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2019-2020年高中數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí) 第九章9.10 棱柱與棱錐教案 新人教A版 鞏固夯實(shí)基礎(chǔ) 一、自主梳理 1.有兩個(gè)面互相平行，其余各面的公共邊互相平行的多面體叫做棱柱.側(cè)棱與底面垂直的棱柱叫做直棱柱.底面是正多邊形的直棱柱叫正棱柱. 2.棱柱的各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是平行四邊形；長(zhǎng)方體的對(duì)角線的平方等于由一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的平方和. 3.一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形的多面體叫做棱錐.底面是正多邊形并且頂點(diǎn)在底面上的射影是正多邊形的中心的棱錐叫做正棱錐. 4.棱錐中與底面平行的截面與底面平行，并且它們面積的比等于對(duì)應(yīng)高的平方比. 在正棱錐中，側(cè)棱、高及側(cè)棱在底面上的射影構(gòu)成直角三角形；斜高、高及斜高在底面上的射影也構(gòu)成直角三角形. 二、點(diǎn)擊雙基 1.設(shè)M＝｛正四棱柱｝，N＝｛直四棱柱｝，P＝｛長(zhǎng)方體｝，Ｑ＝｛直平行六面體｝，則四個(gè)集合的關(guān)系為( ) A.MPNQ B.MPQN C.PMNQ D.PMQN 解析:理清各概念的內(nèi)涵及包含關(guān)系. 答案:B 2.如圖,在斜三棱柱ABC—A1B1C1中,∠BAC=90,BC1⊥AC,則C1在底面ABC上的射影H必在( ) A.直線AB上 B.直線BC上 C.直線AC上 D.△ABC內(nèi)部 解析:由AC⊥AB,AC⊥BC1,知AC⊥面ABC1,從而面ABC1⊥面ABC,因此,C1在底面ABC上的射影H必在兩面的交線AB上. 答案:A 3.正四棱錐底面邊長(zhǎng)為4,側(cè)棱長(zhǎng)為3,則其體積為_______________. 解析:該正四棱錐的高h(yuǎn)==1,體積V=Sh=421=. 答案: 4.若正三棱錐底面邊長(zhǎng)為4，體積為1，則側(cè)面和底面所成二面角的大小等于____________.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示） 解析:取BC的中點(diǎn)D,連結(jié)SD、AD，則SD⊥BC，AD⊥BC. ∴∠SDA為側(cè)面與底面所成二面角的平面角,設(shè)為α.在平面SAD中，作SO⊥AD與AD交于O，則SO為棱錐的高.AO=2DO， ∴OD=. 又VS—ABC=ABBCsin60h=1, ∴h=.∴tanα===. ∴α=arctan. 答案:arctan 5.過棱錐高的三等分點(diǎn)作兩個(gè)平行于底面的截面,它們將棱錐的側(cè)面分成三部分的面積的比(自上而下)為___________________. 解析:由錐體平行于底面的截面性質(zhì),知自上而下三錐體的側(cè)面積之比S側(cè)1∶S側(cè)2∶S側(cè)3=1∶4∶9,所以錐體被分成三部分的側(cè)面積之比為1∶3∶5. 答案:1∶3∶5 誘思實(shí)例點(diǎn)撥 【例1】已知E、F分別是棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD—A1B1C1D1的棱A1A、CC1的中點(diǎn)，求四棱錐C1—B1EDF的體積. 解法一:連結(jié)A1C1、B1D1交于O1，過O1作O1H⊥B1D于H， ∵EF∥A1C1, ∴A1C1∥平面B1EDF. ∴C1到平面B1EDF的距離就是A1C1到平面B1EDF的距離. ∵平面B1D1D⊥平面B1EDF， ∴O1H⊥平面B1EDF，即O1H為棱錐的高. ∵△B1O1H∽△B1DD1, ∴O1H==a, =O1H=EFB1DO1H=aaa=a3. 解法二:連結(jié)EF，設(shè)B1到平面C1EF的距離為h1,D到平面C1EF的距離為h2,則h1+h2=B1D1=a, ∴=+=(h1+h2)=a3. 解法三:=--=a3. 鏈接提示 求體積常見方法有:①直接法(公式法);②分割法;③補(bǔ)形法. 【例2】 如圖所示,在四棱錐P—ABCD中,底面ABCD是矩形,PA=AB=2,BC=a,又側(cè)棱PA⊥底面ABCD. (1)當(dāng)a為何值時(shí),BD⊥平面PAC?試證明你的結(jié)論. (2)當(dāng)a=4時(shí),求D點(diǎn)到平面PBC的距離. (3)當(dāng)a=4時(shí),求直線PD與平面PBC所成的角. 剖析:本題主要考查棱錐的性質(zhì),直線、平面所成的角的計(jì)算和點(diǎn)到平面的距離等基礎(chǔ)知識(shí).同時(shí)考查空間想象能力、邏輯推理能力和計(jì)算能力. 解:(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn),以AD、AB、AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,當(dāng)a=2時(shí),BD⊥AC,又PA⊥BD,故BD⊥平面PAC.故a=2. (2)當(dāng)a=4時(shí),D(4,0,0)、C(0,2,0)、C(4,2,0)、P(0,0,2),=(0,2,-2),=(4,0,0). 設(shè)平面PBC的法向量為n,則n=0,n=0,即(x,y,z)(0,2,-2)=0,(x,y,z)(4,0,0)=0,得x=0,y=z,取y=1,故n=(0,1,1).則D點(diǎn)到平面PBC的距離d==. (3)=(4,0,2),cos〈,n〉==>0,證〈,n〉=α,設(shè)直線PD與平面PBC所成的角為θ,則sinθ=sin(-α)=cosα=. 所以直線PD與平面PBC所成的角為arcsin. 講評(píng):本題主要是在有關(guān)的計(jì)算中,推理得到所求的問題,因而盡量選擇用坐標(biāo)法計(jì)算. 【例3】已知三棱錐A—BCD中,AB=3,其余各棱長(zhǎng)均為2,E、F分別是AB、CD的中點(diǎn),問:在線段EF上是否存在一點(diǎn)O,使O到A、B、C、D四點(diǎn)的距離相等? 剖析:易證EF為AB、CD的公垂線段,問題則轉(zhuǎn)化為在線段EF上是否存在一點(diǎn)O,使OA=OC. 解:如圖,連結(jié)EC、ED, ∵AD=DB=AC=BC=2,AB是公共邊, ∴△ABD≌△ABC. ∴DE=CE.而F為CD的中點(diǎn), ∴EF⊥CD. 同理,EF⊥AB, 即EF為AB、CD的公垂線. 假設(shè)在EF上存在點(diǎn)O,使OA=OC,令OE=x,由OA=OC,得到關(guān)于x的方程,下面只需考慮這個(gè)方程是否有解即可. 在Rt△AEF中,EF==,OF=-x, OA2=AE2+EO2=+x2,OC2=OF2+FC2=(-x)2+1. 于是有+x2=(-x)2+1, ∴x=. 故在線段EF上存在一點(diǎn)O,使得O到A、B、C、D四點(diǎn)的距離相等.