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2019-2020年高考數(shù)學一輪復習 8.3 拋物線教案 ●知識梳理 定義 到定點的距離與到定直線的距離相等的點的軌跡 方程 1.y2=2px（p≠0），焦點是F（，0） 2.x2=2py（p≠0），焦點是F（0，） 性質(zhì) S：y2=2px（p＞0） 1.范圍：x≥0 2.對稱性：關于x軸對稱 3.頂點：原點O 4.離心率：e=1 5.準線：x=－ 6.焦半徑P（x，y）∈S，|PF|=x+ 思考討論 對于拋物線x2=2py（p＞0），其性質(zhì)如何？焦半徑公式如何推導？ ●點擊雙基 1.（xx年春季北京）在拋物線y2=2px上，橫坐標為4的點到焦點的距離為5，則p的值為 A. B.1 C.2 D.4 解析：拋物線的準線方程為x=－，由拋物線的定義知4+=5，解得P=2. 答案：C 2.設a≠0，a∈R，則拋物線y=4ax2的焦點坐標為 A.（a，0） B.（0，a） C.（0，） D.隨a符號而定 解析：化為標準方程. 答案：C 3.以拋物線y2＝2px（p＞0）的焦半徑｜PF｜為直徑的圓與y軸位置關系為 A.相交 B.相離 C.相切 D.不確定 解析：利用拋物線的定義. 答案：C 4.以橢圓 +=1的中心為頂點，以橢圓的左準線為準線的拋物線與橢圓右準線交于A、B兩點，則|AB|的值為___________. 解析：中心為（0，0），左準線為x=－，所求拋物線方程為y2= x.又橢圓右準線方程為x=，聯(lián)立解得A（，）、B（，－）.∴|AB|=. 答案： 5.（xx年全國）對于頂點在原點的拋物線，給出下列條件： ①焦點在y軸上；②焦點在x軸上；③拋物線上橫坐標為1的點到焦點的距離等于6；④拋物線的通徑的長為5；⑤由原點向過焦點的某條直線作垂線，垂足坐標為（2，1）. 能使這拋物線方程為y2=10x的條件是____________.（要求填寫合適條件的序號） 解析：由拋物線方程y2=10x可知②⑤滿足條件. 答案：②⑤ ●典例剖析 【例1】 求滿足下列條件的拋物線的標準方程，并求對應拋物線的準線方程： （1）過點（－3，2）； （2）焦點在直線x－2y－4=0上. 剖析：從方程形式看，求拋物線的標準方程僅需確定一個待定系數(shù)p；從實際分析，一般需確定p和確定開口方向兩個條件，否則，應展開相應的討論. 解：（1）設所求的拋物線方程為y2=－2px或x2=2py（p＞0）， ∵過點（－3，2），∴4=－2p（－3）或9=2p2. ∴p=或p=. ∴所求的拋物線方程為y2=－x或x2=y，前者的準線方程是x=，后者的準線方程是y=－. （2）令x=0得y=－2，令y=0得x=4， ∴拋物線的焦點為（4，0）或（0，－2）. 當焦點為（4，0）時，=4，∴p=8，此時拋物線方程y2=16x； 焦點為（0，－2）時，=2， ∴p=4，此時拋物線方程為x2=－8y. ∴所求的拋物線的方程為y2=16x或x2=－8y，對應的準線方程分別是x=－4，y=2. 評述：這里易犯的錯誤就是缺少對開口方向的討論，先入為主，設定一種形式的標準方程后求解，以致失去一解. 【例2】如下圖所示，直線l1和l2相交于點M，l1⊥l2，點N∈l1，以A、B為端點的曲線段C上任一點到l2的距離與到點N的距離相等.若△AMN為銳角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|NB|=6，建立適當?shù)淖鴺讼?，求曲線段C的方程. 剖析：由題意所求曲線段是拋物線的一部分，求曲線方程需建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，設出拋物線方程，由條件求出待定系數(shù)即可，求出曲線方程后要標注x、y的取值范圍. 