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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 8.2 雙曲線教案 ●知識梳理 定義 1.到兩個定點F1與F2的距離之差的絕對值等于定長（＜|F1F2|）的點的軌跡 2.到定點F與到定直線l的距離之比等于常數(shù)e（＞1）的點的軌跡 方程 1. －=1，c=，焦點是F1（－c，0），F(xiàn)2（c，0） 2.－=1，c=，焦點是F1（0，－c）、F2（0，c） 性質(zhì) H：－=1（a＞0，b＞0） 1.范圍：|x|≥a，y∈R 2.對稱性：關(guān)于x、y軸均對稱，關(guān)于原點中心對稱 3.頂點：軸端點A1（－a，0），A2（a，0） 4.漸近線：y=x，y=－x 5.離心率：e=∈（1，+∞） 6.準(zhǔn)線：l1：x=－，l2：x= 7.焦半徑：P（x，y）∈H， P在右支上， r1=|PF1|=ex+a， r2=|PF2|=ex－a； P在左支上， r1=|PF1|=－（ex+a）， r2=|PF2|=－（ex－a） 思考討論 對于焦點在y軸上的雙曲線－=1（a＞0，b＞0），其性質(zhì)如何？焦半徑公式如何推導(dǎo)？ ●點擊雙基 1.（xx年春季北京）雙曲線－=1的漸近線方程是 A.y=x B.y=x C.y=x D.y=x 解析：由雙曲線方程可得焦點在x軸上，a=2，b=3.∴漸近線方程為y=x=x. 答案：A 2.過點（2，－2）且與雙曲線－y2=1有公共漸近線的雙曲線方程是 A.－=1 B.－=1 C.－=1 D.－=1 解析：可設(shè)所求雙曲線方程為－y2=λ，把（2，－2）點坐標(biāo)代入方程得λ=－2. 答案：A 3.如果雙曲線－＝1上一點P到它的右焦點的距離是8，那么P到它的右準(zhǔn)線距離是 A.10 B. C.2 D. 解析：利用雙曲線的第二定義知P到右準(zhǔn)線的距離為=8=. 答案：D 4.已知圓C過雙曲線－=1的一個頂點和一個焦點，且圓心在此雙曲線上，則圓心到雙曲線中心的距離是____________. 解析：由雙曲線的幾何性質(zhì)易知圓C過雙曲線同一支上的頂點和焦點，所以圓C的圓心的橫坐標(biāo)為4.故圓心坐標(biāo)為（4，）.易求它到中心的距離為. 答案： 5.求與圓A：（x+5）2+y2=49和圓B：（x－5）2+y2=1都外切的圓的圓心P的軌跡方程為________________. 解析：利用雙曲線的定義. 答案：－=1（x＞0） ●典例剖析 【例1】 根據(jù)下列條件，求雙曲線方程： （1）與雙曲線－=1有共同的漸近線，且過點（－3，2）； （2）與雙曲線－=1有公共焦點，且過點（3，2）. 剖析：設(shè)雙曲線方程為－=1，求雙曲線方程，即求a、b，為此需要關(guān)于a、b的兩個方程，由題意易得關(guān)于a、b的兩個方程. 解法一：（1）設(shè)雙曲線的方程為－=1， 由題意，得 =， －=1， 解得a2=，b2=4. 所以雙曲線的方程為－=1. （2）設(shè)雙曲線方程為－=1.由題意易求c=2. 又雙曲線過點（3，2），∴－=1. 又∵a2+b2=（2）2，∴a2=12，b2=8. 故所求雙曲線的方程為－=1. 解法二：（1）設(shè)所求雙曲線方程為－＝λ（λ≠0）， 將點（－3，2）代入得λ＝，所以雙曲線方程為－＝. （2）設(shè)雙曲線方程為－＝1， 將點（3，2）代入得k=4，所以雙曲線方程為－＝1. 評述：求雙曲線的方程，關(guān)鍵是求a、b，在解題過程中應(yīng)熟悉各元素（a、b、c、e及準(zhǔn)線）之間的關(guān)系，并注意方程思想的應(yīng)用.若已知雙曲線的漸近線方程axby=0，可設(shè)雙曲線方程為a2x2－b2y2=λ（λ≠0）. 