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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第四章 三角函數(shù)教案 三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，它的基礎(chǔ)主要是幾何中的相似形和圓，研究方法主要是代數(shù)變形和圖象分析，因此三角函數(shù)的研究已經(jīng)初步把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來(lái)了，本章所介紹的知識(shí)，既是解決生產(chǎn)實(shí)際問(wèn)題的工具，又是學(xué)習(xí)中學(xué)后繼內(nèi)容和高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ) 本章教學(xué)時(shí)間約用36課時(shí)，具體分配如下(僅供參考)： 4.1角的概念的推廣 約2課時(shí) 4.2弧度制 約2課時(shí) 4.3任意角的三角函數(shù) 約2課時(shí) 4.4同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 約2課時(shí) 4.5正弦、余弦的誘導(dǎo)公式 約3課時(shí) 4.6兩角和與差的正弦、余弦、正切 約7課時(shí) 4.7二倍角的正弦、余弦、正切 約3課時(shí) 4.8正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì) 約4課時(shí) 4.9函數(shù)y=Asin(ωx+φ) 的圖象 約3課時(shí) 4.10正切函數(shù)的圖象和性質(zhì) 約2課時(shí) 4.11已知三角函數(shù)值求角 約2課時(shí) 小結(jié)與復(fù)習(xí) 約4課時(shí) 一、 內(nèi)容與要求 (一)本章主要內(nèi)容是任意角的概念、弧度制、任意角的三角函數(shù)、同角三角函數(shù)間的關(guān)系、誘導(dǎo)公式、兩角和與差的三角函數(shù)、二倍角的三角函數(shù)，以及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，已知三角函數(shù)值求角等 (二)章頭引言安排了一個(gè)實(shí)際問(wèn)題——求半圓內(nèi)接矩形的最大面積．這個(gè)問(wèn)題可以用二次函數(shù)來(lái)解決，但如果設(shè)角度為自變量，就會(huì)得到三角函數(shù)式，學(xué)生尚未學(xué)過(guò)求它的最大值 第一大節(jié)是“任意角的三角函數(shù)”教科書首先推廣了角的概念，介紹了弧度制，接著把三角函數(shù)的概念由銳角直接推廣到任意角(都用坐標(biāo)定義)，然后導(dǎo)出同角三角函數(shù)的兩個(gè)基本關(guān)系式及正弦、余弦的誘導(dǎo)公式教科書在本大節(jié)的各小節(jié)中，都安排了許多實(shí)例以及知識(shí)的應(yīng)用 第二大節(jié)是“兩角和與差的三角函數(shù)”教科書先引入平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式(只通過(guò)畫圖說(shuō)明公式的正確性，不予嚴(yán)格證明)，用距離公式推出余弦的和角公式，然后順次推出(盡量用啟發(fā)式)其他公式，同時(shí)安排了這些公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用和實(shí)際應(yīng)用，包括解決引言中的實(shí)際問(wèn)題，引出半角公式、和差化積及積化和差公式讓學(xué)生有所了解 第三大節(jié)是“三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)”教科書先利用正弦線畫出函數(shù) ，x∈[0,]的圖象，并根據(jù)“終邊相同的角有相同的三角函數(shù)值”，把這一圖象向左、右平行移動(dòng)，得到正弦曲線；在此基礎(chǔ)上，利用誘導(dǎo)公式，把正弦曲線向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到余弦曲線接著根據(jù)這兩種曲線的形狀和特點(diǎn)，研究了正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)，然后又研究了正弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖的畫法，簡(jiǎn)要地介紹了利用正切線畫出正切函數(shù)的圖象以及正切函數(shù)的性質(zhì)最后講述了如何由已知三角函數(shù)值求角，并引進(jìn)了arcsinx、arccosx、arctanx等記號(hào)，以供在后續(xù)章節(jié)中遇到求角問(wèn)題時(shí)用來(lái)表示答案 (三)本章的教學(xué)要求是： 1．