解：以直線l1為x軸，線段MN的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系，由條件可知，曲線段C是以點N為焦點，以l2為準線的拋物線的一段.其中A、B分別為曲線段C的端點. 設曲線段C的方程為y2=2px（p>0）（xA≤x≤xB，y>0），其中xA、xB為A、B的橫坐標，p=|MN|， 所以M（－，0） 、N（，0）. 由|AM|=，|AN|=3，得（xA+）2+2pxA=17， ① （xA－）2+2pxA=9. ② ①②聯(lián)立解得xA=，代入①式，并由p>0， 或 解得 p=4， p=2， xA=1 xA=2. 因為△AMN為銳角三角形，所以>xA. 所以 故舍去 P=2， P=4， xA=2. xA=1. 由點B在曲線段C上，得xB=|BN|－=4. 綜上，曲線段C的方程為y2=8x（1≤x≤4，y>0）. 評述：本題體現(xiàn)了坐標法的基本思路，考查了定義法、待定系數(shù)法求曲線方程的步驟，綜合考查了學生分析問題、解決問題的能力. 【例3】 設拋物線y2=2px（p>0）的焦點為F，經(jīng)過點F的直線交拋物線于A、B兩點，點C在拋物線的準線上，且BC∥x軸.證明直線AC經(jīng)過原點O. 剖析：證直線AC經(jīng)過原點O，即證O、A、C三點共線，為此只需證kOC=kOA.本題也可結合圖形特點，由拋物線的幾何性質(zhì)和平面幾何知識去解決. 證法一：設AB：x=my+，代入y2=2px，得y2－2pmy－P2=0. 由韋達定理，得yAyB=－p2，即yB=－. ∵BC∥x軸，且C在準線x=－上， ∴C（－，yB）. 則kOC====kOA. 故直線AC經(jīng)過原點O. 證法二：如下圖，記準線l與x軸的交點為E，過A作AD⊥l，垂足為D. 則AD∥EF∥BC.連結AC交EF于點N，則==，=. ∵|AF|=|AD|，|BF|=|BC|， ∴|EN|===|NF|， 即N是EF的中點.從而點N與點O重合，故直線AC經(jīng)過原點O. 評述：本題的“幾何味”特別濃，這就為本題注入了活力.在涉及解析思想較多的證法中，關鍵是得到y(tǒng)AyB=－p2這個重要結論.還有些證法充分利用了平面幾何知識，這也提醒廣大師生對圓錐曲線幾何性質(zhì)的重視，也只有這樣才能挖掘出豐富多彩的解析幾何的題目. 思考討論 本題也可用平面向量來證明，讀者不妨一試. ●闖關訓練 夯實基礎 1.（xx年高考新課程）設a>0，f（x）=ax2+bx+c，曲線y=f（x）在點P（x0，f（x0））處切線的傾斜角的取值范圍為［0，］，則P到曲線y=f（x）對稱軸距離的取值范圍為 A.［0，］ B.［0，］ C.［0，||］ D.［0，||］ 解析：tanα=k=f′（x）=2ax+b，∴0≤2ax0+b≤1.∴0≤x0+≤. 答案：B 2.（xx年全國Ⅰ，8）設拋物線y2=8x的準線與x軸交于點Q，若過點Q的直線l與拋物線有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是 A.［－，］ B.［－2，2］ C.［－1，1］ D.［－4，4］ 解析：∵y2=8x，∴Q（－2，0）（Q為準線與x軸的交點），設過Q點的直線l方程為y= k（x+2）. ∵l與拋物線有公共點， 有解， ∴方程組 y2=8x， y=k（x+8） 即k2x2+（4k2－8）+4k2=0有解. ∴Δ=（4k2－8）2－16k4≥0，即k2≤1.∴－1≤k≤1. 答案：C 3.（xx年春季上海）直線y=x－1被拋物線y2=4x截得線段的中點坐標是___________. 