、F的方程組； ③、 解出a、b、r或D、E、F，代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程。 例3、已知線段AB的端點B的坐標(biāo)是（4，3），端點A在圓上運動，求線段AB的中點M的軌跡方程。 分析：如圖點A運動引起點M運動，而點A在已知圓上運動，點A的坐標(biāo)滿足方程。建立點M與點A坐標(biāo)之間的關(guān)系，就可以建立點M的坐標(biāo)滿足的條件，求出點M的軌跡方程。 解：設(shè)點M的坐標(biāo)是（x,y）,點A的坐標(biāo)是 ① 上運動，所以點A的坐標(biāo)滿足方程,即 ② 把①代入②，得 課堂練習(xí)：課堂練習(xí)第1、2、3題 小結(jié) ： 1．對方程的討論(什么時候可以表示圓) 2．與標(biāo)準(zhǔn)方程的互化 3．用待定系數(shù)法求圓的方程 4．求與圓有關(guān)的點的軌跡。 課后作業(yè)：習(xí)題4.1第2、3、6題