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2019-2020年高考數(shù)學一輪復習 10.5 二項式定理教案 ●知識梳理 1.二項展開式的通項公式是解決與二項式定理有關問題的基礎. 2.二項展開式的性質是解題的關鍵. 3.利用二項式展開式可以證明整除性問題，討論項的有關性質，證明組合數(shù)恒等式，進行近似計算等. ●點擊雙基 1.已知（1－3x）9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9，則｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜+…+｜a9｜等于 A.29 B.49 C.39 D.1 解析：x的奇數(shù)次方的系數(shù)都是負值， ∴｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜+…+｜a9｜=a0－a1+a2－a3+…－a9. ∴已知條件中只需賦值x=－1即可. 答案：B 2.（xx年江蘇，7）（2x+）4的展開式中x3的系數(shù)是 A.6 B.12 C.24 D.48 解析：（2x+）4=x2（1+2）4，在（1+2）4中，x的系數(shù)為C22=24. 答案：C 3.（xx年全國Ⅰ，5）（2x3－）7的展開式中常數(shù)項是 A.14 B.－14 C.42 D.－42 解析：設（2x3－）7的展開式中的第r+1項是T=C（2x3）（－）r=C2 （－1）rx， 當－+3（7－r）=0，即r=6時，它為常數(shù)項，∴C（－1）621=14. 答案：A 4.（xx年湖北，文14）已知（x+x）n的展開式中各項系數(shù)的和是128，則展開式中x5的系數(shù)是_____________.（以數(shù)字作答） 解析：∵（x+x）n的展開式中各項系數(shù)和為128， ∴令x=1，即得所有項系數(shù)和為2n=128. ∴n=7.設該二項展開式中的r+1項為T=C（x）（x）r=Cx， 令=5即r=3時，x5項的系數(shù)為C=35. 答案：35 5.若（x+1）n=xn+…+ax3+bx2+cx+1（n∈N*），且a∶b=3∶1，那么n=_____________. 解析：a∶b=C∶C=3∶1，n=11. 答案：11 ●典例剖析 【例1】 如果在（+）n的展開式中，前三項系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的有理項. 解：展開式中前三項的系數(shù)分別為1，，， 由題意得2=1+，得n=8. 設第r+1項為有理項，T=Cx，則r是4的倍數(shù)，所以r=0，4，8. 有理項為T1=x4，T5=x，T9=. 評述：求展開式中某一特定的項的問題常用通項公式，用待定系數(shù)法確定r. 【例2】 求式子（｜x｜+－2）3的展開式中的常數(shù)項. 解法一：（｜x｜+－2）3=（｜x｜+－2）（｜x｜+－2）（｜x｜+－2）得到常數(shù)項的情況有：①三個括號中全?。?，得（－2）3；②一個括號?。黿｜，一個括號取，一個括號取－2，得CC（－2）=－12， ∴常數(shù)項為（－2）3+（－12）=－20. 解法二：（|x|+－2）3=（－）6. 設第r+1項為常數(shù)項， 則T=C（－1）r（）r|x|=（－1）6C|x|，得6－2r=0，r=3. ∴T3+1=（－1）3C=－20. 思考討論 （1）求（1+x+x2+x3）（1－x）7的展開式中x4的系數(shù)； （2）求（x+－4）4的展開式中的常數(shù)項； （3）求（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）50的展開式中x3的系數(shù). 解：（1）原式=（1－x）7=（1－x4）（1－x）6，展開式中x4的系數(shù)為（－1）4C－ 1=14. （2）（x+－4）4==，展開式中的常數(shù)項為C（－1）4=1120. （3）方法一：原式==. 展開式中x3的系數(shù)為C. 方法二：原展開式中x3的系數(shù)為 C+C+C+…+C=C+C+…+C=C+C+…+C=…=C. 評述：把所給式子轉化為二項展開式形式是解決此類問題的關鍵. 【例3】 設an=1+q+q2+…+q（n∈N*，q≠1），An=Ca1+Ca2+…+Can. （1）用q和n表示An； （2）（理）當－32.所以2<（1+）n<3. ●思悟小結 1.在使用通項公式T=Cbr時，要注意： （1）通項公式是表示第r＋1項，而不是第r項. （2）展開式中第r+1項的二項式系數(shù)C與第r+1項的系數(shù)不同. （3）通項公式中含有a，b，n，r，T五個元素，只要知道其中的四個元素，就可以求出第五個元素.在有關二項式定理的問題中，常常遇到已知這五個元素中的若干個，求另外幾個元素的問題，這類問題一般是利用通項公式，把問題歸納為解方程（或方程組）.這里必須注意n是正整數(shù)，r是非負整數(shù)且r≤n. 2.證明組合恒等式常用賦值法. ●教師下載中心 教學點睛 1.要正確理解二項式定理，準確地寫出二項式的展開式. 2.要注意區(qū)分項的系數(shù)與項的二項式系數(shù). 3.要注意二項式定理在近似計算及證明整除性中的應用. 4.通項公式及其應用是二項式定理的基本問題，要熟練掌握. 拓展題例 【例題】 求（a－2b－3c）10的展開式中含a3b4c3項的系數(shù). 解：（a－2b－3c）10=（a－2b－3c）（a－2b－3c）…（a－2b－3c），從10個括號中任取3個括號，從中取a；再從剩余7個括號中任取4個括號，從中?。?b；最后從剩余的3個括號中?。?c，得含a3b4c3的項為Ca3C（－2b）4C（－3c）3=CCC（－3）3a3b4c3.所以含a3b4c3項的系數(shù)為－CC1627.