使學(xué)生理解任意角的概念、弧度的意義；能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算 2．使學(xué)生掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義，了解余切、正割、余割的定義；掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式；掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式 3．使學(xué)生掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式通過(guò)公式的推導(dǎo)，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，從而培養(yǎng)邏輯推理能力 4．使學(xué)生能正確運(yùn)用三角公式，進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和恒等式證明（包括引出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶） 5． 使學(xué)生會(huì)用單位圓中的三角函數(shù)線畫出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象，并在此基礎(chǔ)上由誘導(dǎo)公式畫出余弦函數(shù)的圖象；理解周期函數(shù)與最小正周期的意義，并通過(guò)它們的圖象理解這正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì)；會(huì)用“五點(diǎn)法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)的簡(jiǎn)圖，理解A、、φ的物理意義 6．使學(xué)生會(huì)由已知三角函數(shù)值求角，并會(huì)用符號(hào)arcsinx、arccosx、arctanx表示 二、 考點(diǎn)要求 1．理解弧度的定義，并能正確地進(jìn)行弧度和角度的換算 2．掌握任意角的三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)的符號(hào)、同角三角函數(shù)的關(guān)系式與誘導(dǎo)公式，了解周期函數(shù)和最小正周期的意義，會(huì)求的周期，或者經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的恒等變形可以化為上述函數(shù)的三角函數(shù)的周期能運(yùn)用上述三角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，求任意角的三角函數(shù)值與證明較簡(jiǎn)單的三角恒等式 3．了解正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的圖象的畫法，會(huì)用“五點(diǎn)法”畫正弦、余弦函數(shù)和函數(shù)的簡(jiǎn)圖，并能解決正弦、曲線有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題 4．能推導(dǎo)并掌握兩角和、兩角差、二倍角與半角的正弦、余弦、正切公式 5．了解三角函數(shù)的積化和差與和差化積公式 6．能正確地運(yùn)用上述公式簡(jiǎn)化三角函數(shù)式、求某些角的三角函數(shù)值證明較簡(jiǎn)單的三角恒等式以及解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題 7．掌握余弦定理、正弦定理及其推導(dǎo)過(guò)程、并能運(yùn)用它們解斜三角形 三、考點(diǎn)分析 三角函數(shù)是一種重要的初等函數(shù)，由于其特殊的性質(zhì)以及與其他代數(shù)、幾何知識(shí)的密切聯(lián)系，它既是研究其他各部分知識(shí)的重要工具，又是高考考查雙基的重要內(nèi)容之一 本章分兩部分，第一部分是三角函數(shù)部分的基礎(chǔ)，不要求引入難度過(guò)高，計(jì)算過(guò)繁，技巧性過(guò)強(qiáng)的題目，重點(diǎn)應(yīng)放在結(jié)知識(shí)理解的準(zhǔn)確性、熟練性和靈活性上 試題以選擇題、填空題形式居多，試題難度不高，常與其他知識(shí)結(jié)合考查 復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)把握好以下幾點(diǎn)： 1．理解弧度制表示角的優(yōu)點(diǎn)在于把角的集合與實(shí)數(shù)集一一對(duì)應(yīng)起來(lái)，二是就可把三角函數(shù)看成以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù) 2．要區(qū)別正角、負(fù)角、零角、銳角、鈍角、區(qū)間角、象限角、終邊相同角的概念 3．