【例2】 （xx年全國，19）設(shè)點P到點M（－1，0）、N（1，0）距離之差為2m，到x軸、y軸距離之比為2，求m的取值范圍. 剖析：由|PM|－|PN|=2m，得||PM|－|PN||=2|m|.知點P的軌跡是雙曲線，由點P到x軸、y軸距離之比為2，知點P的軌跡是直線，由交軌法求得點P的坐標(biāo)，進而可求得m的取值 范圍. 解：設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y），依題意得=2，即y=2x（x≠0）. ① 因此，點P（x，y）、M（－1，0）、N（1，0）三點不共線，得||PM|－|PN||<|MN|=2. ∵||PM|－|PN||=2|m|>0， ∴0<|m|<1.因此，點P在以M、N為焦點，實軸長為2|m|的雙曲線上. 故－=1. ② 將①代入②，并解得x2=， ∵1－m2>0，∴1－5m2>0.解得0<|m|<， 即m的取值范圍為（－，0）∪（0，）. 評述：本題考查了雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程等基本知識，考查了邏輯思維能力及分析問題、解決問題的能力.解決此題的關(guān)鍵是用好雙曲線的定義. 【例3】 如下圖，在雙曲線－=1的上支上有三點A（x1，y1），B（x2，6），C（x3，y3），它們與點F（0，5）的距離成等差數(shù)列. （1）求y1+y3的值； （2）證明：線段AC的垂直平分線經(jīng)過某一定點，并求此點坐標(biāo). 剖析：可以驗證F為焦點，利用第二定義可得三點到準(zhǔn)線的距離也成等差數(shù)列，進而有三點縱坐標(biāo)成等差數(shù)列，由此易得y1+y3的值.為求出AC的中垂線所過定點，不妨設(shè)想作出A與C關(guān)于y軸的對稱點A′與C′.由雙曲線的對稱性，易知A′與C′也在雙曲線上，且A′、B、C′滿足題設(shè)條件，所以A′C′的中垂線也應(yīng)過此定點.由兩條中垂線關(guān)于y軸對稱.所以定點應(yīng)在y軸上. （1）解：c==5，故F為雙曲線的焦點，設(shè)準(zhǔn)線為l，離心率為e，由題設(shè)有2|FB|=|FA|+|FC|. ① 分別過A、B、C作x軸的垂線AA2、BB2、CC2，交l于A1、B1、C1，則由雙曲線第二定義有|FB|=e|BB1|，|FA|=e|AA1|，|FC|=e|CC1|，代入①式，得2e|BB1|=e|AA1|+e|CC1|， 即2|BB1|=|AA1|+|CC1|. 于是兩邊均加上準(zhǔn)線與x軸距離的2倍，有 2|BB2|=|AA2|+|CC2|， 此即26=y1+y3，可見y1+y3=12. （2）證明：AC的中垂線方程為 y－=－（x－），即y－6=－x+. ② 由于A、C均在雙曲線上，所以有－=1，－=1. 相減得=.于是有 =（y1+y3）=12=13， 故②變?yōu)閥=－x+，易知此直線過定點D（0，）. 評述：利用第二定義得焦半徑，可使問題容易解決.中垂線過弦AC的中點，中點問題往往把A、C的坐標(biāo)代入方程，兩式相減、變形，即可解決問題. ●闖關(guān)訓(xùn)練 夯實基礎(chǔ) 1.（xx年天津，4）設(shè)P是雙曲線－=1上一點，雙曲線的一條漸近線方程為3x－2y=0，F(xiàn)1、F2分別是雙曲線的左、右焦點.若|PF1|=3，則|PF2|等于 A.1或5 B.6 C.7 D.9 解析：由漸近線方程y=x，且a=2，∴b=3.據(jù)定義有|PF2|－|PF1|=4，∴|PF2|=7. 答案：C 2.（xx年春季北京，5）“ab<0”是“曲線ax2+by2=1為雙曲線”的 A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件 解析：由ab<0，得a>0，b<0或a<0，b>0. 