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2019-2020年高中數學《任意角的三角函數》教案1新人教A版必修4 一、教學目標： 1、知識與技能 （1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數的定義域和函數值在各象限的符號）；（2）理解任意角的三角函數不同的定義方法；（3）了解如何利用與單位圓有關的有向線段，將任意角α的正弦、余弦、正切函數值分別用正弦線、余弦線、正切線表示出來；（4）掌握并能初步運用公式一；（5）樹立映射觀點，正確理解三角函數是以實數為自變量的函數. 2、過程與方法 初中學過:銳角三角函數就是以銳角為自變量,以比值為函數值的函數.引導學生把這個定義推廣到任意角,通過單位圓和角的終邊,探討任意角的三角函數值的求法,最終得到任意角三角函數的定義.根據角終邊所在位置不同,分別探討各三角函數的定義域以及這三種函數的值在各象限的符號.最后主要是借助有向線段進一步認識三角函數.講解例題，總結方法，鞏固練習. 3、情態(tài)與價值 任意角的三角函數可以有不同的定義方法，而且各種定義都有自己的特點.過去習慣于用角的終邊上點的坐標的“比值”來定義，這種定義方法能夠表現出從銳角三角函數到任意角的三角函數的推廣，有利于引導學生從自己已有認知基礎出發(fā)學習三角函數，但它對準確把握三角函數的本質有一定的不利影響，“從角的集合到比值的集合”的對應關系與學生熟悉的一般函數概念中的“數集到數集”的對應關系有沖突，而且“比值”需要通過運算才能得到，這與函數值是一個確定的實數也有不同，這些都會影響學生對三角函數概念的理解. 本節(jié)利用單位圓上點的坐標定義任意角的正弦函數、余弦函數.這個定義清楚地表明了正弦、余弦函數中從自變量到函數值之間的對應關系，也表明了這兩個函數之間的關系. 二、教學重、難點 重點: 任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數的定義域和函數值在各象限的符號）；終邊相同的角的同一三角函數值相等（公式一）. 難點: 任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數的定義域和函數值在各象限的符號）；三角函數線的正確理解. 三、學法與教學用具 任意角的三角函數可以有不同的定義方法，本節(jié)利用單位圓上點的坐標定義任意角的正弦函數、余弦函數.表明了正弦、余弦函數中從自變量到函數值之間的對應關系，也表明了這兩個函數之間的關系. 另外，這樣的定義使得三角函數所反映的數與形的關系更加直接，數形結合更加緊密，這就為后續(xù)內容的學習帶來方便，也使三角函數更加好用了. 教學用具:投影機、三角板、圓規(guī)、計算器 四、教學設想 第一課時 任意角的三角函數（一） y P（a，b） r O M 【創(chuàng)設情境】 提問：銳角O的正弦、余弦、正切怎樣表示？ 借助右圖直角三角形，復習回顧. 引入：銳角三角函數就是以銳角為自變量，以比值為函數值的函數。 數,你能用直角坐標系中角的終邊上點的坐標來表示銳角三角函數嗎? 如圖,設銳角的頂點與原點重合,始邊與軸的正半軸重合,那 a的終邊 P(x,y) O x y 么它的終邊在第一象限.在的終邊上任取一點,它與原點的距離.過作軸的垂線,垂足為,則線段的長度為,線段的長度為.則; ; . 思考：對于確定的角，這三個比值是否會隨點在的終邊上的位置的改變而改變呢？ 顯然，我們可以將點取在使線段的長的特殊位置上，這樣就可以得到用直角坐標系內的點的坐標表示銳角三角函數： ; ; . 思考：上述銳角的三角函數值可以用終邊上一點的坐標表示.那么,角的概念推廣以后，我們應該如何對初中的三角函數的定義進行修改，以利推廣到任意角呢？本節(jié)課就研究這個問題――任意角的三角函數. 【探究新知】 1.探究:結合上述銳角的三角函數值的求法,我們應如何求解任意角的三角函數值呢? 顯然,我們只需在角的終邊上找到一個點,使這個點到原點的距離為1,然后就可以類似銳角求得該角的三角函數值了.所以,我們在此引入單位圓的定義:在直角坐標系中,我們稱以原點為圓心,以單位長度為半徑的圓. 2.思考:如何利用單位圓定義任意角的三角函數的定義? 如圖,設是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點,那么: (1)叫做的正弦(sine),記做,即； （2）叫做的余弦(cossine),記做,即； （3）叫做的正切(tangent),記做,即. 注意:當α是銳角時，此定義與初中定義相同（指出對邊，鄰邊，斜邊所在）；當α不是銳角時，也能夠找出三角函數，因為，既然有角，就必然有終邊，終邊就必然與單位圓有交點，從而就必然能夠最終算出三角函數值. 3.思考:如果知道角終邊上一點,而這個點不是終邊與單位圓的交點,該如何求它的三角函數值呢? 