解析：將y=x－1代入拋物線y2=4x，經(jīng)整理得x2－6x+1=0. 由韋達定理得x1+x2=6，=3，===2. ∴所求點的坐標為（3，2）. 答案：（3，2） 4.在拋物線y=4x2上求一點，使該點到直線y=4x－5的距離最短，該點的坐標是____________. 解法一：設與y=4x－5平行的直線y=4x+b與y=4x2相切，則y=4x+b代入y=4x2，得 4x2－4x－b=0. ① Δ=16+16b=0時b=－1，代入①得x=，∴所求點為（，1）. 解法二：設該點坐標為A（x0，y0），那么有y0=4x02.設點A到直線y=4x－5的距離為d，則 d==|－4x02+4x0－5| =|4x02－4x0+5|=|4（x0－）2+1|.當且僅當x0=時，d有最小值， 將x0=代入y=4x2解得y0=1.故A點坐標為（，1）. 答案：（，1） 5.下圖所示的直角坐標系中，一運動物體經(jīng)過點A（0，9），其軌跡方程是y=ax2+c（a＜0），D=（6，7）為x軸上的給定區(qū)間. （1）為使物體落在D內(nèi)，求a的取值范圍； （2）若物體運動時又經(jīng)過點P（2，8.1），問它能否落在D內(nèi)？并說明理由. 解：（1）把點A的坐標（0，9）代入y=ax2+c得c=9，即運動物體的軌跡方程為y=ax2+9. 令y=0，得ax2+9=0，即x2=－. 若物體落在D內(nèi)，應有6＜＜7，解得－＜a＜－. （2）若運動物體又經(jīng)過點P（2，8.1）， 則8.1=4a+9，解得a=－，∴－＜－＜－， ∴運動物體能落在D內(nèi). 6.正方形ABCD中，一條邊AB在直線y=x+4上，另外兩頂點C、D在拋物線y2＝x上，求正方形的面積. 解：設CD所在直線的方程為y=x+t， 消去y得 ∵ y=x+t， y2=x， x2+（2t－1）x+t2=0，∴｜CD｜＝＝. 又直線AB與CD間距離為｜AD｜＝， ∵｜AD｜＝｜CD｜，∴t=－2或－6. 從而邊長為3或5. 面積S1＝（3）2＝18，S2=（5）2=50. 培養(yǎng)能力 7.給定拋物線y2=2x，設A（a，0），a＞0，P是拋物線上的一點，且｜PA｜=d，試求d的最小值. 解：設P（x0，y0）（x0≥0），則y02=2x0， ∴d=｜PA｜= ==. ∵a＞0，x0≥0，∴（1）當0＜a＜1時，1－a＞0， 此時有x0=0時，dmin==a. （2）當a≥1時，1－a≤0， 此時有x0=a－1時，dmin=. 8.過拋物線y2=2px（p＞0）焦點F的弦AB，點A、B在拋物線準線上的射影為A1、B1，求∠A1FB1. 解：由拋物線定義及平行線性質(zhì)知∠A1FB1=180－（∠AFA1+∠BFB1） =180－（180－∠A1AF）－（180－∠B1BF） =（∠A1AF+∠B1BF）=90. 探究創(chuàng)新 9.（xx年春季北京）已知動圓過定點P（1，0），且與定直線l：x=－1相切，點C在l上. （1）求動圓圓心的軌跡M的方程； （2）設過點P，且斜率為－的直線與曲線M相交于A、B兩點. ①問△ABC能否為正三角形？若能，求點C的坐標；若不能，說明理由. ②當△ABC為鈍角三角形時，求這時點C的縱坐標的取值范圍. 解：（1）依題意，曲線M是以點P為焦點，直線l為準線的拋物線，所以曲線M的方程為y2=4x，如下圖. （2）①由題意得，直線AB的方程為y=－（x－1）. 消去y，得3x2－10x+3=0. 由 y=－（x－1）， y2=4x， 解得A（，），B（3，－2）， 若△ABC能為正三角形，設C（－1，y），則|AC|=|AB|=|BC|， ∴ （+1）2+（－y）2=（3－）2+（2+）2， ① （3+1）2+（2+y）2=（3－）2+（2+）2. ② 解得y=－. 