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2019-2020年高中數(shù)學(xué)選修本(理科)不定積分的運算法則 目的要求 1．掌握不定積分的線性性質(zhì)． 2．會利用線性性質(zhì)和基本積分公式求較簡單的函數(shù)的不定積分． 內(nèi)容分析 1．不定積分的線性性質(zhì)是指不定積分的兩個運算法則．法則1是在k≠0時可將k提到積分號外；法則2是將幾個函數(shù)的和(或差)的積分化為各個函數(shù)的積分的和(或差)．它們對不定積分的計算起著化繁為簡的作 其中a1，a2，…，an是不全為0的常數(shù)．它與基本積分公式一起構(gòu)成直接積分法的基礎(chǔ)． 2．建立不定積分的線性性質(zhì)可分兩步進(jìn)行：第一步是采取由特殊到一般的不完全歸納法或與導(dǎo)數(shù)的線性性質(zhì)類比的方法猜測性質(zhì)；第二步是根據(jù)原函數(shù)與不定積分的定義及導(dǎo)數(shù)的線性性質(zhì)證明或否定猜想．證明性質(zhì)的過程中，應(yīng)說明不寫積分常數(shù)的原因，并由此分析法則1為什么要限制k≠0． 3．應(yīng)用基本積分公式及不定積分的線性性質(zhì)求不定積分是本節(jié)課的重點．為此，教科書配備了四道例題．前兩道例題是直接運用基本積分公式及積分法則求出已知函數(shù)的不定積分．后兩道例題的被積函數(shù)解析式是較復(fù)雜的多項式的積或商、三角函數(shù)式，求積分時，要先把被積函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮愕茸冃?，使之能運用基本積分公式表中的公式進(jìn)行計算．講解例題時，教師不能將三角函數(shù)形式的被積函數(shù)擴(kuò)大到常用三角函數(shù)公式之外的情況． 4．法則的應(yīng)用包括正用與逆用，教科書缺乏逆用的實例．講授時應(yīng)作適當(dāng)補(bǔ)充，這對全面掌握法則是有益的． 教學(xué)過程 1．復(fù)習(xí)引新 (1)利用基本積分公式或不定積分定義求下列不定積分： (2)在不考慮積分常數(shù)的情況下，分析上述積分結(jié)果之間有什么聯(lián)系． (3)教師利用不定積分的定義進(jìn)一步說明在考慮積分常數(shù)的情況下，上述發(fā)現(xiàn)仍然成立． (4)能否將上述結(jié)論中的具體函數(shù)換成一般連續(xù)函數(shù)？怎樣證明？ 2．構(gòu)建新知 (2)說明積分運算法則與求導(dǎo)的線性性質(zhì)的相似性，這種相似正是兩種運算互逆的表現(xiàn)． (3)說明積分運算法則的作用：化繁為簡，可用語言敘述各個法則的意義． 3．反饋與鞏固 (1)例1 求下列不定積分(教科書第156頁)． 小結(jié)：①積分的兩個運算法則可合并為統(tǒng)一形式： ②被積函數(shù)若是函數(shù)C、xm、cosx、sinx、ax的線性運算結(jié)果，則可以直接運用法則及基本積分公式求不定積分． ③積分結(jié)果只寫一個任意常數(shù)即可． (2)例2 求下列不定積分(教科書第156、157頁) 小結(jié)： ①對復(fù)雜的被積函數(shù)，應(yīng)先進(jìn)行代數(shù)或三角恒等變形，拆成幾個能夠運用公式積分的函數(shù)之和，再求解； ②對求出的不定積分結(jié)果求導(dǎo)是檢驗不定積分運算正確性的常用方法． (3)反饋訓(xùn)練(教科書第159頁練習(xí))． (4)變式訓(xùn)練． 分析：求兩個不定積分的差，可逐個求，也可逆用法則整體求． 題2：已知f(x)＝excosx，g(x)＝exsinx ①求f′(x)與g′(x)； 可繼續(xù)對其求不定積分． 解：①f′(x)＝excosx－exsinx，g′(x)＝exsinx＋excosx ②由①知f′(x)＝f(x)－g(x)，g′(x)＝f(x)＋g(x)， 4．小結(jié) (1)學(xué)習(xí)兩個不定積分運算法則，目的在于對一些不能直接運用積分公式計算的不定積分，通過對被積函數(shù)作出簡單的恒等變形，再運用這些法則，轉(zhuǎn)化成可以直接運用積分公式來求不定積分的問題． (2)運用法則包括正用和逆用兩個方面，要視具體情況靈活處理． 布置作業(yè) 1．求下列不定積分．