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2019-2020年高中數(shù)學 推理與證明 板塊二 直接證明與間接證明完整講義（學生版） 典例分析 題型一：綜合法 【例1】 若,則下列結論不正確的是 ( ) Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 【例2】 如果數(shù)列是等差數(shù)列，則（ ）。 （A） （B） （C） （D） 【例3】 在△ABC中若,則A等于( ) (A) (B) (C) (D) 【例4】 下列四個命題：①若,則;②若,則;③若x、yR，滿足,則的最小值是；④若a、bR，則。其中正確的是（ ）。 (A) ①②③ (B) ①②④ (C) ②③④ (D) ①②③④ 【例5】 下面的四個不等式：①；②；③ ；④.其中不成立的有 （A）1個 （B）2個 （C）3個 （D）4個 【例6】 已知且，則在①；②； ③；④這四個式子中，恒成立的個數(shù)是 （ ） A 1個 B 2個 C 3個 D 4個 【例7】 已知均大于1，且，則下列各式中，一定正確的是 （ ） A B C D 【例8】 已知不等式對任意正實數(shù)x，y恒成立，則正實數(shù)a的最小值是（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【例9】 、為銳角，，則a、b之間關系為 （ ） A． 　 B．　　　　 C． D．不確定 【例10】 設M是內一點，且，，定義，其中m、n、p分別是，，的面積，若，則的最小值是 （ ） A．8 B．9 C．16 D．18 【例11】 若函數(shù)是偶函數(shù)，則，（a∈R）的大小關系是　　　　　　. 【例12】 設 【例13】 函數(shù)在（0，2）上是增函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)，則,,的大小關系是 . 【例14】 已知 ，向量的 夾角為，則= 【例15】 定義運算，例如，，則函數(shù)的最大值為． 【例16】 若，，且恒成立，則的最大值是 。 【例17】 已知集合M是滿足下列條件的函數(shù)f（x）的全體： ①當時，函數(shù)值為非負實數(shù)； ②對于任意的，都有 在三個函數(shù)中，屬于集合M的是 。 【例18】 給出下列四個命題： ①若，則； ②若，則； ③若，則； ④若，，且，則的最小值為9. 其中正確命題的序號是 .（把你認為正確命題的序號都填上） 【例19】 如圖，在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中，當?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件 （或任何能推導出這個條件的其他條件，例如ABCD是正方形、菱形等）時，有A1C⊥B1D1（注：填上你認為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形） 圖 【例20】 用一根長為12m的鋁合金條做成一個“目”字形窗戶的框架(不計損耗)，要使這個窗戶通過的陽光最充足，則框架的長與寬應為　　　　　　　　　　. 【例21】 若，求證：． 【例22】 若，求證： 【例23】 已知a，b，c是全不相等的正實數(shù)，求證 【例24】 證明：已知：，求證： 【例25】 已知求的最大值。 【例26】 設，求證：． 【例27】 某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買噸，運費為4萬元/次，一年的總存儲費用為萬元，要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則 噸． 【例28】 在銳角三角形中,求證: 題型二：分析法 【例29】 設，，，則x與y的大小關系為（ ）。 （A）； （B）； （C）； （D） 【例30】 已知，則正確的結論是（ ）。 (A) (B) (C) (D)a、b大小不定 【例31】 設a、b、m都是正整數(shù)，且a＜b，則下列不等式中恒不成立的是（ ）。 (A) (B) (D) (D) 【例32】 已知，且，則不能等于（ ）。 (A)f（1）+2f（1）+…+nf（1） (B) (C)n（n+1） (D)n（n+1）f（1） 【例33】 的大小關系是__________. 【例34】 在十進制中，那么在5進制中數(shù)碼xx折合成十進制為 。 【例35】 設，那么P, Q, R的大小順序是 。 【例36】 有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎，有人走訪了四位歌手，甲說：“是乙或丙獲獎?！币艺f：“甲、丙都未獲獎?！北f：“我獲獎了。”丁說：“是乙獲獎?！彼奈桓枋值脑捴挥袃删涫菍Φ?，則獲獎的歌手是 【例37】 若是△的三邊長，求證： 【例38】 △ABC的三個內角A、B、C成等差數(shù)列， 求證：。 【例39】 用分析法證明：若a>0，則。 【例40】 設若函數(shù)與的圖象關于軸對稱，求證為偶函數(shù)。 