前面我們已經知道,三角函數的值與點在終邊上的位置無關，僅與角的大小有關.我們只需計算點到原點的距離,那么,, .所以，三角函數是以為自變量,以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數值的函數，又因為角的集合與實數集之間可以建立一一對應關系，故三角函數也可以看成實數為自變量的函數. 4.例題講評 例1.求的正弦、余弦和正切值. 例2．已知角的終邊過點，求角的正弦、余弦和正切值. 教材給出這兩個例題，主要是幫助理解任意角的三角函數定義.我也可以嘗試其他方法: 如例2:設則. 于是 ,,. 5.鞏固練習第1,2,3題 6.探究:請根據任意角的三角函數定義,將正弦、余弦和正切函數的定義域填入下表；再將這三種函數的值在各個象限的符號填入表格中： 三角函數 定義域 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 角度制 弧度制 7．例題講評 例3．求證：當且僅當不等式組成立時，角為第三象限角. 8.思考:根據三角函數的定義,終邊相同的角的同一三角函數值有和關系? 顯然: 終邊相同的角的同一三角函數值相等.即有公式一: (其中) 9.例題講評 例4.確定下列三角函數值的符號,然后用計算器驗證: (1); (2); (3); (4) 例5.求下列三角函數值: (1); (2); (3) 利用公式一,可以把求任意角的三角函數值, 轉化為求到(或到)角的三角函數值. 另外可以直接利用計算器求三角函數值,但要注意角度制的問題. 10.鞏固練習第4,5,6,7題 11.學習小結 (1)本章的三角函數定義與初中時的定義有何異同? (2)你能準確判斷三角函數值在各象限內的符號嗎? (3)請寫出各三角函數的定義域； (4)終邊相同的角的同一三角函數值有什么關系?你在解題時會準確熟練應用公式一嗎? 五、評價設計 1．作業(yè)：習題1.2 A組第1,2題． 2．比較角概念推廣以后,三角函數定義的變化.思考公式一的本質是什么?要做到熟練應用.另外,關于三角函數值在各象限的符號要熟練掌握,知道推導方法. 第二課時 任意角的三角函數（二） 【復習回顧】 1、 三角函數的定義； 2、 三角函數在各象限角的符號； 3、 三角函數在軸上角的值； 4、 誘導公式（一）：終邊相同的角的同一三角函數的值相等； 5、 三角函數的定義域. 要求：記憶.并指出，三角函數沒有定義的地方一定是在軸上角，所以，凡是碰到軸上角時，要結合定義進行分析；并要求在理解的基礎上記憶. 【探究新知】 1．引入：角是一個圖形概念，也是一個數量概念（弧度數）.作為角的函數——三角函數是一個數量概念（比值），但它是否也是一個圖形概念呢？換句話說，能否用幾何方式來表示三角函數呢？ O x y a角的終邊 P T M A 2．[邊描述邊畫]以坐標原點為圓心，以單位長度1為半徑畫一個圓，這個圓就叫做單位圓（注意：這個單位長度不一定就是1厘米或1米）.當角為第一象限角時，則其終邊與單位圓必有一個交點，過點作軸交軸于點，則請你觀察: 根據三角函數的定義：； 隨著在第一象限內轉動，、是否也跟著變化？ 3．思考：（1）為了去掉上述等式中的絕對值符號，能否給線段、規(guī)定一個適當的方向，使它們的取值與點的坐標一致？ （2）你能借助單位圓，找到一條如、一樣的線段來表示角的正切值嗎？ 我們知道，指標坐標系內點的坐標與坐標軸的方向有關.當角的終邊不在坐標軸時,以為始點、為終點，規(guī)定： 當線段與軸同向時，的方向為正向，且有正值；當線段與軸反向時，的方向為負向，且有正值；其中為點的橫坐標.這樣,無論那種情況都有 同理,當角的終邊不在軸上時,以為始點、為終點，規(guī)定： 當線段與軸同向時，的方向為正向，且有正值；當線段與軸反向 時，的方向為負向，且有正值；其中為點的橫坐標.這樣,無論那種情況都有 4.像這種被看作帶有方向的線段，叫做有向線段（direct line segment）. 5.如何用有向線段來表示角的正切呢? 如上圖,過點作單位圓的切線,這條切線必然平行于軸,設它與的終邊交于點,請根據正切函數的定義與相似三角形的知識,借助有向線段,我們有 我們把這三條與單位圓有關的有向線段,分別叫做角的正弦線、余弦線、正切線，統(tǒng)稱為三角函數線. 6.探究：（1）當角的終邊在第二、第三、第四象限時，你能分別作出它們的正弦線、余弦線和正切線嗎？ （2）當的終邊與軸或軸重合時，又是怎樣的情形呢？ 7.例題講解 例1．已知，試比較的大小. 處理:師生共同分析解答,目的體會三角函數線的用處和實質. 8.練習第1,2,3,4題 9學習小結 (1)了解有向線段的概念. (2)了解如何利用與單位圓有關的有向線段，將任意角的正弦、余弦、正切函數值分別用正弦線、余弦線、正切線表示出來. (3)體會三角函數線的簡單應用. 【評價設計】 1． 作業(yè)： 比較下列各三角函數值的大小(不能使用計算器) (1)、 （2）、 （3）、 2．練習三角函數線的作圖.