在已知一個(gè)角的三角函數(shù)值，求這個(gè)角的其他三角函數(shù)值時(shí)，要注意題設(shè)中角的范圍，并對(duì)不同的象限分別求出相應(yīng)的值在應(yīng)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行三角式的化簡(jiǎn)、求值時(shí)，應(yīng)注意公式中符號(hào)的選取 4．單位圓中的三角函數(shù)線，是三角函數(shù)的一種幾何表示，用三角函數(shù)線的數(shù)值來(lái)代替三角函數(shù)值，比由三角函數(shù)定義所規(guī)定的比值所得出三角函數(shù)值優(yōu)越得多，因此，三角函數(shù)是討論三角函數(shù)性質(zhì)的一個(gè)強(qiáng)有力的工具 5．要善于將三角函數(shù)式盡可能化為只含一個(gè)三角函數(shù)的“標(biāo)準(zhǔn)式”，進(jìn)而可求得某些復(fù)合三角函數(shù)的最值、最小正周期、單調(diào)性等對(duì)函數(shù)式作恒等變形時(shí)需特別注意保持定義域的不變性 6．函數(shù)的單調(diào)性是在給定的區(qū)間上考慮的，只有屬于同一單調(diào)敬意的同一函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值才能由它的單調(diào)性來(lái)比較大小 7．對(duì)于具有周期性的函數(shù)，在作圖時(shí)只要先作它在一個(gè)周期中的圖象，然后利用周期性就可作出整個(gè)函數(shù)的圖象 8．對(duì)于，，等表達(dá)式，要會(huì)進(jìn)行熟練的變形，并利用等三角公式進(jìn)行化簡(jiǎn) 本章第二部分是兩角和與差的三角函數(shù)，考查的知識(shí)共7個(gè)，高考中在選擇題、填空題和解答題三種題型中都考查過(guò)本章知識(shí)，題目多為求值題，有直接求某個(gè)三角函數(shù)值的，也有通過(guò)三角變換求函數(shù)的變量范圍，周期，最小、大值和討論其他性質(zhì)；以及少量的化簡(jiǎn)，證明題考查的題量一般為3—4個(gè)，分值在12—22分，都是容易題和中等題，重點(diǎn)考查內(nèi)容是兩角和與差的正弦、余弦及正切公式，和差化積、各積化和差公式 考生丟分的原因主要有以下兩點(diǎn)：一是公式不熟，二是運(yùn)算不過(guò)關(guān)，因此復(fù)習(xí)時(shí)要注意以下幾點(diǎn)： 1．熟練掌握和、差、倍、半角的三角函數(shù)公式復(fù)習(xí)中注意掌握以下幾個(gè)三角恒等變形的常用方法和簡(jiǎn)單技巧 ①常值代換，特別是“1”的代換，如：，，，等等 ②項(xiàng)的分拆與角的配湊 ③降次與升次 ④萬(wàn)能代換 另外，注意理解兩角和、差、倍、半角公式中角的實(shí)質(zhì)，可以把公式中的角看成一種整體形式，可以錦成其他變量或函數(shù)，這樣可加大公式的應(yīng)用范圍和力度 2．要會(huì)運(yùn)用和差化積與積化和差公式對(duì)三角函數(shù)和差式，要善于轉(zhuǎn)化為積的形式，反之亦然，對(duì)于形如的式子，要引入輔助角并化成的形式，這里輔助角所在的象限由的符號(hào)決定，角的值由確定對(duì)這種思想，務(wù)必強(qiáng)化訓(xùn)練，加深認(rèn)識(shí) 3．歸納總結(jié)并熟練掌握好三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值的常用方法和技巧 ①三角函數(shù)化簡(jiǎn)時(shí)，在題設(shè)的要求下，首先應(yīng)合理利用有關(guān)公式，還要盡量減少角的種數(shù)，盡量減少三角函數(shù)種數(shù)，盡量化同角、化同名等其他思想還有：異次化同次、高次化低次、化弦或化切、化和差為乘積、化乘積為和差、特殊角三角函數(shù)與特殊值互化等 ②三角函數(shù)的求值問(wèn)題，主要有兩種類型一關(guān)是給角求值問(wèn)題；另一類是給值求角問(wèn)題它們都是通過(guò)恰當(dāng)?shù)淖儞Q，設(shè)法再與求值的三角函數(shù)式、特殊角的三角函數(shù)式、已知某值的三角函數(shù)式之間建立起聯(lián)系選用公式時(shí)應(yīng)注意方向性、靈活性，以造成消項(xiàng)或約項(xiàng)的機(jī)會(huì)，簡(jiǎn)化問(wèn)題 4．關(guān)于三角函數(shù)式的簡(jiǎn)單證明三角恒等證明分不附加條件和附加條件兩種，證明方法靈活多樣一般規(guī)律是從化簡(jiǎn)入手，適當(dāng)變換，化繁為簡(jiǎn)，不過(guò)這里的變換目標(biāo)要由所證恒等式的特點(diǎn)來(lái)決定 ①不附加條件的三角恒等式證明：多用綜合法、分析法、在特定的條件下，也可使用數(shù)學(xué)歸納法 ②附加條件的三角恒等式證明：關(guān)鍵在于恰當(dāng)而適時(shí)地使用所附加的條件，也就是要仔細(xì)地尋找所附加條件和要證明的等式之間的內(nèi)在聯(lián)系常用的方法是代入法和消元法 三角恒等證明中要重點(diǎn)會(huì)用和差與積的互化公式，掌握等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想和變量代換的方法證明的關(guān)鍵是：發(fā)現(xiàn)差異——觀察等式兩邊角、函數(shù)、運(yùn)算間的差異；尋找聯(lián)系——選擇恰當(dāng)公式，找出差異間的聯(lián)系；合理轉(zhuǎn)化促進(jìn)聯(lián)系，創(chuàng)造性地應(yīng)用基本公式 而關(guān)于角的恒等式或條件恒等式的證明，一般來(lái)說(shuō)，要證，先證明的同名三角函數(shù)值相等，即，再證明在三角函數(shù)的同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，而后由函數(shù)的單調(diào)性得出 5．