但y=－不符合（1），所以①②組成的方程組無解.因此直線l上不存在點C使△ABC是正三角形. ②設C（－1，y）使△ABC成鈍角三角形，由 得y=2， y=－（x－1）， x=－1， 即當點C的坐標為（－1，2）時，A、B、C三點共線，故y≠2. 又|AC|2=（－1－）2+（y－）2=－+y2，|BC|2=（3+1）2+（y+2）2=28+4y+y2，|AB|2=（）2=. 當|BC|2＞|AC|2+|AB|2，即28+4y+y2＞－y+y2+， 即y＞時，∠CAB為鈍角. 當|AC|2＞|BC|2+|AB|2，即－y+y2＞28+4y+y2+， 即y＜－時，∠CBA為鈍角. 又|AB|2＞|AC|2+|BC|2，即＞－+y2+28+4y+y2，即 y2+y+＜0，（y+）2＜0. 該不等式無解，所以∠ACB不可能為鈍角. 因此，當△ABC為鈍角三角形時，點C的縱坐標y的取值范圍是 y＜－或y＞（y≠2）. ●思悟小結 本節(jié)主要內(nèi)容是拋物線的定義、方程及幾何性質(zhì).解決本節(jié)問題時應注意以下幾點： 1.求拋物線方程時，若由已知條件可知曲線是拋物線，一般用待定系數(shù)法；若由已知條件可知曲線的動點的規(guī)律，一般用軌跡法. 2.凡涉及拋物線的弦長、弦的中點、弦的斜率問題時要注意利用韋達定理，能避免求交點坐標的復雜運算. 3.解決焦點弦問題時，拋物線的定義有廣泛的應用，而且還應注意焦點弦的幾何性質(zhì). ●教師下載中心 教學點睛 本節(jié)重點是拋物線的定義、四種方程及幾何性質(zhì).難點是四種方程的運用及對應性質(zhì)的比較、辨別和應用，關鍵是定義的運用.建議在教學中注意以下幾點： 1.圓錐曲線統(tǒng)一定義：平面內(nèi)與一定點F和定直線l的距離之比為常數(shù)e的點的軌跡，當0＜e＜1時，表示橢圓；當e=1時，表示拋物線；當e＞1時，表示雙曲線. 2.由于拋物線的離心率e=1，所以與橢圓及雙曲線相比，它有許多特殊的性質(zhì)，而且許多性質(zhì)是可以借助于平面幾何的知識來解決的. 3.拋物線方程中，字母p的幾何意義是拋物線的焦點F到準線的距離，等于焦點到拋物線頂點的距離.牢記它對解題非常有益. 4.求拋物線方程時，要依據(jù)題設條件，弄清拋物線的對稱軸和開口方向，正確地選擇拋物線標準方程. 5.在解題中，拋物線上的點、焦點、準線三者通常與拋物線的定義相聯(lián)系，所以要注意相互轉(zhuǎn)化. 拓展題例 【例題】 （xx年北京東城區(qū)模擬題）已知拋物線C1：y2=4ax（a＞0），橢圓C以原點為中心，以拋物線C1的焦點為右焦點，且長軸與短軸之比為，過拋物線C1的焦點F作傾斜角為的直線l，交橢圓C于一點P（點P在x軸上方），交拋物線C1于一點Q（點Q在x軸下方）. （1）求點P和Q的坐標； （2）將點Q沿直線l向上移動到點Q′，使|QQ′|=4a，求過P和Q′且中心在原點，對稱軸是坐標軸的雙曲線的方程. 解：（1）由題意可知F（a，0），設橢圓方程為+=1（m＞n＞0）. 解得 由 =， m2=2a2， m2－n2=a2， n2=a2， ∴橢圓方程為+=1，直線l：y=x－a. 可求出P（a，a）. y=x－a， 可求出Q（（3－2）a，（2－2）a）. 由 +=1， 由 y=x－a， y2=4ax， （2）將Q點沿直線l向上移動到Q′點， 使|QQ′|=4a，則可求出Q′點的坐標為（3a，2a）. 設雙曲線方程為－=1（sr＞0）. 由于P、Q′在雙曲線上，則有 －=1， －=1. 解得 =， =. ∴雙曲線方程為x2－y2=1.