2019-2020年高中數(shù)學第2章統(tǒng)計2.3總體特征數(shù)的估計名師導航學案蘇教版必修3.doc
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2019-2020年高中數(shù)學第2章統(tǒng)計2.3總體特征數(shù)的估計名師導航學案蘇教版必修3 三點剖析 在初中我們知道，總體平均數(shù)(又稱為總體期望值)描述了一個總體的平均水平，由于對很多總體來說，它的平均數(shù)不易求得，常用容易求得的樣本平均數(shù):對它進行估計，而且常用兩個樣本平均數(shù)的大小去近似地比較相應的兩個總體平均數(shù)的大小. 一、平均數(shù) 1．平均數(shù)定義 若給定一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，則稱 (i=1，2，3，…，n)為這組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)(或均值).通常用樣本平均數(shù)來估計總體平均數(shù).當所給數(shù)據(jù)中沒有重復數(shù)據(jù)時，我們一般用此公式來求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù).這里(x1+x2+…+xn).平均數(shù)反映了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，我們常用一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)來衡量這組數(shù)據(jù)的水平. 當一組數(shù)據(jù)中的重復數(shù)據(jù)過多時，若用上面公式求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，其過程就會顯得比較復雜和冗長，為了簡化計算過程，我們引入下面這種計算平均數(shù)的方法: 一般地，若取值為x1，x2，…，xn的頻率分別為p1，p2，…，pn，則其平均數(shù)為x1p1+x2p2+…+xnpn.這一公式實質(zhì)上就是公式的一個變形，它主要用于含有重復數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)組求平均數(shù). 除此之外，當所給數(shù)據(jù)在某一常數(shù)a的上下波動時，我們也可利用公式:,其中 (x1′+x2′+…+xn′)，x1′=x1-a,x2′=x2-a,x3′=x3-a，…，xn′=xn-a；常數(shù)a通常取接近于這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)較“整”的數(shù). 例如:求數(shù)據(jù)70，71，72，73的平均數(shù)時，我們可以先求出0，1，2，3的平均數(shù)，然后將此平均數(shù)加上70即得該組數(shù)據(jù)的平均數(shù). 2．平均數(shù)的性質(zhì) (1)若給定一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為，則ax1，ax2，…，axn的平均數(shù)為a； (2)若給定一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為，則ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均數(shù)為a+b； 二、極差、方差與標準差 在初中我們知道，極差、方差和標準差是描述一個樣本和總體的波動大小的特征數(shù). 1．極差的定義 一組數(shù)據(jù)的最大值和最小值的差叫極差.極差也可以對兩組數(shù)據(jù)的集中程度進行對比，且比較簡單.但兩組數(shù)據(jù)的集中程度差異不大時，利用它就不易得出結論了.而且它只利用了數(shù)據(jù)中的最大值和最小值，對極值過于敏感.但由于只涉及到了兩個數(shù)據(jù)，便于得到.所以極差在實際中也經(jīng)常用到. 例如:數(shù)據(jù):25,41,37,22,14,19,39,21,42,40中的最大值為42，最小值為14，它的極差為42-14=28． 2．方差的定義 在一組數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn中，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)，叫做這組數(shù)據(jù)的方差，記作s2,即若給定一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，則s2=. 為了更好地比較兩組數(shù)據(jù)的集中程度,我們可以利用這兩組數(shù)據(jù)的方差對兩組數(shù)據(jù)進行比較.方差較大的數(shù)據(jù)波動較大；方差較小的數(shù)據(jù)波動較小.當所給的數(shù)據(jù)有單位時，所求得的平均數(shù)與原數(shù)據(jù)的單位相同，不要漏寫單位.