2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式 第八課時 基本不等式教案(一) 蘇教版必修5.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式 第八課時 基本不等式教案(一) 蘇教版必修5 教學(xué)目標(biāo): 1. 學(xué)會推導(dǎo)并掌握均值不等式定理; 2. 能夠簡單應(yīng)用定理證明不等式并解決一些簡單的實際問題。 教學(xué)重點(diǎn):均值不等式定理的證明及應(yīng)用。 教學(xué)難點(diǎn):等號成立的條件及解題中的轉(zhuǎn)化技巧。 教學(xué)過程: 重要不等式:如果a、b∈R,那么a 2+b 2 ≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號) 證明:a 2+b 2-2ab=(a-b)2 當(dāng)a≠b時,(a-b)2>0,當(dāng)a=b時,(a-b)2=0 所以,(a-b)2≥0 即a 2+b 2 ≥2ab 由上面的結(jié)論,我們又可得到 定理:如果a,b是正數(shù),那么 ≥(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號) 證明:∵()2+()2≥2 ∴a +b≥2 即 ≥ 顯然,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,= 說明:1)我們稱為a,b的算術(shù)平均數(shù),稱為a,b的幾何平均數(shù),因而,此定理又可敘述為:兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù). 2)a 2+b 2≥2ab和≥成立的條件是不同的:前者只要求a,b都是實數(shù),而后者要求a,b都是正數(shù). 3)“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義是充要條件. 4)數(shù)列意義 問:a,b∈R-? 例題講解: 例1 已知x,y都是正數(shù),求證: (1)如果積xy是定值P,那么當(dāng)x=y(tǒng)時,和x+y有最小值2; (2)如果和x+y是定值S,那么當(dāng)x=y(tǒng)時,積xy有最大值S2 證明:因為x,y都是正數(shù),所以 ≥ (1)積xy為定值P時,有≥ ∴x+y≥2 上式當(dāng)x=y(tǒng)時,取“=”號,因此,當(dāng)x=y(tǒng)時,和x+y有最小值2. (2)和x+y為定值S時,有≤ ∴xy≤ S 2 上式當(dāng)x=y時取“=”號,因此,當(dāng)x=y時,積xy有最大值S 2. 說明:此例題反映的是利用均值定理求最值的方法,但應(yīng)注意三個條件: ?。┖瘮?shù)式中各項必須都是正數(shù); ⅱ)函數(shù)式中含變數(shù)的各項的和或積必須是常數(shù); ⅲ)等號成立條件必須存在。 師:接下來,我們通過練習(xí)來進(jìn)一步熟悉均值定理的應(yīng)用. 例2 :已知a、b、c、d都是正數(shù),求證: (ab+cd)(ac+bd)≥4abcd 分析:此題要求學(xué)生注意與均值不等式定理的“形”上發(fā)生聯(lián)系,從而正確運(yùn)用,同時加強(qiáng)對均值不等式定理的條件的認(rèn)識. 證明:由a、b、c、d都是正數(shù),得 ≥>0,≥>0, ∴≥abcd 即(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd 例3 某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池,其容積為4800m3,深為3m,如果池底每1m2的造價為150元,池壁每1m2的造價為120元,問怎樣設(shè)計水池能使總造價最低,最低總造價是多少元? 分析:此題首先需要由實際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化,即建立函數(shù)關(guān)系式,然后求函數(shù)的最值,其中用到了均值不等式定理. 解:設(shè)水池底面一邊的長度為xm,水池的總造價為l元,根據(jù)題意,得 l=240000+720(x+)≥240000+7202 =240000+720240=297600 當(dāng)x=,即x=40時,l有最小值297600 因此,當(dāng)水池的底面是邊長為40m的正方形時,水池的總造價最低,最低總造價是297600元. 評述:此題既是不等式性質(zhì)在實際中的應(yīng)用,應(yīng)注意數(shù)學(xué)語言的應(yīng)用即函數(shù)解析式的建立,又是不等式性質(zhì)在求最值中的應(yīng)用,應(yīng)注意不等式性質(zhì)的適用條件. 為了進(jìn)一步熟悉均值不等式定理在證明不等式與求函數(shù)最值中的應(yīng)用,我們來進(jìn)行課堂練習(xí). 課本P91練習(xí)1,2,3,4. 3.課堂小結(jié) 通過本節(jié)學(xué)習(xí),要求大家掌握兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理,并會應(yīng)用它證明一些不等式及求函數(shù)的最值,,但是在應(yīng)用時,應(yīng)注意定理的適用條件。 4.課后作業(yè) P94習(xí)題 1,2,3 教學(xué)后記:- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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