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2019-2020年高中數(shù)學復習講義 第十章 算法初步與框圖 【知識圖解】 算法 算法的描述 流程圖 偽代碼 自然語言 條 件 結 構 循 環(huán) 結 構 順 序 結 構 條 件 結 構 循 環(huán) 結 構 輸入(出)語句 順 序 結 構 順 序 結 構 順 序 結 構 【方法點撥】 1.學習算法要理解算法的含義.明確建立算法就是設計完成一件事的操作步驟.一般地說，這樣的操作步驟應該具有通用性，能處理一類問題. 2.掌握算法的三種基本結構.順序結構、條件結構和循環(huán)結構是算法的三種基本結構.要通.具體實例了解三種基本結構的使用范圍，通過流程圖認識它們的基本特征. 3.掌握流程圖的畫法.用流程圖表示算法具有、清晰的特點，也是高考重點考查的內容，要予以重視.特別是循環(huán)結構的流程圖，對判斷框中的條件與前測試還是后測試之間的關系一定要弄清楚. 4.熟悉建立算法的基本操作程序.建立算法的操作程序一般為：先探尋解決問題的方法，并用通俗的語言進行表述，再將通俗的算法語言用流程圖直觀表示，最后根據(jù)流程圖選擇適當?shù)乃惴ㄕZ句用偽代碼表示算法過程. 第1課 算法的含義 【考點導讀】 正確理解算法的含義.掌握用自然語言分步驟表達算法的方法. 高考要求對算法的含義有最基本的認識，并能解決相關的簡單問題. 【基礎練習】 1．下列語句中是算法的個數(shù)為 3個 ①從濟南到巴黎：先從濟南坐火車到北京，再坐飛機到巴黎； ②統(tǒng)籌法中“燒水泡茶”的故事； ③測量某棵樹的高度，判斷其是否是大樹； ④已知三角形的一部分邊長和角，借助正余弦定理求得剩余的邊角，再利用三角形的面積公式求出該三角 形的面積. 2．早上從起床到出門需要洗臉刷牙（5 min）、刷水壺（2 min）、燒水（8 min）、泡面（3 min）、吃飯（10 min）、 聽廣播（8 min）幾個步驟.從下列選項中選最好的一種算法 ?、邸　? ①S1洗臉刷牙、S2刷水壺、S3燒水、S4泡面、S5吃飯、S6聽廣播 ②S1刷水壺、S2燒水同時洗臉刷牙、S3泡面、S4吃飯、S5聽廣播 ③S1刷水壺、S2燒水同時洗臉刷牙、S3泡面、S4吃飯同時聽廣播 ④S1吃飯同時聽廣播、S2泡面、S3燒水同時洗臉刷牙、S4刷水壺 3．寫出交換兩個大小相同的杯子中的液體（A水、B酒）的兩個算法. 答案：解析：算法1： S1.再找一個大小與A相同的空杯子C； S2.將A中的水倒入C中； S3.將B中的酒倒入A中； S4.將C中的水倒入B中，結束. 算法2： S1.再找兩個空杯子C和D； S2.將A中的水倒入C中，將B中的酒倒入D中； S3.將C中的水倒入B中，將D中的酒倒入A中，結束. 注意：一個算法往往具有代表性，能解決一類問題，如，可以引申為：交換兩個變量的值. 4．寫出求1＋2＋3＋4＋5＋6＋7的一個算法. 解析：本例主要是培養(yǎng)學生理解概念的程度，了解解決數(shù)學問題都需要算法 算法一：按照逐一相加的程序進行. 第一步　計算1＋2，得到3； 第二步　將第一步中的運算結果3與3相加，得到6； 第三步　將第二步中的運算結果6與4相加，得到10； 第四步　將第三步中的運算結果10與5相加，得到15； 第五步　將第四步中的運算結果15與6相加，得到21； 第六步　將第五步中的運算結果21與7相加，得到28. 算法二：可以運用公式1＋2＋3＋…＋n＝直接計算. 第一步　取n＝7；第二步　計算；第三步　輸出運算結果. 點評：本題主要考查學生對算法的靈活準確應用和自然語言表達一個問題的算法的方法.算法不同，解決問題的繁簡程度也不同，我們研究算法，就是要找出解決問題的最好的算法. 【范例解析】 例1 下列關于算法的說法，正確的有 . （1）求解某一類問題的算法是惟一的 （2）算法必須在有限步驟操作之后停止 （3）算法的每一操作必須是明確的，不能有歧義或模糊（4）算法執(zhí)行后一定產生確定的結果 解 由于算法具有可終止性，明確性和確定性，因而（2）（3）（4）正確，而解決某類問題的算法不一定是惟一的，從而（1）錯. 例2.寫出解方程x2-2x-3=0的一個算法. 分析 本題是求一元二次方程的解的問題，方法很多，下面利用配方法，求根公式法寫出這個問題的兩個算法 算法一： （1）移項，得x2-2x=3； ① （2）①兩邊同加1并配方，得(x-1)2=4 ② （3）②式兩邊開方，得x-1=2; ③ （4）解③，得x=3或x=-1. 