由此可知a與b符號相反，則方程表示雙曲線，反之亦然. 答案：C 3.（xx年上海）給出問題：F1、F2是雙曲線－=1的焦點，點P在雙曲線上.若點P到焦點F1的距離等于9，求點P到焦點F2的距離.某學(xué)生的解答如下：雙曲線的實軸長為8，由||PF1|－|PF2||=8，即|9－|PF2||=8，得|PF2|=1或17. 該學(xué)生的解答是否正確？若正確，請將他的解題依據(jù)填在下面橫線上；若不正確，將正確結(jié)果填在下面橫線上.______________________________________________. 解析：易知P與F1在y軸的同側(cè)，|PF2|－|PF1|=2a，∴|PF2|=17. 答案：|PF2|=17 4.過點A（0，2）可以作____________條直線與雙曲線x2－＝1有且只有一個公共點. 解析：數(shù)形結(jié)合，兩切線、兩交線. 答案：4 5.已知雙曲線的方程是16x2－9y2=144. （1）求這雙曲線的焦點坐標(biāo)、離心率和漸近線方程； （2）設(shè)F1和F2是雙曲線的左、右焦點，點P在雙曲線上，且|PF1||PF2|=32，求∠F1PF2的大小. 解：（1）由16x2－9y2=144得－=1， ∴a=3，b=4，c=5.焦點坐標(biāo)F1（－5，0），F(xiàn)2（5，0），離心率e=，漸近線方程為y=x. （2）||PF1|－|PF2||=6，cos∠F1PF2= == =0. ∴∠F1PF2=90. 6.已知雙曲線x2－=1與點P（1，2），過P點作直線l與雙曲線交于A、B兩點，若P為AB中點. （1）求直線AB的方程； （2）若Q（1，1），證明不存在以Q為中點的弦. （1）解：設(shè)過P（1，2）點的直線AB方程為y－2=k（x－1）， 代入雙曲線方程得（2－k2）x2+（2k2－4k）x－（k4－4k+6）=0. 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則有x1+x2=－， 由已知=xp=1，∴=2.解得k=1. 又k=1時，Δ=16＞0，從而直線AB方程為x－y+1=0. （2）證明：按同樣方法求得k=2，而當(dāng)k=2時，Δ＜0，所以這樣的直線不存在. 培養(yǎng)能力 7.雙曲線kx2－y2＝1，右焦點為F，斜率大于0的漸近線為l，l與右準(zhǔn)線交于A，F(xiàn)A與左準(zhǔn)線交于B，與雙曲線左支交于C，若B為AC的中點，求雙曲線方程. 解：由題意k＞0，c=，漸近線方程l為y=x， 準(zhǔn)線方程為x=，于是A（，）， 直線FA的方程為 y=，于是B（－，）. 由B是AC中點，則xC=2xB－xA＝－，yC=2yB－yA＝. 將xC、yC代入方程kx2－y2＝1，得k2c4－10kc2＋25＝0. 解得k（1+）＝5，則k＝4. 所以雙曲線方程為4x2－y2＝1． 8.（理）已知l1、l2是過點P（－，0）的兩條互相垂直的直線，且l1、l2與雙曲線 y2－x2＝1各有兩個交點，分別為A1、B1和A2、B2. （1）求l1的斜率k1的取值范圍； （2）若｜A1B1｜＝｜A2B2｜，求l1、l2的方程. 解：（1）顯然l1、l2斜率都存在，否則l1、l2與曲線不相交.設(shè)l1的斜率為k1，則l1的方程為y＝k1（x＋）. 聯(lián)立得 y＝k1（x＋）， y2－x2＝1，消去y得 （k12－1）x2＋2k12x＋2k12－1＝0. ① 根據(jù)題意得k12－1≠0， ② Δ1＞0，即有12k12－4＞0. ③ 完全類似地有－1≠0， ④ Δ2＞0，即有12－4＞0， ⑤ 從而k1∈（－，－）∪（，）且k1≠1. （2）由弦長公式得｜A1B1｜＝. ⑥ 完全類似地有｜A2B2｜＝. ⑦ ∵｜A1B1｜＝｜A2B2｜，∴k1＝，k2＝.