在解有關(guān)三角形的問(wèn)題中，銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理、正弦定理、余弦定理是常用的工具注意三角形面積公式，的妙用和三角形內(nèi)角和的制約關(guān)系的作用 6．求三角函數(shù)最值的常用方法是：配方法、判別式法、重要不等式法、變量代換法、三角函數(shù)的單調(diào)性和有界性等其基本思想是將三角函數(shù)的最值轉(zhuǎn)化為代數(shù)函數(shù)的最值 四、三角函數(shù)中應(yīng)注意的問(wèn)題 (一)本章內(nèi)容的重點(diǎn)是：任意角三角函數(shù)的概念，同角三角函數(shù)間的關(guān)系式、誘導(dǎo)公式及其運(yùn)用，正弦、余弦的和角公式，正弦曲線的畫法和正弦函數(shù)的性質(zhì)難點(diǎn)是：弧度制的慨念，綜合運(yùn)用本章公式進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)及恒等式的證明，周期函數(shù)的概念，函數(shù)的圖象與正弦曲線的關(guān)系關(guān)鍵是：使學(xué)生熟練掌握任意角三角函數(shù)的定義，講清余弦的和角公式的特征及其差角公式、正弦的和角公式的變化，正弦曲線的畫法和正弦函數(shù)的性質(zhì) 由于課時(shí)較緊，教學(xué)中應(yīng)遵循大綱所規(guī)定的內(nèi)容和要求，不要隨意補(bǔ)充已被刪簡(jiǎn)的知識(shí)點(diǎn)例如，三角函數(shù)基本上只講正弦、余弦、正切三種；同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式只講 ，，三個(gè)；除（k∈Z）外，其余誘導(dǎo)公式中，要求學(xué)生記住并能靈活運(yùn)用的，只是用正弦、余弦表示那幾個(gè)，以后求tan可通過(guò)用科學(xué)計(jì)算器或者轉(zhuǎn)化為 來(lái)求；在推導(dǎo)正切的和角公式以及畫正切函數(shù)的圖象時(shí)，出現(xiàn)了正切的誘導(dǎo)公式，但這只作為推導(dǎo)的中間步驟，不要求學(xué)生記憶；積化和差與和差化積公式、半角公式也只是作為和(差)角公式的應(yīng)用出現(xiàn)一下，結(jié)果不要求記憶，更不要求運(yùn)用；此外，也不要補(bǔ)充“把化成一個(gè)角的三角函數(shù)的形式”這樣的例習(xí)題 (二)在講述弧度制的優(yōu)點(diǎn)、角度制的不足時(shí)，要注意科學(xué)性事實(shí)上，角的概念推廣后，無(wú)論用弧度制還用角度制，都能在角的集合與實(shí)數(shù)集R及之間建立起一種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系說(shuō)“每個(gè)角都有唯一的實(shí)數(shù)與它對(duì)應(yīng)”時(shí)，這個(gè)實(shí)數(shù)可以取這個(gè)角的弧度數(shù)，或度數(shù)，或角度制下的分?jǐn)?shù)，或角度制下的秒數(shù)，所以對(duì)應(yīng)法則不是唯一的，但每一種對(duì)應(yīng)法則下對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是唯一的所以不要認(rèn)為只有弧度制才能將角與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)有的教師認(rèn)為角度制的計(jì)量單位太小，而弧度制的計(jì)量單位大，而且可以省略不寫，這種說(shuō)法雖有一定道理，但在科學(xué)上并不具有充足的理由，因?yàn)樾∮行〉暮锰帲螞r坐標(biāo)系中兩條數(shù)軸上的單位長(zhǎng)度可以不一致關(guān)鍵在于用角度制表示角的時(shí)候，我們總是十進(jìn)制、六十進(jìn)制并用的，例如角其中61、21、12都是十進(jìn)數(shù)，而度、分、秒之間的關(guān)系是六十進(jìn)(退)位的，這樣，為了找出與角對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)(我們學(xué)的實(shí)數(shù)都是十進(jìn)數(shù))，要經(jīng)過(guò)一番計(jì)算，這就不太方便了 (三)定義了任意角的三角函數(shù)以后，嚴(yán)格地說(shuō)，例如，只有 ，才可以說(shuō)是正弦函數(shù)；六種函數(shù)統(tǒng)稱三角函數(shù)，說(shuō)明不是這六種函數(shù)的函數(shù)，都不能說(shuō)是三角函數(shù)，例如可以說(shuō)是2x的正弦函數(shù)(這時(shí)可說(shuō)它是三角函數(shù))，也可以說(shuō)是正弦函數(shù)與正比例函數(shù) 的復(fù)合函數(shù)，但不能說(shuō)是x的正弦函數(shù)另一點(diǎn)是函數(shù)的定義域，三角函數(shù)或與其相關(guān)的函數(shù)總是附帶定義域的，所以教學(xué)中不宜隨便說(shuō)(或?qū)?