算法二：（1）計算方程的判別式，判斷其符號： （2）將a=1，b=-2,c= -3,代入求根公式，得 點評 比較兩種算法，算法二更簡單，步驟最少，由此可知，我們只要有公式可以利用，利用公式解決問題是最理想，合理的算法.因此在尋求算法的過程中，首先是利用公式.下面我們設計一個求一般的一元二次方程的ax2+bx+c=0根的算法如下： (1)計算（2）若（3）方程無實根;（4）若（5）方程根 例3：一個人帶三只狼和三只羚羊過河.只有一條船，同船可以容一個人和兩只動物.沒有人在的時候，如果狼的數(shù)量不少于羚羊的數(shù)量，狼就會吃掉羚羊. （1）設計安全渡河的算法; （2）思考每一步算法所遵循的相同原則是什么. 解析：（1）S1　人帶兩只狼過河. S2　人自己返回. S3　人帶兩只羚羊過河. S4　人帶一只狼返回. S5　人帶一只羚羊過河. S6　人自己返回. S7　人帶兩只狼過河. （2）在人運送動物過河的過程中，人離開岸邊時必須保證每個岸邊的羚羊數(shù)目要大于狼的數(shù)目. 點評 這是一個實際問題，生活中解決任何問題都需要算法，我們要在處理實際問題的過程中理解算法的含義，體會算法設計的思想方法. 【反饋演練】： 1．下面對算法描述正確的一項是 C 　　. A．算法只能用偽代碼來描述 B．算法只能用流程圖來表示 C．同一問題可以有不同的算法 D．同一問題不同的算法會得到不同的結果 解析：自然語言、圖形和偽代碼都可以表示算法，只要是同一問題，不同的算法也應該有相同的結果. 2．計算下列各式中的S的值，能設計算法求解的是?、佟、?. ①；②；③ 解析：因為算法步驟具有“有限性”特點，故②不可用算法求解. 3．已知一個學生的語文成績?yōu)?9，數(shù)學成績?yōu)?6，外語成績?yōu)?9，求他的總分和平均成績的一個算法為： 第一步　取A＝89，B＝96，C＝99; 第二步　　　?、佟　　?； 第三步　　　?、凇　　?； 第四步　輸出D，E. 請將空格部分（兩個）填上適當?shù)膬热? 答案：①計算總分D＝A+B+C　②計算平均成績E＝ 4．寫出123456的一個算法. 答案：解析：按照逐一相乘的程序進行. 第一步　計算12，得到2； 第二步　將第一步中的運算結果2與3相乘，得到6； 第三步　將第二步中的運算結果6與4相乘，得到24； 第四步　將第三步中的運算結果24與5相乘，得到120； 第五步　將第四步中的運算結果120與6相乘，得到720； 第六步　輸出結果. 5．已知一個三角形的三邊邊長分別為2、3、4，設計一個算法，求出它的面積. 答案：解析：可利用公式 S＝求解. 第一步　取a＝2，b＝3，c＝4； 第二步　計算p＝； 第三步　計算三角形的面積S＝； 第四步　輸出S的值. 6. 求1734，816，1343的最大公約數(shù). 分析：三個數(shù)的最大公約數(shù)分別是每個數(shù)的約數(shù)，因此也是任意兩個數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)，也就是說三個數(shù)的最大公約數(shù)是其中任意兩個數(shù)的最大公約數(shù)與第三個數(shù)的最大公約數(shù). 解：用“輾轉相除法”. 先求1734和816的最大公約數(shù)， 1734=8162+102； 816=1028； 所以1734與816的最大公約數(shù)為102. 再求102與1343的最大公約數(shù)， 1343=10213+17；102=176. 所以1343與102的最大公約數(shù)為17，即1734，816，1343的最大公約數(shù)為17. 7. 寫出用二分法求關于x的方程x2－2＝0的根（精確到0.005）的算法. 第一步 令f(x)=x2-2，因為f(1)<0，f(2)>0，所以設x1=1，x2=2 第二步 令m=(x1+x2)/2，判斷f(m)是否為0，若是，則m為所求，否則，則繼續(xù)判斷f(x1)f(m)大于0還是小于0. 第三步 若f(x1)f(m) >0則令x1=m，否則x2=m. 第四步 判斷|x1-x2|<0.005是否成立？若是則x1、x2之間的任意值均為滿足條件的近似值；否則返回第二步. 點評 .區(qū)間二分法是求方程近似解的常用算法，其解法步驟為 S1　?。