方差的單位為所給數(shù)據(jù)單位的平方. 3．方差的性質(zhì) (1)若給定一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，方差為s2，則ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2； (2)若給定一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，方差為s2，則ax1+b，ax2+b，…，axn+b的方差為a2s2,特別地，當a=1時，則有x1+b，x2+b，…，xn+b的方差為s2，這說明將一組數(shù)據(jù)的每一個數(shù)據(jù)都減去相同的一個常數(shù)，其方差是不變的，即不影響這組數(shù)據(jù)的波動性； (3)方差刻畫了數(shù)據(jù)相對于均值的平均偏離程度.對于不同的數(shù)據(jù)集，當離散程度越大時，方差越大； (4)方差的單位是原始測量數(shù)據(jù)單位的平方，對數(shù)據(jù)中的極值較為敏感. 4．標準差 刻畫數(shù)據(jù)離散程度的度量，其理想形式應滿足以下三條原則: (1)應充分利用所得到的數(shù)據(jù)，以便提供更確切的信息； (2)僅用一個數(shù)值來刻畫數(shù)據(jù)的離散程度； (3)對于不同的數(shù)據(jù)，當離散程度大時，該數(shù)值也大. 我們上面提到的極差顯然不滿足第一條原則，因為它只利用了數(shù)據(jù)中最大和最小的兩個值.方差雖然滿足上面的三條原則，然而它有局限性:方差的單位是原始數(shù)據(jù)單位的平方，而刻畫離散程度的一種理想度量應與原始觀測數(shù)據(jù)具有相同的單位.解決這一局限性的方法就是取方差的算術平方根.方差的算術平方根稱作標準差，記作s，即標準差的單位與原始測量數(shù)據(jù)單位相同，可以減弱極值的影響. 問題探究 問題1:甲、乙兩臺機床同時生產(chǎn)直徑為40㎜的零件.為了檢驗產(chǎn)品的質(zhì)量，從兩臺機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中各抽取10件進行了測量，結果如下: 甲/mm 40.0 39．8 40.1 40.2 39．9 40.0 40.2 39．8 40.2 39．8 乙/mm 40.0 40.0 39．9 40.0 39．9 40.1 40.1 40.1 40.0 39．9 能用幾種方法比較這兩臺機床的性能？ 探究:經(jīng)簡單計算可以得出:甲、乙兩臺機床生產(chǎn)的這10件產(chǎn)品的直徑的平均數(shù)都為40mm.所以，不能從平均數(shù)這一角度來比較這兩臺機床的性能,即不能從數(shù)據(jù)的平均水平上來比較，只能從數(shù)據(jù)的離散程度上進行比較.要從數(shù)據(jù)的離散程度上進行比較,常見的方法有以下幾種: 方法一:利用初中所學的折線統(tǒng)計圖.由折線統(tǒng)計圖我們可以直觀地表示出這兩組數(shù)據(jù)的離散程度，甲機床生產(chǎn)的產(chǎn)品波動幅度比乙大.所以，乙機床的性能好于甲. 方法二:利用這兩組數(shù)據(jù)的極差進行比較.甲:40.2-39．8=0.04；乙:40.1-39．9=0.02．顯然，乙組數(shù)據(jù)的極差小于甲組數(shù)據(jù)的極差.所以，乙機床的性能好于甲. 方法三:利用這兩組數(shù)據(jù)的方差或標準差進行比較.由方差和標準差的計算公式不難得出甲的方差為s甲2=0.026(mm2)，標準差為s甲=0.161(mm)；乙的方差為s乙2=0.006(mm2)，標準差為s乙=0.077(mm).由上可知:不論是方差還是標準差甲的均比乙的大，這就說明乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品要更標準些.所以，乙機床的性能好于甲. 問題2:某校擬派一名跳高運動員參加一項校際比賽，對甲、乙兩名跳高運動員進行了8次選拔比賽，他們的成績(單位:m)如下: 甲:1.70,1.65,1.68,1.69,1.72,1.73,1.68,1.67； 乙:1.60,1.73,1.72,1.61,1.62,1.71,1.70,1.75． 經(jīng)預測，跳高1.65m就很可能獲得冠軍.該校為了獲取冠軍，可能選哪位選手參賽？若預測跳高1.70 m方可獲得冠軍呢？ 探究:參加比賽的選手的成績得突出，且成績穩(wěn)定,這就需要比較這兩名選手的平均成績和成績的方差. 甲的平均成績和方差如下: (1.70+1.65+1.68+1.69+1.72+1.73+1.68+1.67)=1.69, s甲2=［(1.70-1.69)2+(1.65-1.69)2+…+(1.67-1.69)2］=0.000 6． 乙的平均成績和方差如下: (1.60+1.73+1.72+1.61+1.62+1.71+1.70+1.75)=1.68, s乙2=［(1.60-1.68)2+(1.73-1.68)2+…+(1.75-1.68)2］=0.003 15． 顯然，甲的平均成績好于乙的平均成績，而且甲的方差小于乙的方差，說明甲的成績比乙穩(wěn)定.