【例41】 自然狀態(tài)下魚類是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強度對魚群總量的影響，用表示某魚群在第年年初的總量，，且＞0.不考慮其它因素，設在第年內魚群的繁殖量及捕撈量都與成正比，死亡量與成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù). （Ⅰ）求與的關系式； （Ⅱ）猜測：當且僅當，滿足什么條件時，每年年初魚群的總量保持不變？（不要求證明） 【例42】 設函數(shù). （1）證明：； （2）設為的一個極值點，證明. 【例43】 已知二次函數(shù), （1）若且,證明:的圖像與x軸有兩個相異交點; （2）證明: 若對,, 且，,則方程必有一實根在區(qū)間 (,) 內; （3）在(1)的條件下,是否存在,使成立時,為正數(shù). 題型三：反證法 【例44】 下列表中的對數(shù)值有且僅有一個是錯誤的： 3 5 8 9 15 請將錯誤的一個改正為 = 【例45】 用反證法證明命題：“三角形的內角中至少有一個不大于60度”時，反設正確的是（ ） ( A ) 假設三內角都不大于60； (B) 假設三內角都大于60； (C) 假設三內角至多有一個大于60； (D) 假設三內角至多有兩個大于60。 【例46】 已知＝2，關于p＋q的取值范圍的說法正確的是 （ ） （A）一定不大于2 （B）一定不大于 （C）一定不小于 （D）一定不小于2 【例47】 否定結論“至多有兩個解”的說法中，正確的是 ( ) （A）有一個解 （B）有兩個解 （C）至少有三個解 （D）至少有兩個解 【例48】 設大于0，則3個數(shù)：，，的值 ( ) （A）都大于2 （B）至少有一個不大于2 （C）都小于2 （D）至少有一個不小于2 【例49】 已知α∩β＝l，aα、bβ，若a、b為異面直線，則 ( ) （A） a、b都與l相交 （B） a、b中至少一條與l相交 （C） a、b中至多有一條與l相交 （D） a、b都與l相交 【例50】 用反證法證明命題:“三角形的內角中至少有一個不大于60”時,反設正確的是（ ） A、假設三內角都不大于60度； B、 假設三內角都大于60度； C、假設三內角至多有一個大于60度；D、 假設三內角至多有兩個大于60度。 【例51】 命題“關于x的方程的解是唯一的”的結論的否定是 （ ） A、無解 B、兩解 C、至少兩解 D、無解或至少兩解 【例52】 用反證法證明命題“如果那么”時，假設的內容應為_____________. 【例53】 用反證法證明“，求證：中至少有一個不小于”時的假設為 【例54】 用反證法證明“若＞0，則 ”時的假設為 【例55】 用反證法證明命題“可以被5整除，那么中至少有一個能被5整除?！蹦敲醇僭O的內容是 【例56】 證明：不能為同一等差數(shù)列的三項. 【例57】 對于直線l：y=kx+1，是否存在這樣的實數(shù)k，使得l與雙曲線C：3x－y=1的交點A、B關于直線y=ax（a為常數(shù)）對稱？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由。 【例58】 已知，求證： 【例59】 若均為實數(shù)，且。 求證：中至少有一個大于0。 【例60】 求證：形如的正整數(shù)不能寫成兩個整數(shù)的平方和 【例61】 若、， (1)求證：； (2)令，寫出、、、的值，觀察并歸納出這個數(shù)列的通項公式； (3)證明：存在不等于零的常數(shù)p，使是等比數(shù)列，并求出公比q的值. 【例62】 設，函數(shù)在上是單調函數(shù). （1）求實數(shù)的取值范圍； （2）設≥1，≥1，且，求證：. 【例63】 設集合由滿足下列兩個條件的數(shù)列構成： ①； ②存在實數(shù)，使．（為正整數(shù)） ⑴在只有項的有限數(shù)列，中，其中； ；試判斷數(shù)列是否為集合的元素； ⑵設是各項為正的等比數(shù)列，是其前項和，，， 證明數(shù)列；并寫出的取值范圍； ⑶設數(shù)列且對滿足條件的的最小值，都有． 求證：數(shù)列單調遞增． 【例64】 設是定義在上的函數(shù)，若存在，使得在上單調遞增，在上單調遞減，則稱為上的單峰函數(shù)，為峰點，包含峰點的區(qū)間為含峰區(qū)間.　　對任意的上的單峰函數(shù)，下面研究縮短其含峰區(qū)間長度的方法. （1）證明：對任意的，，若，則為含峰區(qū)間；若，則為含峰區(qū)間； （2）對給定的，證明：存在，滿足，使得由（1）所確定的含峰區(qū)間的長度不大于； （3）選取，，由（1）可確定含峰區(qū)間或，在所得的含峰區(qū)間內選取，由與或與類似地可確定一個新的含峰區(qū)間.在第一次確定的含峰區(qū)間為的情況下，試確定，的值，滿足兩兩之差的絕對值不小于0.02,且使新的含峰區(qū)間的長度縮短到0.34.（區(qū)間長度等于區(qū)間的右端點與左端點之差） 【例65】 已知數(shù)列滿足：， ，；數(shù)列滿足： ． ⑴求數(shù)列，的通項公式； ⑵證明：數(shù)列中的任意三項不可能成等差數(shù)列．