踑，b］的中點x0=（a+b）/2； S2　若f(x0)=0，則x0就是方程的根，否則 若f(a)f(x0)>0，則a←x0；否則b←x0； S3　若|a－b|b ；（2）　b-a　 　　　 【范例解析】 例1.已知梯形的上底、下底和高分別為5、8、9，寫出求梯形的面積的算法，畫出流程圖. （第1題） 解 算法如下 S1 a←5； S2　b←8； S3　h←9； S4　S←（a+b）h/2； S5　輸出S. 流程圖為 ： 點評 本題中用的是順序結構是最簡單的算法結構，是任何一個算法都離不開的基本結構. 例（第2題） 開始 a>0 輸入a,b 結束 輸出x>x0 輸出xx0,否則輸出x20 . (第5題) 結束 輸出a 開始 a=b 輸出a,b,c a>b a>c a=c Y Y N N 結束 輸出s 開始 s=0,n=2,i=1 s=s+1/n n=n+2 i=i+1 Y N (第4題) 5. 給出以下一個算法的程序框圖（如圖所示）.該程序框圖的功能是 求出a,b,c三數(shù)中的最小數(shù) . (第6題) 6.根據(jù)下面的算法畫出相應的流程圖. 算法： S1　T←0； S2　I←2； S3　T←T+I； S4　I←I+2； S5　如果I不大于200，轉S3； S6　輸出T . 答案：解：這是計算2+4+6+…+200的一個算法. 流程圖如下： 第3課 算法語句A 【考點導讀】 會用偽代碼表述四種基本算法語句：輸入輸出語句，賦值語句，條件語句和循環(huán)語句.會用上述基本語句描述簡單問題的算法過程.高考要求對算法語句有最基本的認識，并能解決相關的簡單問題. 【基礎練習】 1 .下列賦值語句中，正確的是 （1） . 2．條件語句表達的算法結構為 ② . ①．順序結構 ②．選擇結構 ③．循環(huán)結構 ④．以上都可以 解析：條件語句典型的特點是先判斷再執(zhí)行，對應的是選擇結構. 3．關于循環(huán)說法錯誤的是 ④ . ①．在循環(huán)中，循環(huán)表達式也稱為循環(huán)體 ②．在循環(huán)中，步長為1，可以省略不寫，若為其它值，則不可省略 ③．使用循環(huán)時必須知道終值才可以進行 ④．循環(huán)中控制結束一次循環(huán)，開始一次新循環(huán) 解析：循環(huán)中是指整個循環(huán)結束，而不是一次循環(huán)結束 【范例解析】 例1．試寫出解決求函數(shù)y=的函數(shù)值這一問題的偽代碼． 解：　　　　Read x If x<2 Then y ← x2-1 Else y ← -x2+1 End If Print y 點評 分段函數(shù)問題是考查If語句一個重要的載體，因此，我們要注意此類問題可以先根據(jù)語言敘說，讓學生先列出函數(shù)關系式，再寫出相應的偽代碼． 例2.已知S＝5+10+15+…+1500，請用流程圖描述求S的算法并用偽代碼表示. 解 流程圖如下圖所示： 從流程圖可以看出這是一個循環(huán)結構，我們可以運用循環(huán)語句來實現(xiàn). S←5 For I from 10 to 1500 step 5 S←S+I End For Print S 點評 在準確理解算法的基礎上，學會循環(huán)語句的使用.循環(huán)語句包括for循環(huán)、While循環(huán).解題時要根據(jù)需要靈活運用. 循環(huán)語句包括if…then，if…then…else，并且if…then…else可以嵌套，解題時要根據(jù)需要靈活運用. 例3. 青年歌手大獎賽有10名選手參加，并請了12名評委.為了減少極端分數(shù)的影響，通常去掉一個最高分和一個最低分后再求平均分.請用算法語句表示：輸入12名評委所打的分數(shù)ai，用函數(shù)Max(a1,a2,…,a12)和Min (a1,a2,…,a12) 分別求出中ai(i=1,2,…,12)的最大值和最小值，最后輸出該歌手的成績. 解 S←0 For I from 1 to 12 Read ai S←S+ai End For G←(S - Max(a1,a2,…,a12)- Min (a1,a2,…,a12))/10 Print G 【反饋演練】 1.