從而 l1：y＝（x＋），l2：y＝－（x＋）或l1：y＝－（x＋），l2：y＝（x＋）． （文）在雙曲線－＝1上求一點M，使它到左右兩焦點的距離之比為3∶2，并求M點到兩準(zhǔn)線的距離． 解：設(shè)M（x1，y1），左右兩焦點F1、F2，由雙曲線第二定義得 ｜MF1｜＝ex1＋a，｜MF2｜＝ex1－a， 由已知2（ex1＋a）＝3（ex1－a）， 把e=，a=4代入，得x1＝16，y1＝3. ∴點M的坐標(biāo)為（16，3）. 雙曲線準(zhǔn)線方程為x==. ∴M（16，3）到準(zhǔn)線的距離為12或19． 探究創(chuàng)新 9.（xx年春季上海）已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM、kPN時，那么kPM與kPN之積是與點P位置無關(guān)的定值.試對雙曲線C′：－=1寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明. 解：類似的性質(zhì)為若MN是雙曲線－=1上關(guān)于原點對稱的兩個點，點P是雙曲線上任意一點，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM、kPN時，那么kPM與kPN之積是與點P位置無關(guān)的定值. 設(shè)點M的坐標(biāo)為（m，n），則點N的坐標(biāo)為（－m，－n），其中－=1. 又設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y）， 由kPM=，kPN=，得kPMkPN==， 將y2=x2－b2，n2=m2－b2，代入得kPMkPN=. 評注：本題主要考查橢圓、雙曲線的基本性質(zhì)，考查類比、歸納、探索問題的能力.它是一道綜合橢圓和雙曲線基本知識的綜合性題目，對思維能力有較高的要求. ●思悟小結(jié) 本節(jié)重點是求雙曲線方程及由雙曲線方程求基本量，難點是雙曲線的靈活運用.解決本節(jié)問題應(yīng)注意以下幾點： 1.由給定條件求雙曲線的方程，常用待定系數(shù)法.首先是根據(jù)焦點位置設(shè)出方程的形式（含有參數(shù)），再由題設(shè)條件確定參數(shù)值，應(yīng)特別注意： （1）當(dāng)焦點位置不確定時，方程可能有兩種形式，應(yīng)防止遺漏； （2）已知漸近線的方程bxay=0，求雙曲線方程，可設(shè)雙曲線方程為b2x2－a2y2=λ（λ≠0），根據(jù)其他條件確定λ的值.若求得λ＞0，則焦點在x軸上，若求得λ＜0，則焦點在y軸上. 2.由已知雙曲線的方程求基本量，注意首先應(yīng)將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，再計算，并要特別注意焦點位置，防止將焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程寫錯. 3.解題中，應(yīng)重視雙曲線兩種定義的靈活應(yīng)用，以減少運算量. ●教師下載中心 教學(xué)點睛 本節(jié)的重點是雙曲線的定義、方程、幾何性質(zhì).難點是理解參數(shù)a、b、c、e的關(guān)系及漸近線方程、準(zhǔn)線方程、第二定義的應(yīng)用.關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解和掌握有關(guān)概念，靈活地運用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程的思想及等價轉(zhuǎn)化的思想.