“正弦函數(shù)y=sinx”，需知“函數(shù)，”只是正弦函數(shù)的一個(gè)周期，不要把部分當(dāng)作整體 (四)關(guān)于已知三角函數(shù)值求角，在講解相關(guān)例題時(shí)，可以利用設(shè)輔助角(即通過(guò)設(shè)輔助元素把未知轉(zhuǎn)化為已知，這是化歸思想的運(yùn)用)來(lái)求解，把求解過(guò)程調(diào)整為： 1、如果函數(shù)值為正數(shù)，則先求出對(duì)應(yīng)的銳角，如果函數(shù)值為負(fù)數(shù)，則先求出與其絕對(duì)值相應(yīng)的銳角 2、決定角x可能是第幾象限角 3、如果函數(shù)值為負(fù)數(shù)，則根據(jù)角x可能是第幾象限角，得出 內(nèi)對(duì)應(yīng)的角——如果它是第二象限角，那么可表示為 ;如果它是第三或第四象限角，那么可表示為 或 也可以把上述輔助角看作參變量(x為自變量)，那么所提供的方法就可以看作參數(shù)的應(yīng)用新大綱把參數(shù)的知識(shí)分散在有關(guān)的教學(xué)內(nèi)容中，教學(xué)時(shí)適時(shí)提醒學(xué)生注意使用，這是有好處的 (五)本章所使用的符號(hào)及其用法，全部與國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)所規(guī)定的取得一致，在板書中逐漸達(dá)到規(guī)范化物理教科書也是這樣做的因此在布置和批改作業(yè)時(shí)，對(duì)于本章中的幾道與物理(力學(xué)、電學(xué))有關(guān)的習(xí)題，解答時(shí)使用的符號(hào)及其用法，應(yīng)與教科書上的相同，以免與物理教師講課時(shí)的要求發(fā)生矛盾，弄得學(xué)生無(wú)所適從 (六)注意符合學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律除了從實(shí)際問(wèn)題引入數(shù)學(xué)概念之外，在這方面的措施有：(1)重建數(shù)形結(jié)構(gòu)首先通過(guò)平面直角坐標(biāo)系 (數(shù)形結(jié)合)定義任意角的三角函數(shù)，在得到“終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等”即第一組誘導(dǎo)公式后，就引入與單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用它們的幾何形式(三角函數(shù)線)表示出來(lái)；然后學(xué)習(xí)同角三角函數(shù)的兩個(gè)基本關(guān)系式，其他誘導(dǎo)公式，以及兩角和與差的三角函數(shù)，這一部分屬于式的化簡(jiǎn)、求值、恒等關(guān)系的證明以及它們的簡(jiǎn)單應(yīng)用，研究方法以數(shù)為主，以形為輔；最后學(xué)習(xí)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、其應(yīng)用包括已知三角函數(shù)值求角，這一部分的研究方法則以形為主，以數(shù)為輔(2)利用學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)首先利用二次函數(shù)的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題；建立任意角的概念時(shí)，利用學(xué)生觀看體操節(jié)目已有的例如對(duì)于“轉(zhuǎn)體720度”的直覺(jué)和語(yǔ)詞記憶；畫余弦函數(shù)的圖象時(shí)，利用正弦曲線和誘導(dǎo)公式，已知三角函數(shù)值求角時(shí)，利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)(3)精簡(jiǎn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，略去或簡(jiǎn)化不必要的程序例如，從銳角三角函數(shù)直接推廣到任意角三角函數(shù)，略去了講鈍角三角函數(shù)這一程序這樣做不僅節(jié)約了課時(shí)，而且密切了“任意角”與 “任意角三角函數(shù)”的聯(lián)系，反而加強(qiáng)了后者這一知識(shí)的發(fā)生和形成過(guò)程