由于甲的平均成績高于乙，且成績穩(wěn)定，所以若跳高1.65m就很可能獲得冠軍,應派甲參賽.在這8次選拔賽中乙有5次成績在1.70 m以上，雖然乙的平均成績不如甲，成績的穩(wěn)定性也不如甲，若跳高1.70m方可獲得冠軍時，應派乙參加比賽. 精題精講 例1．在去年的足球甲A聯(lián)賽上，一隊每場比賽平均失球數(shù)是1.5，全年比賽失球個數(shù)的標準差為1.1；二隊每場比賽平均失球數(shù)為2.1，全年比賽失球個數(shù)的標準差為0.4．你認為下列說法中哪一種是正確的？ (1)平均說來一隊比二隊技術好； (2)二隊比一隊技術水平更穩(wěn)定； (3)一隊有時表現(xiàn)很差，有時表現(xiàn)又非常好； (4)二隊很少不失球. 思路解析 本題主要考查對平均數(shù)和標準差的概念的理解.平均數(shù)反映了一組數(shù)據(jù)的平均水平，而方差則反映了一組數(shù)據(jù)的波動性的大小.一隊每場比賽平均失球數(shù)比二隊每場比賽平均失球數(shù)少，說明一隊的技術比二隊的技術好；一隊全年比賽失球個數(shù)的標準差較大，說明一隊的表現(xiàn)時好時壞，起伏較大；二隊的平均失球數(shù)多，全年比賽失球個數(shù)的標準差很小，說明二隊的表現(xiàn)較穩(wěn)定，經(jīng)常失球. 答案:(1)(2)(3)(4)都正確. 例2．下面是某一個工廠所有工作人員在某個月的工資，總經(jīng)理6 000元，技術工人甲900元，技術工作人員乙800元，雜工640元，服務員甲700元，服務員乙640元，會計820元. (1)計算所有工作人員的平均工資. (2)去掉總經(jīng)理后，再計算平均工資. (3)在(1)和(2)中兩種平均工資哪一種能代表一般工人的收入水平，為什么？ 思路解析 計算平均工資是用工資總數(shù)除以領工資的人數(shù)即可. 答案:(1)所有工作人員平均工資為(6 000+900+800+640+700+640+820)=1 500(元). (2)去掉總經(jīng)理后平均工資為(900+800+640+700+640+820)=750(元). (3)能代表一般工人的收入水平的是去掉總經(jīng)理后的平均工資750元.因為除去總經(jīng)理之外，工作人員的工資均在900元以下，因此不能以1 500元來代表職工的平均工資水平. 綠色通道 一般地，在一組數(shù)據(jù)中，平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)能夠反映該組數(shù)據(jù)的集中趨勢和平均水平，但有時需要去掉極端值(極大值或極小值),這樣計算平均數(shù)則更能反映平均水平，這就是有些比賽活動中往往會去掉一個最大值和一個最小值再去計算平均成績的原因. 例3．甲、乙兩工人同時加工一種圓柱零件，在他們所加工的零件中各抽取10個進行直徑檢測，測得數(shù)據(jù)如下(單位:mm): 甲:19.9，19.7，19.8，20.0，19.9，20.2，20.1，20.3，20.2，20.1； 乙:20.0，20.2，19.8，19.9，19.7，20.2，20.1，19.7，20.2，20.4． (1)分別計算上面兩個樣本的平均數(shù)和方差； (2)若零件規(guī)定直徑為20.00.5(mm)，根據(jù)兩個樣本的平均數(shù)和方差，說明誰加工的零件的質(zhì)量較穩(wěn)定. 思路解析 利用平均數(shù)和方差的計算公式進行計算，再比較誰的零件的質(zhì)量較穩(wěn)定.由于方差能說明一組數(shù)據(jù)波動性的大小，則可通過比較這兩個樣本的方差的大小來比較兩人加工零件的穩(wěn)定性. 答案:(1)甲=20.02，乙=20.02, 利用s2＝,可得s甲2=0.033 6,s乙2=0.041 6． ∵s甲2＜s乙2， ∴甲工人加工零件的質(zhì)量比較穩(wěn)定. 綠色通道 比較兩人加工零件的質(zhì)量的穩(wěn)定性，這里通過平均數(shù)比較不出來，需要使用方差來比較，方差越大說明波動性較大，質(zhì)量越不穩(wěn)定.一般地，方差和標準差通常用來反映一組數(shù)據(jù)的波動大小.在統(tǒng)計中，樣本的方差和標準差通常用來估計總體數(shù)據(jù)的波動大小. 例4．從2001年2月21日0時起，中國電信執(zhí)行新的電話收費標準，其中本地網(wǎng)營業(yè)區(qū)內(nèi)通話費是:前3min為0.2元(不足3min的按3min計算)，以后每分鐘加收0.1元(不足1min的按1min計算).某星期天，一位學生調(diào)查了A、B、C、D、E五位同學某天打本地網(wǎng)營業(yè)區(qū)內(nèi)電話的通話時間情況，原始數(shù)據(jù)如表1． 表1 A B C D E 第一次通話時間 3min 3min 45s 3min 55s 3min 20s 6min 第二次通話時間 0 4min 3min 40s 4min 40s 0 第三次通話時間 0 0 5min 2min 0 表2 時間段 頻數(shù)累計 頻 數(shù) 0
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