為此建議在教學(xué)中注意以下幾點： 1.雙曲線中有一個重要的Rt△OAB（如下圖），它的三邊長分別是a、b、c.易見c2=a2+b2，若記∠AOB=θ，則e==. 2.雙曲線的定義用代數(shù)式表示為||MF1|－|MF2||=2a，其中2a＜|F1F2|，這里要注意兩點： （1）距離之差的絕對值. （2）2a＜|F1F2|，這兩點與橢圓的定義有本質(zhì)的不同. 當(dāng)|MF1|－|MF2|=2a時，曲線僅表示焦點F2所對應(yīng)的一支； 當(dāng)|MF1|－|MF2|=－2a時，曲線僅表示焦點F1所對應(yīng)的一支； 當(dāng)2a=|F1F2|時，軌跡是一直線上以F1、F2為端點向外的兩條射線； 當(dāng)2a＞|F1F2|時，動點軌跡不存在. 3.參數(shù)a、b是雙曲線的定形條件，兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，總有a＞0，b＞0；雙曲線焦點位置決定標(biāo)準(zhǔn)方程的類型；a、b、c的關(guān)系是c2=a2+b2；在方程Ax2+By2=C中，只要AB＜0且C≠0，就是雙曲線的方程. 4.在運用雙曲線的第二定義時，一定要注意是動點P到焦點的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線距離之比為常數(shù)e.若使用的焦點與準(zhǔn)線不是對應(yīng)的，則上述之比就不再是常數(shù)了. 5.給定了雙曲線方程，就可求得確定的兩條漸近線.但已知漸近線方程，只是限制了雙曲線張口的大小，不能直接寫出雙曲線方程.但若已知漸近線方程是=0，則可把雙曲線方程表示為－=λ（λ≠0），再根據(jù)已知條件確定λ的值，求出雙曲線的方程. 拓展題例 【例1】 已知雙曲線－=1的離心率e>1+，左、右焦點分別為F1、F2，左準(zhǔn)線為l，能否在雙曲線的左支上找一點P，使得|PF1|是P到l的距離d與|PF2|的等比中項? 解：設(shè)在左支上存在P點，使|PF1|2=|PF2|d，由雙曲線的第二定義知 ==e，即|PF2|=e|PF1|. ① 再由雙曲線的第一定義，得|PF2|－|PF1|=2a. ② 由①②，解得|PF1|=，|PF2|=， ∵|PF1|+|PF2|≥|F1F2|， ∴+≥2c. ③ 利用e=，由③得e2－2e－1≤0， 解得1－≤e≤1+. ∵e>1，∴11+矛盾. ∴在雙曲線的左支上找不到點P，使得|PF1|是P到l的距離d與|PF2|的等比中項. 【例2】 設(shè)雙曲線的中心在原點，準(zhǔn)線平行于x軸，離心率為，且點P（0，5）到此雙曲線上的點的最近距離為2，求雙曲線的方程. 分析：由雙曲線中心在原點，準(zhǔn)線平行于x軸，可設(shè)雙曲線的方程為－=1. 由離心率為，可得a2+b2=（a）2=c2. 由點P（0，5）到此雙曲線上的點的最近距離為2，可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最大（?。┲祮栴}來討論，得到a、b應(yīng)滿足的另一關(guān)系式.從而求出a2、b2，本題得解. 解：依題意，設(shè)雙曲線的方程為－=1（a>0，b>0）. ∵e==，c2=a2+b2，∴a2=4b2. 設(shè)M（x，y）為雙曲線上任一點，則|PM|2=x2+（y－5）2 =b2（－1）+（y－5）2=（y－4）2+5－b2（|y|≥2b）. ①若4≥2b，則當(dāng)y=4時，|PM|min2=5－b2=4，得b2=1，a2=4. 從而所求雙曲線方程為－x2=1. ②若4<2b，則當(dāng)y=2b時，|PM|min2=4b2－20b+25=4， 得b=（舍去b=），b2=，a2=49. 從而所求雙曲線方程為－=1.