下圖中程序執(zhí)行后輸出的結果是_____7___________. I1 For n from 1 to 11 step 2 I2I+1 If I>20 Then II－20 End if End for Print I （第2題） 2.寫出下面流程圖所表述的算法的功能并用偽代碼表示. (第2題) 答案：解：輸出兩個不同的數(shù)中小的一個數(shù).用偽代碼表示為 Read a，b If a>b then Print b Else Print a End if 第4課 算法語句B 【考點導讀】 1.循環(huán)結構的算法用循環(huán)語句表示. 2理解“While循環(huán)”和“For循環(huán)”，前者是前測試的當當型循環(huán)，后者是在循環(huán)次數(shù)已知時使用的循環(huán). 【基礎練習】 1．下列偽代碼中的循環(huán)次數(shù)為 9 ． s←0 For I from 1 to 25 step 3 s←s+I End for Print s 2.要使以下For循環(huán)執(zhí)行20次，循環(huán)變量的初值應該是 14 .(For k From To -5 Step -1) 3.下面這段偽代碼的功能 計算其中小于0數(shù)的個數(shù) . n 0 Read x1,x2…x10 For i from 1 to10 If xi<0 then n n+1 End if End for Print n (第3題) Read x If x≤5 Then y←10x Else y←2.5x+5 End If Print y (第4題) 4．下面是一個算法的偽代碼．如果輸出的y的值是20，則輸入的x的值是 2或6 . 解析：若，由，則；若，由，得. 【范例解析】 例1.設計算法，求的值. 解 偽代碼： s←1 For I from 2 to 100 End for Print s 點評 本題是連乘求積的問題，自然想到用循環(huán)語句設計算法，算法的設計又帶有靈活性和通用性，熟練地掌握這一類題的解法，對于解決與此相關的問題有很大幫助. 例3.某城市現(xiàn)有人口總數(shù)為100萬人，如果年自然增長率為1.2%，試解答下面的問題： （1）寫出該城市人口數(shù)y（萬人）與年份x（年）的函數(shù)關系式； （2）用偽代碼寫出計算10年以后該城市人口總數(shù)的算法； （3）用偽代碼寫出計算大約多少年以后該城市人口將達到120萬人. 解：（1）y=100（1+0.012）x. （2）10年后該城市人口總數(shù)為y=100（1+0.012）10. 算法如下： y←100 t←1.012 For I from 1 to 10 y←yt End for Print y End （3）設x年后該城市人口將達到120萬人，即100（1+0.012）x=120. 算法如下： S←100 I←1.012 T←0 While S<120 S←SI T←T+1 End while Print T End 【反饋演練】 1．如果執(zhí)行下面的程序框圖，那么輸出的 2550 . 開始 ？ 是 否 輸出 結束 N Y 開始 輸入f0(x) i←0 i←i+1 fi (x)←f’i-1 (x) i=xx 輸出fi(x) 結束 (第4題) 開始 n←1 a←15n 輸出a n←n+1 n>66 結束 Y N ① ③ ② (第3題) 3．下圖是一個循環(huán)結構的算法，下列說法中：(1)①是循環(huán)變量的初始化，循環(huán)將要開始；(2)②為循環(huán)體；(3)③是判斷是否繼續(xù)循環(huán)的條件；(4)①可以省略不寫．其中正確的的是 ① ② ③ ． 4．在如下程序框圖中，輸入f0(x)=cosx，則輸出的是 cosx ． 5. 當 x=2 時 ，下面程序運行結果是 15 . While End while Print s End (第5題) 6．依據(jù)不同條件，給出下面的流程圖的運行結果： （1）當箭頭a指向①時，輸出 6 ； （2）當箭頭a指向②時，輸出 20 . ； 7.已知數(shù)列中，，且，求這個數(shù)列的第m項的值.現(xiàn)給出此算法流程圖的一部分，請將空格部分（兩個）填上適當?shù)膬热茛? 2 ② m+1 Y 輸入m S←T+S N Y T≥ ② 結束 輸出m,S 開始 T←T+1 S←2，T← ① (第7題) 開始 ① ② a 輸出S N 結束 Y (第6題)